1997年河南高考理科数学真题及答案_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·PDF_河南

1997 年河南高考理科数学真题及答案 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分．考试时间120 分钟． 第Ⅰ卷（选择题共65分） 一．选择题:本大题共15小题；第(1)—(10)题每小题4分,第(11)—(15)题每小题5分, 共65分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 1．设集合M=｛x│0≤x<2｝,集合N=｛x│x2-2x-3<0｝,集合M∩N= ( )     (A) x0 x1 (B) x0 x2     (C) x0 x1 (D) x0 x2 2．如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行,那么系数a= ( ) 3 2 (A) －3 (B) －6 (C)  (D) 2 3 1 1 3．函数y=tg( x )在一个周期内的图像是 ( ) 2 3 4．已知三棱锥D-ABC的三个侧面与底面全等，且AB=AC= 3,BC=2,则以BC为棱，以面 BCD与面BCA为面的二面角的大小是 ( ) 3 1  2 (A) arccos (B) arccos (C) (D) 3 3 2 3  5．函数y=sin( 2x)+cos2x的最小正周期是 ( ) 3  (A) (B)  (C) 2 (D) 4 2 6．满足arccos(1－x)arccosx的x的取值范围是 ( ) 1 1 1 1 (A) [－1,－ ] (B) [－ ,0] (C) [0, ] (D) [ ,1] 2 2 2 2 7．将y=2x的图像 ( ) 第1页 | 共11页(A) 先向左平行移动1个单位 (B) 先向右平行移动1个单位 (C) 先向上平行移动1个单位 (D) 先向下平行移动1个单位 再作关于直线y=x对称的图像，可得到函数y=log(x+1)的图像． 2 8．长方体一个顶点上三条棱的长分别是3,4,5,且它的八个顶点都在同一个球面上，这 个球的表面积是 ( ) (A) 20 2 (B) 25 2 (C) 50 (D) 200  1 x 1 9．曲线的参数方程是 t (t是参数，t0),它的普通方程是 ( )  y 1t2   x x2 (A) (x－1)2(y－1)=1 (B) y=  1x 2 1 x (C) y  1 (D) y  1  1x 2 1x2 10．函数y=cos2x-3cosx+2的最小值为 ( ) 1 (A) 2 (B) 0 (C)  (D) 6 4  x3 2  y2 2 11．椭圆C与椭圆  1关于直线x+y=0对称,椭圆C的方程是 ( ) 9 4  x2 2  y3 2  x2 2  y3 2 (A)  1 (B)  1 4 9 9 4  x2 2  y3 2  x2 2  y3 2 (C)  1 (D)  1 9 4 4 9 12．圆台上、下底面积分别为、4,侧面积为6,这个圆台的体积是 ( ) 2 3 7 3 7 3 (A) (B) 2 3 (C) (D) 3 6 3   13．定义在区间 , 的奇函数f(x)为增函数；偶函数g(x)在区间[0,）的图 像与f(x)的图像重合，设a>b>0,给出下列不等式： ①f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b)； ②f(b)－f(－a)g(b)－g(－a)； 第2页 | 共11页④f(a)－f(－b) q,且 n n S p 1，q 1．设c a b ,S为数列  c  的前n项和．求lim n ． n n n n n n S n1 22．（本小题满分12分） 甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时．已 知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v (千米/时)的平方成正比、比例系数为b；固定部分为a元． I．把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定 义域； II．为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 23．（本小题满分12分） 如图，在正方体ABCD-ABCD中，E、F分别是 1 1 1 1 BB、CD的中点． 1 I．证明ADDF； 1 II．求AE与DF所成的角； 1 III．证明面AED面AFD； 1 1 IV．设AA=2,求三棱锥F-AED的体积V 1 1 1 FAED 1 1 24．(本小题满分12分) 1 设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程f(x)－x=0的两个根x,x满足01． q ∵ p  q 0,0 1, p 第6页 | 共11页S lim n nS n1 1 qn 1 pn[a (q1)(1 )b(p1)(  )] 1 pn 1 pn pn  lim n 1 qn1 1 pn1[a (q1)(1 )b(p1)(  )] 1 pn1 1 pn1 pn1 1 q 1 a (q1)(1 )b(p1)[( )n  ] 1 pn 1 p pn = plim 1 q 1 n a (q1)(1 )b(p1)[( )n1 ] 1 pn1 1 p pn1 a (q1)  p 1 a (q1) 1 =p． (Ⅱ)p<1． ∵ 0bc2，故有a－bcv≥a－bc2>0， a a 所以S( bv) S( bc)，且仅当v=c时等号成立， v c 也即当v=c时，全程运输成本y最小． ab ab 综上知，为使全程运输成本y最小，当 c时行驶速度应为v  ；当 b b ab c时行驶速度应为v=c． b (23)本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，考查逻辑推 理能力和空间想象能力，满分12分． 解:(Ⅰ)∵AC是正方体， 1 ∴AD⊥面DC． 1 又DF面DC， 1 1 ∴AD⊥DF． 1 (Ⅱ)取AB中点G，连结AG，FG．因为F是CD的中点，所 1 以GF、AD平行且相等，又AD、AD平行且相等，所以GF、AD平行且相等，故GFDA是 1 1 1 1 1 1 平行四边形，AG∥DF． 1 1 设AG与AE相交于点H，则∠AHA是AE与DF所成的角，因为E是BB的中点，所以 1 1 1 1 Rt△AAG≌Rt△ABE，∠GAA=∠GAH，从而∠AHA=90°，即直线AE与DF所成角为直 1 1 1 1 角． 第8页 | 共11页(Ⅲ)由(Ⅰ)知AD⊥DF，由(Ⅱ)知AE⊥DF，又AD∩AE=A，所以DF⊥面AED．又因为DF 1 1 1 1 面AFD，所以面AED⊥面AFD． 1 1 1 1 (Ⅳ)连结GE，GD． 1 ∵FG∥AD，∴FG∥面AED， 1 1 1 1 ∴V V V FAED GAED DAGE 1 1 1 1 1 1 ∵AA=2， 1 3 ∴S  S 2S S  A 1 GE 正方形ABB1A1 A 1 AG GBE 2 1 1 3 V V  AD S  2 1 FA 1 ED 1 D 1 A 1 GE 3 1 1 A 1 GE 3 2 (24)本小题主要考查一元二次方程、二次函数和不等式的基础知识，考查综合运用数 学知识分析问题和解决问题的能力．满分12分． 证明:(Ⅰ)令F(x)=f(x)－x．因为x，x是方程f(x)－x=0的根，所以 1 2 F(x)=a(x－x)(x－x)． 1 2 当x∈(0，x)时，由于x0，又a>0，得 1 1 2 1 2 F(x)=a(x－x)(x－x)>0， 1 2 即x0，1+a(x－x)=1+ax－ax>1－ax>0． 1 2 2 2 得 x－f(x)>0． 1 由此得f(x)