文档内容
驻马店市 2024~2025 学年度第二学期期末质量监测
高一数学试题
本试卷共19道题，满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效.
2.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
3.选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔
书写，字体工整，笔迹清楚.
4.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.
5.保持卷面清洁，不折叠、不破损.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. （ ）
A. B. C.1 D.
2. 的实部为（ ）
A. B.0 C.1 D.不存在
3.如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，则与 共线的向量是（ ）
A. B. C. D.
4.已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
5.已知直线 平面 ， ，那么过点P且平行于a的直线（ ）
A.只有一条，不在平面 内 B.有无数条，不一定在平面 内C.只有一条，且在平面 内 D.有无数条，一定在平面 内
6.将函数 的图象沿x轴向右平移 个单位后得到的图象关于原点对称，则实数
a的值为（ ）
A. B. C. D.
7.已知 为平行六面体，P为棱 的中点，则（ ）
①过点P有且只有一条直线与直线 和BC都相交；
②过点P有且只有一个平面与直线 和BC都平行；
③过点P有无数条直线与直线 和BC都垂直；
④过点P与直线 和BC的夹角均为 的直线至少有两条.
其中正确的命题个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
8.已知向量 ， ， 满足 ， ， ，则 的最大值为（ ）
A. B. C.1 D.2
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 中，若 ，则（ ）
A. B. C. D.
10.正三棱台 中， ，D为棱AB的中点，则（ ）
A. B.直线 与BC夹角的余弦值为
C.A到平面 的距离为 D.棱台 的体积为11.已知实数 ， ， ， 满足： ， ， ，则（ ）
A. 的最小值是
B.
C. 的取值范围是
D.存在实数 ， ， ， ，使得
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知复数 ， 为z的共轭复数，则 __________.
13.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.已知在阳马
中，侧棱 底面ABCD， ，则三棱锥 的外接球的表面积为
__________.
14. 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ，
则 的取值范围为__________.
四、解答题，本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）在平面直角坐标系中，已知角 的顶点为坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，
终边经过点 ，且 .
（1）求实数 及相应 的值；（2）当 时，化简 并求值.
16.（本小题满分15分）平面直角坐标系中x轴、y轴正方向上的单位向量分别记为 ， ，已知向量
， .
（1）若 ，求实数m的值；
（2）若 为锐角，求实数m的取值范围；
（3）当 时，求 在 方向上的投影向量的坐标.
17.（本小题满分15分）已知a，b，c分别为 三个内角A，B，C的对边，且
.
（1）求A；
（2）若 ，且 的面积为 ，求 的外接圆半径.
18.（本小题满分17分）如图，菱形ABCD所在的平面与矩形ACEF所在的平面相互垂直.
（1）证明：直线 平面ABF；
（2）若平面 平面BEF，求 的值；
（3）在（2）条件下，求平面DEF与平面ACD夹角的余弦值.
19.（本小题满分17分）已知函数 （ ， ， ）的图象上两点
， 及部分图象如下.（1）求函数 的解析式；
（2）若 ， ，且 ，求 的值；
（3）将 的图象沿x轴向左平移 个单位，再沿y轴向下平移1个单位得到 的图象.试
讨论关于x的方程 在区间 上解的个数.驻马店市2024~2025学年度第二学期期终质量检测
高一数学参考答案
一、选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B A D C B C D
二、选择题
题号 9 10 11
答案 AC ACD BCD
三、填空题：
12.4 13. 14.
四、解答题：
15.（1）根据三角函数的定义得 .
解得 或
当 时， ，
当 时，
（2）由 可知 ，此时 ，
原式子
.
16.由 得（1）由 ，则 ，即
解得 或
（2）由 为锐角，则 且
即 且 与 不同向共线，也即
解得 且 .
（3）当 时， ，
因 在 方向上的投影向量为
且 ，
从而可得
因此 在 方向上的投影向量为 .
17.（1）由正弦定理 （R为三角形外接圆半径）
则 可化为
又因
则
也即
解得 ，（2）由 及三角形面积 ，可得 .
根据余弦定理 ，得
又由正弦定理 （R为三角形外接圆半径）
则 即为所求.
18.（1）因为四边形ACEF为矩形，则 ，因此 面ABF
又因四边形ABCD为菱形，则 ，因此 面ABF
且 ，
根据面面平行的判定定理可得平面 平面ABF
因此 平面ABF
（2）由菱形ABCD所在的平面与矩形ACEF所在的平面相互垂直，
且面 面 ，
根据面面垂直的性质定理可得 面ABCD
则 ， ，
又由 ， ，则
同理可得
不妨取EF中点为M，记 ，则
从而可得 ， ，
因此 即为二面角 的平面角的大小
若平面 平面BEF，则 ，
也即 ，从而得（3）不妨记面 面
因 面ABCD，根据线面平行的性质定理可得
又因 ， ，
从而 ， ， 即为平面DEF与平面ACD的夹角.
在（2）条件下， ，
也即平面DEF与平面ACD夹角的余弦值为 .
19.（1）由图可知 ，
因此
由M，N点在 图象上
不妨取函数 图象上点 ，
从而可得 ，得
又因 及M的位置，
则从而可得 ，综上
注：其它方法求解出正确答案的不扣分
（2）由 ， ，且 ，则
且
因此
从而
（3）根据题意得
从而原方程可整理为
不妨记 ， ，
则 在 上单调，
且得到 ，
因此原方程等价于 即 在 内解的情况.
也即 ， 解的情况.
因为 ，当且仅当 时等号成立，结合图像因此：当 ，即 时，原方程无解；
当 时， ， 时，原方程有唯一解；
当 时， ， 时，原方程有两个不等实根
当 时， ， 时，原方程只有一个不等实根
综上所述：当 或 时，原方程只有一个不等实根；
当 ，原方程有两个不等实根；当 时，原方程无解.
