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高三数学
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1．从某班所有同学中随机抽取10人，获得他们某学年参加社区服务次数的数据如下：4，4，4，7，7，8，8，9，
9，10，这组数据的众数是
A．9 B．8 C．7 D．4
2．已知向量 满足 ，则a(a-b)的值为
A．4 B．3 C．2 D．0
3．已知 ， ， ，则
A． B．
C． D．
4．已知椭圆G： ，A,B为G的短轴端点，P为G上异于A,B的一点，则直线AP,BP的斜
率之积为
A． B．
C． D．
5．标准对数视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的
视力记录方式．标准对数视力表各行“E”字视标约为正方形，
每一行“E”的边长都是上一行“E”的边长的 ，若视力 的视标边长约为10cm，则视力 的视标边长约为
A． B．
C． D．
6. 辽宁的盘锦大米以粒粒饱满、口感香糯而著称. 已知某超市销售的盘锦袋装大米的质量 （单位： ）服从正态
分布 ，且 ，若从该超市中随机选取60袋盘锦大米，则质量在
的盘锦大米的袋数的方差为（ ）
A. 14.4 B. 9.6 C. 24 D. 48
7. 已知动点 在直线 上，过 总能作圆 的两条切线，切点为 ，且
恒成立，则 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.8. 已知函数 满足 ，则 （ ）
A. 10000 B. 10082 C. 10100 D. 10302
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知 、 都是复数，下列正确的是（ ）
A. 若 ，则
B.
C. 若 ，则
D.
10. 为得到函数 的图象，只需要将函数 的图象（ ）
A. 向左平行移动 个单位 B. 向左平行移动 个单位
C. 向右平行移动 个单位 D. 向右平行移动 个单位
11. 已知 是直线 上的动点， 为坐标原点，过 作圆 的两条切线，切点分别为 ，
则（ ）
A. 当点 为直线 与 轴的交点时，直线 经过点
B. 当 为等边三角形时，点 的坐标为
C. 的取值范围是
D. 的最小值为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 若半径为R的球O是圆柱的内切球，则该球的表面积与该圆柱的侧面积之差为______.13. 在 的展开式中，含 的项的系数是______.（用数字作答）
14. 已知 为等腰三角形，其中 ，点D为边AC上一点， .以点B、D为焦点的椭圆E经过点
A与C，则椭圆E的离心率的值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知数列 满足 .
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，证明： .
在
16. 如图， 三棱锥 中，平面 平面 ，且 ， ．
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ，点 满足 ，求二面角 的大小．
17. 如图，平行六面体 中， 分别为 的中点， 在 上.
（1）求证： 平面 ；
（2）若 平面 ，求平面 与平面 的夹
角的余弦值.的
18. 已知抛物线 焦点为 ，其准线 与 轴交于点 ，过点 的直线与 交于 两点（点 在点
的左侧）.
（1）若点 是线段 的中点，求点 的坐标；
（2）若直线 与 交于点 ，记 内切的半径为 ，求 的取值范围.
19. 黎曼猜想是解析数论里的一个重要猜想，它被很多数学家视为是最重要的数学猜想之一．它与函数
（ ，s为常数）密切相关，请解决下列问题．
（1）当 时，讨论 的单调性；
（2）当 时；
①证明 有唯一极值点；
②记 的唯一极值点为 ，讨论 的单调性，并证明你的结论．
1-8 DCBCA ADC 9 BD 10ACD 11ABC 12 0 13 -3 14
15 （1）
2 证明：由题意知 ，
故
，
由于 ，则 ，故 ，
即 .16 过 作 于点 ，平面 平面 ，且平面 平面 ， 平面 ，
故 平面 ．又 平面 ， ．
又 ， ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
（2）
17 证明：如图，设 的中点为 ，连接 .
∵ 为 的中点，
∴ 且 .
又 为 的中点，且四边形 是平行四边形，
∴ 且
∴四边形 为平行四边形.
∴ .
又∵ 平面 平面 ，
∴ 平面 .
（2） .
18 （1） 或（2）
19
1 由 可得
，
令 ，则 ；
又 ， ，所以 ，即 恒成立；
即函数 在 上单调递减，
又 ，所以 ，
可得 恒成立，因此函数 在 上单调递减，
即当 时，函数 在 上单调递减；
2 当 时，
①由（1）可知
令 ，可得 ,
易知当 时， ，即函数 在 上单调递增，
当 时， ，即函数 在 上单调递减，
即函数 在 处取得极大值，也是最大值；
注意到 ，由单调性可得 ，可知 在 大于零，
不妨取 ，则 ；
由零点存在定理可知 存在唯一变号零点 ，
所以 存在唯一变号零点 满足 ，由 单调性可得，当 时， ，当 时， ；
即可得函数 在 上单调递增，在 单调递减；
所以 有唯一极大值点 ；
②记 的唯一极值点为 ，即可得
由 可得 ，
即可得 的反函数 ，
令 , ，则 ，
构造函数 ，则 ，
显然 在 恒成立，所以 在 上单调递增，
因此 ，即 在 上恒成立，
而 ，即 ，所以 在 上恒成立，
即可得 在 上恒成立，因此 在 单调递增；
易知函数 与其反函数 有相同的单调性，所以函数 在 上单调递增；
