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2024-2025 学年高一年级下学期中考试
数学试题
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知复数 ， 为 的共轭复数，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知向量 ， 满足 ， ， ，则 （ ）
.
A B. C. D.
3. 在△ABC中，cosC= ，AC=4，BC=3，则cosB=（ ）
A. B. C. D.
4. 已知 是两条不同的直线， 是不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A. 若 ，则
.
B 若 ，则
C. 若 ，则
D. 若 ，则
5. 如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，下列命题正确的是（ ）A. AB与HG相交 B. AB与EF平行
C. AB与CD相交 D. EF与CD异面
6. 如图，测量河对岸的塔高 时，可以选取与塔底 在同一水平面内的两个测量基点 与 ，现测得
， ， m，在点 测得塔顶 的仰角为 ，则塔高 （ ）
.
A 30m B. m
C. m D. m
7. 设向量 的夹角为 ，定义： .若平面内不共线的两个非零向量 满足：
， 与 的夹角为 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知点 为 的外心，且向量 ， ，若向量 在向量 上的投影
向量为 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多个选项
符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9. 已知 表示两条不同直线，a表示平面，则下列选项正确的是（ ）
A. 若 ， ，则 B. 若 ， ，则
.
C 若 ， ，则 D. 若 ， ，则
10. 已知复数 均不为0，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 如图所示，在棱长为2的正方体 中，M，N分别为 ， 的中点，其中不正确
的结论是（ ）
A. 直线MN与AC所成的角为 B. 直线AM与BN是平行直线
C. 二面角 的平面角的正切值为 D. 点C与平面MAB的距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知复数 ， ，并且 ，则
______．
13. 在三棱锥 中， ， ， ，设三棱锥 的体积为 ，三
棱锥 的体积为 ，则 ______.
14. 我国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积，把以
上文字写出公式，即 （其中 为三角形面积， ， ， 为三角形 三
的
边）.在非直角 中， ， ， 为内角 ， ， 所对应的三边，若 且
，则当 面积的最大值时 外接圆的半径为______.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 如图，已知平行四边形 的三个顶点 、 、 的坐标分别是 、 、 .
（1）求顶点 的坐标；
（2）在线段 上是否存在一点 满足 ，若存在，求 ；若不存在，请说明理由.
16. 已知复数
（1）若 在复平面内的对应点位于 上，求 的值；
（2）若 在复平面内的对应点位于第二象限，求 的取值范围；
（3）若 为纯虚数，设 ， 在复平面上对应的点分别为 ， ，求向量 在向量 上的投影向
量的坐标.
17. 已知向量 满足 ，且向量 与 夹角为 ．
的
（1）求 ；（2）若 （其中 ），则当 取最小值时，求 与 的夹角的大小．
18. 已知函数 （其中常数 ） 最的小正周期为 ．
（1）求函数 的表达式；
（2）若关于 的方程 在 上有解，求实数 的取值范围；
（3）将 的图象向左平移 个单位长度得到函数 的图象，若实数 满足
，且 的最小值是 ，求 的值．
19. 定义非零向量 的“相伴函数”为 ，向量 称为函
数 的“相伴向量”（其中 为坐标原点）．
数学答案
1.C 2.A 3.A 4.D 5.D 6.D 7.A 8.D 9.BD 10.BCD 11.BC
12.
13.
14.3
15.(1) 设 ，又 、 、 ，
， .
又四边形 是平行四边形，所以 ，，
即 解得
顶点A的坐标为 .
(2)存在.
由（1）可知， ， ， ，
设 ，则 .
又 ， ，
解得， ，即 .
16.(1)依题意， ，则其在复平面内的对应点为 ，
由点 位于直线 ，得 ，整理得 ，
.
所以 或
(2)
复数 在复平面内的对应点为 ，
由点 位于第二象限，得 ，解得 ，
所以 的取值范围为 .
(3)
由 纯虚数，得 ，解得 ，则 ， ， ，
为
， ，所以 ，
所以向量 在向量 上的投影向量的坐标为 .
17.(1) 因为 ，且向量 与 的夹角为 ，
所以 ，所以 ．
(2)
，
所以 时， ，此时 ，所以 ，
所以 与 的夹角的大小为 ．
18. (1) ，
因为 的最小正周期为 ，且 ，
所以 即 ，所以 ．
(2)因为 ，所以 ．
所以 ，令 ．
又 在 上有解，
所以 在 上有解，所以 ．
(3)由题意可知： ，
因为 ，
所以 中有一个为1，另一个为 ，
因为 的图象向左平移 个单位长度得到函数 的图象，且 的最小值
是 ，
所以 ，所以 ，或 ，
因此 的值为 或 ．
19. (1) ，
所以函数 的相伴向量 ．
(2)由题知 ，
由 ，得 ．
又 ，即 ，所以 ．
又 ，由正弦定理 ，得 ， ，即 ．
因为 ，所以 ，
所以 ，即 的取值范围为 ，
故 有最大值 ，无最小值.
(3)由（2）知 ，
所以 ，
设 ，因为 ， ，
所以 ， ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，
即 ，所以 ．
因为 ，所以 ，
所以 ，
又因为 ，所以当且仅当 时， 和 同时等于 ，
所以在 图像上存在点 ，使得 ．
