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1995 年吉林高考文科数学真题及答案
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分
钟．
第Ⅰ卷(选择题共65分)
一、选择题(本大题共15小题；第1－10题每小题4分，第11－15题每小题5分，共65分，
在每小题给出的四个选项中，只有一项有符合题目要求的)
王新奎新疆屯敞
1．已知集合I={0，－1，－2，－3，－4}，集合M={0，－1，－2，}，N={0，－3，－
4}，则 ( )
(A) {0} (B) {－3，－4} (C) {－1，－2} (D)
2．函数y= 的图像是( )
3．函数y=4sin(3x+ )+3cos(3x+ )的最小正周期是( )
(A) 6π (B) 2π (C) (D)
4．正方体的全面积是a2，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是( )
(A) (B) (C) 2πa2 (D) 3πa2
5．若图中的直线l，l，l的斜率分别为k，k，k，
1 2 3 1 2 3
则( )
(A) k< k< k
1 2 3
(B) k< k< k
3 1 2
第1页 | 共7页(C) k< k< k
3 2 1
(D) k< k< k
1 3 2
6．双曲线3x2－y2=3的渐近线方程是( )
(A) y=±3x (B) (C) y= (D) y=
7．使sinx≤cosx成立的x的一个变化区间是( )
(A) (B)
(C) (D) [0，π]
8．x2+y2－2x=0和x2+y2+4y=0的位置关系是( )
(A) 相离 (B) 外切 (C) 相交 (D) 内切
9．已知θ是第三象限角，且sin4θ+cos4θ= ，那么sin2θ等于( )
(A) (B) － (C) (D) －
10．如图ABCD－ABCD是正方体，BE=DF= ，则BE与DF所成的角的余弦值
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
是( )
(A) (B) (C) (D)
11．已知y=log(2－x)是x的增函数，则a的取值范围是( )
a
(A) (0，2) (B) (0，1) (C) (1，2) (D) (2，+∞)
12．在(1－x3)(1+x)10的展开式中，x5的系数是( )
(A) －297 (B) －252 (C) 297 (D) 207
13．已知直线l⊥平面α，直线m 平面β，有下面四个命题，
①α∥β l⊥m ②α⊥β l∥m ③l∥m α⊥β ④l⊥m α∥β
其中正确的两个命题是( )
(A) ①与② (B) ③与④ (C) ②与④ (D) ①与③
14．等差数列{a}，{b}的前n项和分别是S与T，若 ，则 等于(
n n n n
)
(A) 1 (B) (C) (D)
15．用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有(
第2页 | 共7页)
(A) 24个 (B) 30个 (C) 40个 (D) 60个
第Ⅱ卷(非选择题共85分)
二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中的横线上)
16．方程log(x+1)2+log(x+1)=5的解是_____________
2 4 王新奎新疆屯敞
17．已知圆台上、下底面圆周都在球面上，且下底面过球心，母线与底面所成角为 ，
则圆台的体积与球体积之比为____________
王新奎新疆屯敞
18．函数y=cosx+cos(x+ )的最大值是___________
王新奎新疆屯敞
19．若直线l过抛物线y2=4(x+1)的焦点，并且与x轴垂直，则l被抛物线截得的线段
长为______________
王新奎新疆屯敞
20．四个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共
有____________种(用数字作答)
王新奎新疆屯敞
三、解答题(本大题共6小题，共65分：解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤)
21．(本小题满分7分)解方程3x+2－32－x=80．
22．(本小题满分12分)设复数z=cosθ+isinθ，θ∈(π，2π)，求复数z2+z的模和
辐角
王新奎新疆屯敞
23．(本小题满分10分)设{a}是由正数组成的等比数列，S是其前n项和，证明：
n n
．
24．(本小题满分12分)如图，ABCD是圆柱的轴截面，点E在底面的
圆周上，AF⊥DE，F是垂足．
(1)求证：AF⊥DB
(2)如果AB=a，圆柱与三棱锥D－ABE的体积比等于3π，求点E到截
面ABCD的距离．
25．(本小题满分12分)某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，
决定对淡水鱼养值提供政府补贴，设淡水鱼的市场价格为 ，政府补贴为
第3页 | 共7页，根据市场调查，当8≤x≤14时，淡水鱼的市场日供应量p千克与市场日需求量
Q近似地满足关系：
P=1000(x+t－8) (x≥8，t≥0)，
Q=500 (8≤x≤14)，
当P=Q时的市场价格为市场平衡价格，
(1)将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域：
(2)为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少每千克多少元？
26．(本小题满分 12 分)已知椭圆 ，直线
l：x=12，P是l上一点，射线OP交椭圆于点R，又点Q
在OP上，且满足|OQ|·|OP|=|OR|2，当点P在l上移动
时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
参考答案
一、选择题(本题考查基本知识和基本运算)
1．B 2．D 3．C 4．B 5．D 6．C 7．A 8．C 9．A 10．A 11．B 12．D
13．D 14．C 15．A
二、填空题(本题考查基本知识和基本运算)
16．3 17． 18． 19．4 20．144
三、解答题
21．本小题主要考查指数方程的解法及运算能力，
解：设y=3x，则原方程可化为9y2－80y－9=0，
解得：y=9，y=
1 2
方程3x= 无解，
由3x =9得x=2，所以原方程的解为x=2．
22．本小题主要考查复数的有关概念，三角公式及运算能力，
解：z2+z=(cosθ+isinθ)2+(cosθ+isinθ)
第4页 | 共7页=cos2θ+isin2θ+cosθ+isinθ
=2cos cos +i(2sin cos )
=2 cos (cos +isin )
=－2 cos [cos(－π+ )+isin(－π+ )]
∵ θ∈(π，2π)
∴ ∈( ，π)
∴ －2cos ( )>0
所以复数z2+z的模为－2cos ，辐角(2k－1)π+ (k∈z)．
23．本小题主要考查等比数列、对数、不等式等基础知识以及逻辑推理能力，
证法一：设{a}的公比为q，由题设知a>0，q>0，
n 1
(1)当q=1时，S=na，从而
n 1
S·S － =na(n+2)a－(n+1)2 =－ <0．
n n+2 1 1
(2)当q≠1时， ，从而
S·S － = =－ qn<0．
n n+2
由(1)和(2)得S·S < ．
n n+2
根据对数函数的单调性，得log (S·S )>log ，
0.5 n n+2 0.5
即 ．
证法二：设{a}的公比为q，由题设知a>0，q>0，
n 1
∵ S = a+qS，
n+1 1 n
S =a+ qS ，
n+2 1 n+1
∴ S·S － =S (a+ qS )－(a+qS)S = a(S－S )=－a a <0．
n n+2 n 1 n+1 1 n n+1 1 n n+1 1 n+1
第5页 | 共7页即S·S < ． (以下同证法一)
n n+2
24．本小题主要考查空间线面关系、圆柱性质、空间想象能力和逻辑推理能力．
(1)证明：根据圆柱性质，DA⊥平面ABE，
∵ EB 平面ABE，
∴ DA⊥EB，
∵ AB是圆柱底面的直径，点E在圆周上，
∴ AE⊥EB，又AE∩AD=A，故得EB⊥平面DAE，
∵ AF 平面DAE，
∴ EB⊥AF，
又AF⊥DE，且EB∩DE=E，故得AF⊥平面DEB，
∵ DB 平面DEB，
∴ AF⊥DB．
(2)解：设点E到平面ABCD的距离为d，记AD=h，因圆柱轴截面ABCD是矩形，所以
AD⊥AB．
S = AB·AD=
△ABD
∴ V =V = S = dah
D－ABE E－ABD △ABD
又V = a2h
圆柱
由题设知 =3π，即d= ．
25．本小题主要考查运用所学数学知识和方法解决实际问题的能力，以及函数的概念、
方程和不等式的解法等基础知识和方法．
解：(1)依题设有1000(x+t－8)=500
化简得5x2+(8t－80)x+(4t2－64t+280)=0，
当判别式△=800－16t2≥0时，可得：X=8－ t± ．
由△≥0，t≥0，8≤x≤14，得不等式组：
①
第6页 | 共7页②
解不等式组①，得0≤t≤ ，不等式组②无解，故所求的函数关系式为
x=8－ t+
函数的定义域为[0， ]
(2)为使x≤10，应有8－ t+ ≤10，
化简得：t2+4t－5≥0，
解得t≥1或t≤－5，由于t≥0知t≥1，从而政府补贴至少为每千克1元．
26．本小题主要考查直线、椭圆的方程和性质，曲线与方程的关系，轨迹的概念和求
法等解析几何的基本思想综合运用知识的能力．
解：设点P、Q、R的坐标分别为(12，y)，(x，
p
y)，(x，y由题设知x>0，x>0，
R R R
由点R在椭圆上及点O、Q、R共线，得方程组
解得 ①
②
由点O、Q、P共线，得 ，即y= ． ③
p
由题设|OQ|·|OP|=|OR|2得
将①、②、③式代入上式，整理得点Q的轨迹方程
(x－1)2+ =1 (x>0)
所以点Q的轨迹是以(1，0)为中心，长、短半轴长分别为1和 ，且长轴在x轴上的椭圆、
去掉坐标圆点．
第7页 | 共7页
