文档内容
巴中市普通高中 2021 级“一诊”考试
数学（文科）
（满分150分 120分钟完卷）
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､班级､考号填写在答题卡规定的位置.
2.答选择题时请使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题答题时必须用0.5
毫米黑色墨迹签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置，在规定的答题区城以外答题无效，在
试题卷上答题无效.
3.考试结束后，考生将答题卡交回.
一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是
符合题目要求的.
1.若复数 满足 ，则在复平面内 对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.已知集合 ，或 ，则集合 （ ）
A. B. C. D.
3.已知 ，若 三个数成等比数列，则 （ ）
A.5 B.1 C.-1 D.-1，或1
4.已知向量 满足 ，则 （ ）
A. B. C. D.
5.已知 是实数，则“ ”是“ ”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
6.从2名男生和3名女生中任选两人主持文艺节目，则男生､女生都有人入选的概率为（ ）
A. B. C. D.
7.已知直线 与平面 ，下列命题中正确的是（ ）
A.若 ，则
学科网（北京）股份有限公司B.若 ，则
C.若 ，则
D.若 ，则
8. 中，角 的对边分别为 ，若 .则 （ ）
A. B. C. D.
9.若函数 在区间 内恰有一个零点，则实数 的取值集合为（ ）
A.
B. ，或
C.
D. ，或
10.已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线交抛物线 于 两点，点 在直线 上且
（ 为坐标原点），则下列结论中不正确的是（ ）
A.点 在圆 上
B.
C. 的最小值为5
D. 的面积的最小值为8
11.在三棱锥 中，侧面 是等边三角形，平面 平面 且 ，则
三棱锥 外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
学科网（北京）股份有限公司12.已知函数 ，若 ，且 在
上单调，则 的取值可以是（ ）
A.3 B.5 C.7 D.9
二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案写在答题卡的相应位置上.
13.已知 ，则 __________.
14.已知实数 满足约束条件 则 的最小值为__________.
15.已知奇函数 的导函数为 ，若当 时 ，且 .则 的单调增区
间为__________.
16.已知双曲线 的左，右焦点分别为 ，点 在直线 上.当 取最大值时，
__________.
三､解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试
题考生都必须作答，第22､23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分
17.（12分）
已知数列 的前 项和为 ，且 是 与2的等差中项.
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
18.（12分）
如图，在直三棱柱 中， 分别是 的中点， .
学科网（北京）股份有限公司（1）证明： 平面 ；
（2）求四棱锥 的体积.
19.（12分）
下图是某市2016年至2022年生活垃圾无害化处理量 （单位：万吨）与年份 的散点图.
（1）根据散点图推断变量 与 是否线性相关，并用相关系数加以说明；
（2）建立 关于 的回归方程（系数精确到0.01），预测2024年该市生活垃圾无害化处理量.
参考数据：
参考公式： ；相关系数 .
20.（12分）
已知椭圆 的离心率为 ，左顶点分别为 为 的上顶点，且 的面
积为2.
（1）求椭圆 的方程；
学科网（北京）股份有限公司（2）过点 的动直线与 交于 两点.证明：直线 与 的交点在一条定直线上.
21.（12分）.
已知函数 .
（1）当 时，求函数 的极值；
（2）设 ，若过原点 有且仅有一条直线与曲线 相切，求 的取值范围.
（二）选考题：共10分，请考生在第22､23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题
计分.
22.（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
在直角坐标系 中，已知曲线 （ 为参数）和圆 .以坐标原点
为极点，以 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线 和圆 的极坐标方程；
（2）设过点 倾斜角为 的直线 分别与曲线 和圆 交于点 （异于原点 ），求
的面积的最大值.
23.（10分）【选修4-5：不等式选讲】
已知函数 .
（1）解不等式 ；
（2）若不等式 恒成立，求 的取值范围.
学科网（北京）股份有限公司巴中市普通高中 2021 级“一诊”考试
数学参考答案（文科）
一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B A D A D C B C B D C A
二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 14.-7 15. 16.
三､解答题：共70分
17.（12分）
解：（1）方法1
由题意，得
两式相減得 ，化简得
取 得 ，解得
是以2为首相，2为公比的等比数列
学科网（北京）股份有限公司.
方法2
由题意，得
取 得 ，解得
当 时， ，整理得
是以4为首项，2为公比的等比数列
.
（2）由（1）得： ，故
故
18.（12分）
解：（1）证法1
由 且. 得
由直梭柱的性质知 平面 .
又 平面
学科网（北京）股份有限公司平面
平面
平面
平面
平面 .
证法2
由 其 得
出直棱柱的性质知，平面 平面
又 平面 ，垧 平面
平面
平面
平面
平面 .
（2）方法1：由（1）知 平面 ，又 平面
，故
又
，故
学科网（北京）股份有限公司由（1）知， 平面
方法2：同方法1得 ，故
连结 ，则
由（1）知， 平面
19.（12分）
解：（1）
由 与 的相关系数约为0.97表明： 与 的线性相关程度相当高
学科网（北京）股份有限公司可用线性同归模型拟合 与 的关系.
（2）由 及（1）得
关于 的回归方程为
代2024年对应的年份代码 入回归方程得：
预测2024年该市生活垃圾无害化处理量将约为1.84万吨.
20.（12分）
解：（1）由题意得 ，化简得
又
椭圆 的方程为
（2）方法1：由（1）得
设 ，直线 ，直线
由 得
山于 ，战 ①.
学科网（北京）股份有限公司由 得
由于 ，故 ②
由题设知 ，代入①②化简得
省 ，则 ，此时
故 重合，即直线 椭圆C相切，不合题意
点 满足 且 ，联立解得
即 与 的交点在定直线 上.
方法2：由（1）可得 ，设
山题意知，直线 的斜率不为0，设其方程为 ，且
由 消去 整理得
则 ，解得
由根与系数的关系得
直线 的方程为 ，直线 的方程为
联立直线 与直线 的方程可得：
学科网（北京）股份有限公司由 可得 ，故 与 的交点在定直线 上
方法3：由（1）可得 ，设
由题意知，直线 的斜率不为0，设其方程为 且
由 消去 整理得
则 ，解得
由根与系数的关系得
当线 的方程为 ，自线 的方程为
联立得
代入 得：
即 ，化简得
解得 ，故 与 的交点在定直线 上.
方法4：设 ，由题可知 的斜率一定存在，设
由 得
，解得
由根与系数的关系得
学科网（北京）股份有限公司又
联立解得：
，即 与 的交点在定直线 上.
方法5：设 ，由题意知 的斜率一定存在，设
山 得
，解得
由根与系数的关系得
①
由 得 ，即 ②
由①②得
直线 的方程为 ，直线 的方程为
联立直线 与直线 的方程解得
学科网（北京）股份有限公司与 的交点在定直线 上.
方法6：
设 与 交于点 ，则
代入 ，解得
由题设知
即 ，化简得
根据题意知 ，故
，即 与 的交点在定直线 上.
注：
本题第（2）问的解法1，解法4，解法6是参照2024年版《高考试题分析（数学）》P225-228对2023年高
考新课标II卷第21题的解题思路给出的.
21.（12分）
解：（1）当 时，
令 ，则
令 得 ，此时 单调递增
令 得 ，此时 单调递减
，即 在 内恒成立
当 时 ；当 时，
学科网（北京）股份有限公司，无极大值.
（2）方法1
由已知得
设过原点的直线与 相切于点
则该切线方程为
将 代入整理得 （*）
当 时，由（1）知恒有 ，当且仅当 时等号成立
方程（*）有且只有一个实根 ，符合题意
当 时，由 得
由（1）知恒有 ，故恒有
故方程（*）有且只有一个实根 ，也符合题意
当 时，有 ，且 ，故
此时方程 在 内有解，故方程（*）至少有两个解，不合题意
的取值范围为 .
方法2
由题意，
设过原点的直线与曲线 相切于点
由斜率公式与导数的几何意义得 .
化简得 ①
设 ，则
学科网（北京）股份有限公司当 时 单调减；当 时 单调增
由 知 ，当且仅当 取等号
当 时，关于 的方程①有唯一解
当 时，有 ，且
在 内有解，此时方程①至少有两个解，不合题意
当 时，过原点 有且仅有一条直线与曲线 相切.
的取值范围为 .
（二）选考题：共10分.
22.（10分）
解：（1）由 变形得 ，消去参数 得
代 入 和 的普通方程并化简得：
直线 的极坐标方程为 ，圆 极坐标方程为 .
（2）方法1
由题意，设直线 的极坐标方程为
代 入 得 ，故
代 入 得 ，故
由 知 ，印
由圆 的方程得
学科网（北京）股份有限公司当且仅当 时取等号
的面积的最大值为 .
方法2
由题意，设直线 的极坐标方程为
代 得 ，故
代 入 得 ，故
由 知，
由圆 的方程得
设 到直线 的距离为 ，则
当且仅当 时取等号
的面积的最大值为 .
方法3
设直线 的参数方程为 （ 为参数）.
代 的方程入 解得 ，故
学科网（北京）股份有限公司代 的方程入 解得 ，故
由 知，
下同方法1或2
方法4
设直线 的方程为 ，由 知，
由 解得 ；由 解得
设 到直线 的距离为 ，则
令 ，则
，当且仅当 时取等号
，即 的面积的最大值为 .
23.（10分）
解：（1）方法1
不等式 可化为：
① 解得
学科网（北京）股份有限公司② 解得
③ 解得
不等式 的解集为 .
方法2
由 解得 ，或 ，或
如图，由不等式解集的几何意义得： 的解集为
（2）“不等式 恒成立”等价于“不等式 恒成立”
记 ，则
当 时，
当 时，
当 时，
的取值范围为 .
学科网（北京）股份有限公司
