文档内容
1996 年黑龙江高考文科数学真题及答案
第Ⅰ卷（选择题共65分）
注意事项：
1．答案Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡
上．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用
橡皮擦干净后，在选涂其它答案，不能答在试题卷上．
3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．
一．选择题：本大题共15小题；第1—10题每小题4分，第11—15题每小题5分，共65
分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集 ，集合 ．则
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】显然C正确．
2．当 时，在同一坐标系中，函数 与 的图像
【答案】A
【解析】当 时，函数 是减函数，且过点 ；而函数 为增函数，
且过点 ．
第1页 | 共14页3．若 ，则 的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】 或 ，解得
或 ， 即
，所以 的取值范围是 ．
4．复数 等于
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ．
5．6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有
A．720种 B．360种 C．240种 D．120种
第2页 | 共14页【答案】C
【解析】将甲、乙两人捆绑在一起，不同的排法有 ．
6．已知 是第三象限角且 ，则
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知得 ，所以
．
7．如果直线 与平面 满足： 和 ，那么必
有
A． 且 B． 且 C． 且 D． 且
【答案】A
【解析】略．
8．当 时，函数 的
A．最大值是1，最小值是 B．最大值是1，最小值是
C．最大值是2，最小值是 D．最大值是2，最小值是
【答案】D
【解析】因为 ，由已知 ．故当
第3页 | 共14页，即 时， 有最大值是2；当 ，即 时， 有
最小值是 ．
9．中心在原点，准线方程为 ，离心率为 的椭圆方程是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题设可得 ，解得 ，所以椭圆方程是 ．
10．圆锥母线长为1，侧面展开图圆心角为 ，该圆锥的体积是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设圆锥底面半径为 ，则 ，得 ，则圆锥高为
，
圆锥的体积是 ．
11．椭圆 的两个焦点坐标是
A． B．
C． D．
【答案】B
第4页 | 共14页【解析】椭圆的标准方程为 ，而 的焦点为 ，所
以 的焦点坐标是 ．
12．将边长为 的正方形 沿对角线 折起，使得 ，则三棱锥
的体积为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】取 的中点 ，连接 ，如图所示．
均为等腰直角三角形， ，
∴ ，则 面 ， 就是三棱锥
的高，所以 ．
13．等差数列 的前 项和为30，前 项和为100，则它的前 项和为
A．130 B．170 C．210 D．260
【答案】C
【解析】由已知得 ，则 成等差数列，所以
．
14．设双曲线 的半焦距为 ，直线 过 两点．已知原点
第5页 | 共14页到直线 的距离为 ，则双曲线的离心率为
A．2 B． C． D．
【答案】A
【解析】直线 的方程为 ，原点到直线 的距离为 ，则
，即 ，解得 或 ，又 ，所以
，所以 不合题意．
15． 是 上的奇函数， ，当 时， ，则
等于
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
．
第Ⅱ卷（非选择题共85分）
注意事项：
1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中．
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．
二．填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．
16．已知点 与抛物线 的焦点的距离是5，则 ．
第6页 | 共14页【答案】4
【解析】由已知得 ，解得 ．
17．正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有 个．
（用数字作答）
【答案】32
【解析】从7个点中取3个点有 种取法，3个点共线的有3种，三角形共有
个．
18． 的值是 ．
【答案】
【解析】∵ ，∴ ，
．
19．如图，正方形 所在平面与正方形 所在平面成 的二面角，则异面直
线 与 所成角的余弦值是 ．
【答案】
【解析】由于 ，所以 即为异面直线 与
所 成 角 ， 设 正 方 形 边 长 为 ， 在 中 ，
， ．
第7页 | 共14页三．解答题：本大题共6小题；共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
20．（本小题满分11分）
解不等式 ．
【解】本小题考查对数函数性质，对数不等式的解法，分类讨论的方法和运算能力，满分
11分．
（Ⅰ） 时，原不等式等价于不等式组： ——2分
解得 ． ——5分
（Ⅱ）当 时，原不等式等价于不等式组： ——7分
解得 ． 10分
综上，当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ． ——11分
21．（本小题满分12分）
设等比数列 的前 项和为 ．若 ，求数列的公比 ．
【解】本小题主要考查等比数列的基础知识，逻辑推理能力和运算能力．满分12分．
若 ，则有 ．但 ，
即得 ，与题设矛盾，故 ． ——2分
又依题意 可得 ．
整理得 ．
由 得方程 ． ， —— 9分
∵ ，∴ ，∴ ． ——12分
第8页 | 共14页22．（本小题满分11分）
已知 的三个内角 满足： ，求
的值．
解法一：由题设条件知 ． ——2分
∵ ，∴ ．
将上式化为 ．
利用和差化积及积化和差公式，上式可化为
． ——6分
将 代入上式得
．
将 代入上式并整理得
——9分
，
∵ ，∴ ．
从而得 ． ——12分
解法二：由题设条件知 ．
设 ，则 ，可得 ， ——3分
所以
第9页 | 共14页． ——7分
依题设条件有 ，
∵ ，∴ ．
整理得 ——9分
，
∵ ，∴ ．
从而得 ． ——11分
23．（本小题满分12分）
【注意：本题的要求是，参照标号①的写法，在标号②、③、④、⑤的横线上填写适
当步骤，完成（Ⅰ）证明的全过程；并解答（Ⅱ），如图2．】
如图1，在正三棱柱 中， ， 分别是 上的
点，且 ．
（Ⅰ）求证：面 面 ；
（Ⅱ）求三棱锥 的体积．
（Ⅰ）证明： ①∵ ， ，延长 与 延
长线交于 ，连结 ．
∴ ，
∴ ．
② ．
∴ ．
③ ．
第10页 | 共14页∴ ．
④ ．
∴ ．
⑤ ．
∴ 面 ．
（Ⅱ）解：
【解】本小题考查空间线面关系，正三棱柱的性质，逻辑思维能力，空间想象能力及运算
能力．满分12分．
（Ⅰ）②∵ ，∴ ，∴ ， ——1分
③∵ 是等腰三角形，且 ，
∴ ，∴ ， —— 3分
④∵ 面 ，∴ 是 在面 上的射影，
且 ， —— 5分
⑤∵ ， 面 ， 面 ，
∴面 面 ． 7分
（Ⅱ）∵ ，
在面 内作 ，垂足为 ． ．
面 面 ，∴ 面 ，
∵ ，而 面 ，∴三棱柱 的高为 ．——9分
． ——10分
∴ ． ——12分
24．（本小题满分10分）
某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比
现在提高10%．如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确
到1公顷）?（粮食单产= ，人均粮食占有量= ）
【解】本小题主要考查运用数学知识和方法解决实际问题的能力，指数函数和二项式定理
的应用，近似计算的方法和能力．满分10分．
设耕地平均每年至多只能减少 公顷，又设该地区现有人口为 人，粮食单产为
第11页 | 共14页吨/公顷．
依题意得不等式 ．——5分
化简得 ． ——7分
∵
． —— 9分
∴ （公顷）．
答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷． ——10分
25．（本小题满分12分）
已知 是过点 的两条互相垂直的直线，且 与双曲线 各有
两个交点，分别为 和 ．
（Ⅰ）求 的斜率 的取值范围；
（Ⅱ）若 恰是双曲线的一个顶点，求 的值．
【解】本小题主要考查直线与双曲线的性质，解析几何的基本思想，以及综合运用知识的
能力．满分12分．
（Ⅰ）依题设， 的斜率都存在，因为 过点 且与双曲线有两个交点，故方
程组 ① ——1分
有两个不同的解．
在方程组①中消去 ，整理得 ． ②
若 ，则方程组①只有一个解，即 与双曲线只有一个交点，与题设矛盾，故
第12页 | 共14页，即 ，方程②的判别式为
．
设 的斜率为 ，因为 过点 且与双曲线有两个交点，故方程组
③
有两个不同的解．在方程组③中消去 ，整理得
． ④
同理有 ．
又因为 ，所以有 ． ——4分
于 是 ， 与 双 曲 线 各 有 两 个 交 点 ， 等 价 于
解得 ——6分
∴ ． ——7
分
（Ⅱ）双曲线 的顶点为 ．
取 时，有 ，
解得 ．从而 ． ——8分
将 代入方程④得 ． ⑤
记 与双曲线的两交点为 ，则
．
第13页 | 共14页由⑤知 ．
∴ ． ——11分
当取 时，由双曲线 关于 轴的对称性，知 ．
所以 过双曲线的一个顶点时， ． ——12分
第14页 | 共14页
