1997年重庆高考理科数学真题及答案_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·PDF_重庆

1997 年重庆高考理科数学真题及答案
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分．考试时间120
分钟．
第Ⅰ卷（选择题共65分）
一．选择题:本大题共15小题；第(1)—(10)题每小题4分,第(11)—(15)题每小题5分,
共65分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
1．设集合M=｛x│0≤x<2｝,集合N=｛x│x2-2x-3<0｝,集合M∩N= ( )
   
(A) x0 x1 (B) x0 x2
   
(C) x0 x1 (D) x0 x2
2．如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行,那么系数a= ( )
3 2
(A) －3 (B) －6 (C)  (D)
2 3
1 1
3．函数y=tg( x )在一个周期内的图像是 ( )
2 3
4．已知三棱锥D-ABC的三个侧面与底面全等，且AB=AC= 3,BC=2,则以BC为棱，以面
BCD与面BCA为面的二面角的大小是 ( )
3 1  2
(A) arccos (B) arccos (C) (D)
3 3 2 3

5．函数y=sin( 2x)+cos2x的最小正周期是 ( )
3

(A) (B)  (C) 2 (D) 4
2
6．满足arccos(1－x)arccosx的x的取值范围是 ( )
1 1 1 1
(A) [－1,－ ] (B) [－ ,0] (C) [0, ] (D) [ ,1]
2 2 2 2
7．将y=2x的图像 ( )
第1页 | 共11页(A) 先向左平行移动1个单位 (B) 先向右平行移动1个单位
(C) 先向上平行移动1个单位 (D) 先向下平行移动1个单位
再作关于直线y=x对称的图像，可得到函数y=log(x+1)的图像．
2
8．长方体一个顶点上三条棱的长分别是3,4,5,且它的八个顶点都在同一个球面上，这
个球的表面积是 ( )
(A) 20 2 (B) 25 2 (C) 50 (D) 200
 1
x 1
9．曲线的参数方程是 t (t是参数，t0),它的普通方程是 ( )
 y 1t2
 
x x2
(A) (x－1)2(y－1)=1 (B) y=

1x
2
1 x
(C) y  1 (D) y  1
 1x 2 1x2
10．函数y=cos2x-3cosx+2的最小值为 ( )
1
(A) 2 (B) 0 (C)  (D) 6
4

x3
2 
y2
2
11．椭圆C与椭圆  1关于直线x+y=0对称,椭圆C的方程是 ( )
9 4
 x2 2  y3 2  x2 2  y3 2
(A)  1 (B)  1
4 9 9 4

x2
2 
y3
2 
x2
2 
y3
2
(C)  1 (D)  1
9 4 4 9
12．圆台上、下底面积分别为、4,侧面积为6,这个圆台的体积是 ( )
2 3 7 3 7 3
(A) (B) 2 3 (C) (D)
3 6 3
 
13．定义在区间 , 的奇函数f(x)为增函数；偶函数g(x)在区间[0,）的图
像与f(x)的图像重合，设a>b>0,给出下列不等式：
①f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b)；
②f(b)－f(－a)<g(a)－g(－b)；
③f(a)－f(－b)>g(b)－g(－a)；
第2页 | 共11页④f(a)－f(－b)<g(b)－g(－a)，
其中成立的是 ( )
(A) ①与④ (B) ②与③ (C) ①与③ (D) ②与④
x 0

14．不等式组3x 2x 的解集是 ( )


3 x 2 x
   
(A) x0 x2 (B) x0 x2.5
 
 
(C) x0 x 6 (D) x0 x3
15．四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有
( )
(A) 150种 (B) 147种 (C) 144种 (D) 141种
第Ⅱ卷 (非选择题共85分)
二．填空题:本大题共4小题;每小题4分,共16分．把答案填在题中横线上．
a x 9
16．已知(  )9的展开式中x3的系数为 ,常数a的值为________
x 2 4
 2
17．已知直线的极坐标方程为sin( )= ,则极点到该直线的距离是_____
4 2
sin7cos15sin8
18． 的值为_______
cos7sin15sin8
19．已知m,l是直线，、是平面，给出下列命题：
①若l垂直于内的两条相交直线，则l；
②若l平行于,则l平行于内的所有直线；
③若m,l ,且l m,则；
④若l ,且l ,则；
⑤若m,l ,且∥,则m∥l．
第3页 | 共11页其中正确的命题的序号是_______ (注:把你认为正确的命题的序号都填上)
三．解答题:本大题共6小题;共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
20．(本小题满分10分)
3 1 2 2
已知复数z   i,  i．复数z,z23在复数平面上所对应的点分
2 2 2 2
别为P,Q．证明OPQ是等腰直角三角形（其中O为原点）．
21．(本小题满分11分)
   
已知数列 a , b 都是由正数组成的等比数列，公比分别为p、q,其中p> q,且
n n
S
p 1，q 1．设c a b ,S为数列  c  的前n项和．求lim n ．
n n n n n n S
n1
22．（本小题满分12分）
甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时．已
知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v
(千米/时)的平方成正比、比例系数为b；固定部分为a元．
I．把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定
义域；
II．为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
23．（本小题满分12分）
如图，在正方体ABCD-ABCD中，E、F分别是
1 1 1 1
BB、CD的中点．
1
I．证明ADDF；
1
II．求AE与DF所成的角；
1
III．证明面AED面AFD；
1 1
IV．设AA=2,求三棱锥F-AED的体积V
1 1 1 FAED
1 1
24．(本小题满分12分)
1
设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程f(x)－x=0的两个根x,x满足0<x<x< ．
1 2 1 2 a
I．当x(0, x)时，证明x<f (x)<x；
1 1
第4页 | 共11页x
II．设函数f(x)的图像关于直线x=x对称，证明x< 1 25．
0 0 2
(25)（本小题满分12分）
设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3:1，在满
足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l:x-2y=0的距离最小的圆的方程．
1997年普通高等学校招生全国统一考试
数学试题(理工农医类)参考解答及评分标准
一．选择题:本题考查基本知识和基本运算．
1．B 2．B 3．A 4．C 5．B 6．D 7．D 8．C 9．B 10．B
11．A 12．D 13．C 14．C 15．D
二．填空题:本题考查基本知识和基本运算．
2
16．4 17． 18．2 3 19．①，④
2
注:第(19)题多填、漏填和错填均给0分．
三．解答题
20．本小题主要考查复数的基本概念、复数的运算以及复数的几何意义等基础知识，考
查运算能力和逻辑推理能力．
解法一：
3 1  
z   i cos( )isin( ),
2 2 6 6
2 2  
  i cos isin
2 2 4 4
于是
 
zcos isin ,
12 12
第5页 | 共11页 
zcos( )isin( ),
12 12
  3 3
z23 [cos( )isin( )](cos isin )
3 3 4 4
5 5
cos isin
12 12
5  
因为OP与OQ的夹角为 ( )  ，所以OP⊥OQ．
12 12 2
因为 OP  z 1.OQ  z23 1，所以 OP  OQ
由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角，故△OPQ为等腰直角三角形．
解法二:
3 1  
因为z   i cos( )isin( )，所以z3 i．
2 2 6 6
2 2  
因为  i cos isin ，所以4 1
2 2 4 4
z23 z23 z z34
于是    i
z z z z 2  2
由此得OP⊥OQ，│OP│=│OQ│．
由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角，故△OPQ为等腰直角三角形．
(21)本小题主要考查等比数列的概念、数列极限的运算等基础知识，考查逻辑推理能
力和运算能力．满分11分．
解:
a (pn 1) b (qn 1)
S  1  1 ,
n p1 q1
S a (q1)(pn 1)b (p1)(qn 1)
n  1 1 ．
S a (q1)(pn1 1)b (p1)(qn1 1)
n1 1 1
分两种情况讨论．
(Ⅰ)p>1．
q
∵ p  q 0,0 1,
p
第6页 | 共11页S
lim n
nS
n1
1 qn 1
pn[a (q1)(1 )b(p1)(  )]
1 pn 1 pn pn
 lim
n 1 qn1 1
pn1[a (q1)(1 )b(p1)(  )]
1 pn1 1 pn1 pn1
1 q 1
a (q1)(1 )b(p1)[( )n  ]
1 pn 1 p pn
= plim
1 q 1
n a (q1)(1 )b(p1)[( )n1 ]
1 pn1 1 p pn1
a (q1)
 p 1
a (q1)
1
=p．
(Ⅱ)p<1．
∵ 0<q<p<1，
S
lim n
nS
n1
a (q1)(pn 1)b(p1)(qn 1)
 lim 1 1
na (q1)(pn11)b(p1)(qn11)
1 1
a (q1)b(p1)
 1 1 1
a (q1)b(p1)
1 1
(22)本小题主要考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识，考查
综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，满分12分．
s
解：（Ⅰ）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为 ，全程运输成本为
v
S S a
y  a bv2   S( bv)
v v v
故所求函数及其定义域为
a
y  S( bv),v(0,c]
v
(Ⅱ)依题意知S，a，b，v都为正数，故有
a
S( bv) 2S ab
v
第7页 | 共11页a a
当且仅当 bv,．即v  时上式中等号成立
v b
a a
若 c，则当v  时，全程运输成本y最小，
b b
a
若 c，则当v(0,c]时，有
b
a a
S( bv)S( bc)
v c
a a
 S[(  )(bvbc)]
v c
S
= (cv)(abcv)
vc
因为c－v≥0，且a>bc2，故有a－bcv≥a－bc2>0，
a a
所以S( bv) S( bc)，且仅当v=c时等号成立，
v c
也即当v=c时，全程运输成本y最小．
ab ab
综上知，为使全程运输成本y最小，当 c时行驶速度应为v  ；当
b b
ab
c时行驶速度应为v=c．
b
(23)本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，考查逻辑推
理能力和空间想象能力，满分12分．
解:(Ⅰ)∵AC是正方体，
1
∴AD⊥面DC．
1
又DF面DC，
1 1
∴AD⊥DF．
1
(Ⅱ)取AB中点G，连结AG，FG．因为F是CD的中点，所
1
以GF、AD平行且相等，又AD、AD平行且相等，所以GF、AD平行且相等，故GFDA是
1 1 1 1 1 1
平行四边形，AG∥DF．
1 1
设AG与AE相交于点H，则∠AHA是AE与DF所成的角，因为E是BB的中点，所以
1 1 1 1
Rt△AAG≌Rt△ABE，∠GAA=∠GAH，从而∠AHA=90°，即直线AE与DF所成角为直
1 1 1 1
角．
第8页 | 共11页(Ⅲ)由(Ⅰ)知AD⊥DF，由(Ⅱ)知AE⊥DF，又AD∩AE=A，所以DF⊥面AED．又因为DF
1 1 1 1
面AFD，所以面AED⊥面AFD．
1 1 1 1
(Ⅳ)连结GE，GD．
1
∵FG∥AD，∴FG∥面AED，
1 1 1 1
∴V V V
FAED GAED DAGE
1 1 1 1 1 1
∵AA=2，
1
3
∴S  S 2S S 
A 1 GE 正方形ABB1A1 A 1 AG GBE 2
1 1 3
V V  AD S  2 1
FA 1 ED 1 D 1 A 1 GE 3 1 1 A 1 GE 3 2
(24)本小题主要考查一元二次方程、二次函数和不等式的基础知识，考查综合运用数
学知识分析问题和解决问题的能力．满分12分．
证明:(Ⅰ)令F(x)=f(x)－x．因为x，x是方程f(x)－x=0的根，所以
1 2
F(x)=a(x－x)(x－x)．
1 2
当x∈(0，x)时，由于x<x，得(x－x)(x－x)>0，又a>0，得
1 1 2 1 2
F(x)=a(x－x)(x－x)>0，
1 2
即x<f(x)．
x  f(x)
1
 x [xF(x)]
1
 x xa(x x)(xx )
1 1 2
(x x)[1a(xx )]
1 2
1
因为0 x  x  x 
1 2 a
所以x－x>0，1+a(x－x)=1+ax－ax>1－ax>0．
1 2 2 2
得 x－f(x)>0．
1
由此得f(x)<x．
1
(Ⅱ)依题意知
b
x  
0 2a
因为x，x是方程f(x)－x=0的根，即x，x是方程ax2+(b－1)x+c=0的根．
1 2 1 2
b1
∴x  x   ，
1 2 a
第9页 | 共11页b a(x  x )1 ax ax 1
x    1 2  1 2
0 2a 2a 2a
ax x
因为ax<1，所以x  1  1 ．
2 0 2a 2
(25)本小题主要考查轨迹的思想，求最小值的方法，考查综合运用知识建立曲线方程
的能力．满分12分．
解法一:设圆的圆心为P(a，b)，半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为│b│，
│a│．
由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°，知圆P截X轴所得的弦长为 2r ，
故r2=2b2，
又圆P截y轴所得的弦长为2，所以有
r2=a2+1．
从而得2b2－a2=1．
又点P(a，b)到直线x－2y=0的距离为
a2b
d  ，
5
所以5d2=│a－2b│2
=a2+4b2－4ab
≥a2+4b2－2(a2+b2)
=2b2－a2=1，
当且仅当a=b时上式等号成立，此时5d2=1，从而d取得最小值．
由此有
a b,

2b2 a2 1
解此方程组得
a 1, a  1,
 或
b 1; b  1.
由于r2=2b2知r  2．
于是，所求圆的方程是
第10页 | 共11页(x－1) 2+(y－1) 2=2，或(x+1) 2+(y+1) 2=2．
a2b
解法二:同解法一，得d 
5
∴a2b   5d
得a2  4b2 4 5bd 5d2 ①
将a2=2b2－1代入①式，整理得
2b2 4 5db5d2 10 ②
把它看作b的二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即
△=8(5d2－1)≥0，
得 5d2≥1．
5
∴5d2有最小值1，从而d有最小值 ．
5
将其代入②式得2b2±4b+2=0．解得b=±1．
将b=±1代入r2=2b2，得r2=2．由r2=a2+1得a=±1．
综上a=±1，b=±1，r2=2．
由 a2b =1知a，b同号．
于是，所求圆的方程是
(x－1) 2+(y－1) 2=2，或(x+1) 2+(y+1) 2=2．
第11页 | 共11页