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第七章 复数（基础卷）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2020•浙江）已知a R，若a﹣1+（a﹣2）i（i为虚数单位）是实数，则a＝（ ）
A．1 ∈B．﹣1 C．2 D．﹣2
【解答】解：a R，若a﹣1+（a﹣2）i（i为虚数单位）是实数，
可得a﹣2＝0，∈解得a＝2．
故选：C．
2．（2020•沈阳三模）已知 a为实数，若复数 z＝（a2﹣1）+（a+1）i为纯虚数，则复数 z的虚部为
（ ）
A．1 B．2i C．±1 D．2
【解答】解：因为复数z＝（a2﹣1）+（a+1）i为纯虚数，所以 ，则a＝1，
所以z＝2i，则复数z的虚部为2．
故选：D．
3．（2020春•克东县期中）计算1+i+i2+i3+…+i89的值为（ ）
A．1 B．i C．﹣i D．1+i
【解答】解：由等比数列的求和公式可得：
1+i+i2+i3+…+i89 ，
而i90＝（i4）88•i2＝i2＝﹣1，
故1+i+i2+i3+…+i89 1+i，
故选：D．
4．（2020•北海一模）复数i （i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：∵i ，
∴复数i 在复平面内对应的点的坐标为（1，﹣1），位于第四象限．
故选：D．5．（2020•新课标Ⅰ）若z＝1+i，则|z2﹣2z|＝（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【解答】解：若z＝1+i，则z2﹣2z＝（1+i）2﹣2（1+i）＝2i﹣2﹣2i＝﹣2，
则|z2﹣2z|＝|﹣2|＝2，
故选：D．
6．（2020•新课标Ⅲ）若 （1+i）＝1﹣i，则z＝（ ）
A．1﹣i B．1+i C．﹣i D．i
【解答】解：由 （1+i）＝1﹣i，得 ，
∴z＝i．
故选：D．
7．（2020•乐山模拟）已知 （5，﹣1）， （3，2）， 对应的复数为z，则 （ ）
A．5﹣i B．3+2i C．﹣2+3i D．﹣2﹣3i
【解答】解：∵ （5，﹣1）， （3，2），
∴ （ ）＝（﹣2，3），对应的复数为z＝﹣2+3i，
则 2﹣3i，
故选：D．
8．（2020•辽宁模拟）已知i为虚数单位，若复数 在复平面内对应的点在第四象限，则 t的取值范
围为（ ）
A．[﹣1，1] B．（﹣1，1） C．（﹣∞，﹣1） D．（1，+∞）
【解答】解：复数 i．
z在复平面内对应的点在第四象限，∴ ，解得﹣1＜t＜1．
则实数t的取值范围为（﹣1，1）．
故选：B．
二．多选题（共4小题）
9．（2019秋•琼山区校级期末）已知复数z＝x+yi（x，y R），则（ ）
∈A．z2≥0 B．z的虚部是yi
C．若z＝1+2i，则x＝1，y＝2 D．
【解答】解：∵复数z＝x+yi（x，y R），
∴z2＝（x+yi）＝x2﹣y2+2xyi，不能∈判断正负，故A错误；
z的虚部是y，故B错误；
若z＝1+2i，则x＝1，y＝2，故C正确；
|z| ，故D正确．
故选：CD．
10．（2020春•山东月考）下面是关于复数z 的四个命题：其中的真命题为（ ）
A．|z|＝2 B．z2＝2i
C．z的共轭复数为1+i D．z的虚部为﹣1
【解答】解：∵z 1﹣i，
∴A：|z| ，
B：z2＝2i，
C：z的共轭复数为﹣1+i，
D：z的虚部为﹣1，
故选：BD．
11．（2020春•肥城市期中）下面关于复数的四个命题中，结论正确的是（ ）
A．若复数z R，则
B．若复数z∈满足z2 R，则z R
∈ ∈
C．若复数z满足 ，则z R
∈
D．若复数z ，z 满足z z R，则
1 2 1 2
【解答】解：若复数z R，∈则 ，故A正确；
若复数z满足z2 R，则∈z R错误，如z＝i，满足z2 R，但z R；
∈ ∈ ∈ ∉
设z＝a+bi（a，b R），由 R，
∈ ∈
得b＝0，则z R，正确；
若复数z
1
，z
2
满∈ 足z
1
z
2
R，则 错误，如z
1
＝i，z
2
＝2i．
故选：AC． ∈12．（2020春•鼓楼区校级期中）若复数z满足（z+2）i＝3+4i（i为虚数单位），则下列结论正确的有（
）
A．z的虚部为3 B．
C．z的共轭复数为2+3i D．z是第三象限的点
【解答】解：∵（z+2）i＝3+4i，
∴z ，
虚部为﹣3， ，共轭复数为2+3i，是第四象限点．
故选：BC．
三．填空题（共4小题）
13．（2020•北京模拟）复数 ．
【解答】解： | |＝|1﹣i| ．
故答案为： ．
14．（2019秋•密云区期末）复数 对应的点在第 四 象限，复数z的实部是 ．
【解答】解：∵ ，
∴z对应的点的坐标为（ ， ），在第四象限．复数z的实部是 ．
故答案为：四， ．
15．（2020•浦东新区三模）已知x、y R，i为虚数单位，且（x﹣2）+yi＝﹣1+i，则x+y＝ 2 ．
【解答】解：∵（x﹣2）+yi＝﹣1+∈i，
∴x﹣2＝﹣1且y＝1；
解得x＝1，y＝1，
∴x+y＝2，
故答案为：2．
16．（2020•重庆模拟）已知i为虚数单位，复数z满足（1+i）z＝1﹣i，则z的共轭复数 为 i ．
【解答】解：由（1+i）z＝1﹣i，得z ，
则 ．故答案为：i．
四．解答题（共5小题）
17．（2020春•临淄区校级月考）计算：
（1）（1+3i）+（﹣2+i）+（2﹣3i）；
（2）（2﹣i）﹣（﹣1+5i）+（3+4i）；
（3）（a+bi）﹣（3a﹣4bi）+5i（a，b R）．
【解答】解：（1）原式＝1﹣2+2+（3+∈1﹣3）i＝1+i．
（2）原式＝（2+1+3）+（﹣1﹣5+4）i＝6﹣2i．
（3）原式＝a﹣3a+（b+4b+5）i＝﹣2a+（5b+5）i．
18．（2020春•西城区校级月考）已知复数 z＝（2+i）m2﹣3m（1+i）﹣2（1﹣i）．当实数m取什么值时，
复数z是：
（Ⅰ）虚数；
（Ⅱ）纯虚数；
（Ⅲ）复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数．
【解答】解：z＝（2+i）m2﹣3m（1+i）﹣2（1﹣i）＝（2m2﹣3m﹣2）+（m2﹣3m+2）i．
（Ⅰ）若z是虚数，则m2﹣3m+2≠0，即m≠1且m≠2；
（Ⅱ）若z是纯虚数；则 ，解得m ；
（Ⅲ）若复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数，
则2m2﹣3m﹣2+m2﹣3m+2＝0，即3m2﹣6m＝0，得m＝0或2．
19．（2020春•南阳期中）已知：复数z＝（1+i）2 ，其中i为虚数单位．
（1）求z及|z|；
（2）若z2+a ，求实数a，b的值．
【解答】解：（1）∵ ，
∴ ；
（2）由z2+a ，
得：（﹣1+3i）2+a（﹣1﹣3i）+b＝2+3i，
即（﹣8﹣a+b）+（﹣6﹣3a）i＝2+3i，
∴ ，解得 ．20．（2020春•大兴区期末）已知复数z＝（m2﹣m）+（m+3）i（m R）在复平面内对应点Z．
（Ⅰ）若m＝2，求z ； ∈
（Ⅱ）若点Z在直线y＝x上，求m的值．
【解答】解：（Ⅰ）∵m＝2，∴z＝2+5i，
则 ；
（Ⅱ）若点Z在直线y＝x上，则m2﹣m＝m+3，
即m2﹣2m﹣3＝0，解得m＝﹣1或m＝3．
21．（2019秋•临沂期末）已知复数z＝1+mi（m R，i为虚数单位），且（1﹣i）z为实数．
（1）求复数z； ∈
（2）设复数z ＝x+yi（x，y R）满足 ，求|z |的最小值．
1 1
【解答】解：（1）由z＝1+∈mi（m R），
得（1﹣i）z＝（1﹣i）（1+mi）＝∈（1+m）+（m﹣1）i，
∵（1﹣i）z为实数，∴m﹣1＝0，∴m＝1．∴z＝1+i
（2）设z ＝x+yi（x，y R）， ，
1
∵ ， ∈
∴|（x+yi）﹣（1﹣i）|＝1，
即|（x﹣1）+（y+1）i|＝1，∴（x﹣1）2+（y+1）2＝1，
即复数z 在复平面内对应的点的轨迹是以（1，﹣1）为圆心，以1为半径的圆．
1
∴|z |的最小值为 ．
1
