2007年重庆高考文科数学真题及答案_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·PDF_重庆

2007 年重庆高考文科数学真题及答案 共5页，满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色铅字笔，将答案书写在答案卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。 5.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。 参考公式： 如果事件A、B互斥，那么P(AB)P(A)P(B) 如果事件A、B相互独立，那么P(A· B)P(A)· P(B) 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k 次的概率 P(k)C1pk(1 p)nk(k 0,1,2，n) n 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个备选项中， 只有一项是符合题目要求的。 （1）在等比数列{a}中，a＝8，a＝64，则公比q为 n 2 1 （A）2 （B）3 （C）4 （D）8 （2）设全集U＝|a、b、c、d|，A＝|a、c|，B=|b|，则A∩（CuB）＝ （A） （B）{a} （C）{c} （D）{a,c} （3）垂直于同一平面的两条直线 （A）平行 （B）垂直 （C）相交 （D）异面 （4）（2x-1）2展开式中x2的系数为 （A）15 （B）60 （C）120 （D）240 （5）“-1＜x＜1”是“x2＜1”的 （A）充分必要条件 （B）充分但不必要条件 （C）必要但不充分条件 （D）既不充分也不必要条件 3 （6）下列各式中，值为 的是 2 （A）2sin15cos15 （B）cos215sin215 （C）2sin2151 （D）sin215cos215 （7）从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张 中至少有2张价格相同的概率为 1 79 3 23 （A） （B） （C） （D） 4 120 4 24 （8）若直线ykx1与圆x2  y2 1相交于P、Q两点，且∠POQ＝120°（其中O为 第1页 | 共11页原点），则k的值为 (A) - 3或 3 （B） 3 （C） 2 或 3 （D） 2 （9）已知向量OA=（4，6），OB=（3，5），且OC⊥OA， AC∥OB，则向量 OC=  3 2  2 4  3 2 2 4  （A） ,  （B） ,  （C） ,  （D） ,   7 7  7 21 7 7 7 21 （10）设P（3，1）为二次函数 f(x)ax2 2axb(x1)的图象与其反函数 f  f 1(x) 的图象的一个交点，则 1 5 1 5 （A）a ,b （B）a ,b 2 2 2 2 1 5 1 5 （C）a ,b （D）a ,b 2 2 2 2 （11）设 3b是1a和1a的等比中项，则a+3b的最大值为 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 （12）已知以F（2,0），F（2,0）为焦点的椭圆与直线x 3y 40有且仅有一个交 1 2 点，则椭圆的长轴长为 （A）3 2 （B）2 6 （C）2 7 （D）4 2 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填写在答题卡相应位置上。 （13）在△ABC中，AB=1,BC=2,B=60°，则AC＝ 。 2x3y6  （14）已知x- y0 则z3x y的最大值为 。   y0， （15）要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6门课各一节的课程表， 要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法种数为 。（以数字作 答） （16）函数 f(x) x2 2x 2 x25x4的最小值为 。 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分） 3 4 设甲乙两人每次射击命中目标的概率分别为 和 ，且各次射击相互独立。 4 5 （Ⅰ）若甲、乙各射击一次，求甲命中但乙未命中目标的概率； （Ⅱ）若甲、乙各射击两次，求两命中目标的次数相等的概率。 （18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问9分） 第2页 | 共11页  2cos2x   4 已知函数 。  sin(x ) 2 （Ⅰ）求f(x)的定义域； 3 （Ⅱ）若角a在第一象限且cosa ,求f（a）。 5 （19）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分。） 3 如题（19）图，在直三棱柱ABC-ABC中，∠ABC＝90°，AB=1,BC= ,AA=2;点D在棱BB 1 1 1 2 1 2 1 上，BD＝ BB；BE⊥AD，垂足为E，求： 1 1 1 3 题（19）图 （Ⅰ）异面直线AD与BC的距离； 1 1 1 （Ⅱ）四棱锥C-ABDE的体积。 20.（本小题满分12分） 用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问 该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？ （21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分） 如题（21）图，倾斜角为a的直线经过抛物线y2 8x的焦点F，且与抛物线交于A、B 两点。 第3页 | 共11页题（21）图 （Ⅰ）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程； （Ⅱ）若a为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明|FP|-|FP|cos2a为 定值，并求此定值。 （22）（本小题满分12分，其中（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分） 已知各项均为正数的数列{a}的前n项和S满足S＞1，且 n n n 6S (a 1)(a 2)1,nN. n n n （Ⅰ）求｛a｝的通项公式； n   （Ⅱ）设数列｛b｝满足a 2n 1 1,并记T为｛b｝的前n项和，求证： n n n n 3T 1＞1log (a 3),nN. 2 n 第4页 | 共11页答案 一、选择题：每小题5分，满分60分。 （1）A（2）D（3）A（4）B（5）A（6）B（7）C（8）A（9）D（10）C （11）B（12）C 二、填空题：每小题4分，满分16分。 （13） 3 （14）9（15）288（16）1+2 2 三、解答题：满分74分 解：（Ⅰ）设A表示甲命中目标，B表示乙命中目标，则A、B相互独立，且P（A）＝ 3 4 ,P(B) ，从而甲命中但乙未命中目标的概率为 4 5 3  4 3 P(AB)P(A)P(B) 1  . 4  5 20 （Ⅱ）设A表示甲在两次射击中恰好命中k次，B表示乙有两次射击中恰好命中l次。 1 1 依题意有 k 2k 3 1 P(A )Ck    ,k 0,1,2. 1 2 4 4 l 2l 4 1 P(B )Cl    ,l 0,1,2. 1 2 5 5 由独立性知两人命中次数相等的概率为 P(A B )P(A B )P(A B ) 0 0 1 1 2 2 P(A )P(B )P(A )P(B )P(A )P(B ) 0 0 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 3 1 4 1 3 4   ·   C1· · · C2· · C2·   C2·   4 5 2 4 4 3 5 5 2 4 2 5 1 1 3 4 9 16 193 ＝      ＝ ＝0.4825. 16 25 4 25 16 25 400 (18)（本小题13分）     解：（Ⅰ）由sinx 0得x k,即xk (kZ),  2 2 2    故f(x)的定义域为xR|xk ,kZ.  2  2 3 4 （Ⅱ）由已知条件得sina 1cos2 a  1   . 5 5  1 2cos(2a ) 4 从而 f(a)  sin(a ) 2    1 2cosacos sin2asin   4 4 ＝ cosa 第5页 | 共11页1cos2asina 2cos2 a2sinacosa ＝  cosa cosa 14 ＝2(cosasina) . 5 （19）（本小题12分） 解法一：（Ⅰ）由直三棱柱的定义知BC⊥BD，又因为∠ABC＝90°，因此BC⊥AB， 1 1 1 1 1 1 1 从而BC⊥平面ABD，得BC⊥BE。又BE⊥AD， 1 1 1 1 1 1 1 1 1 故BE是异面直线BC与AD的公垂线 1 1 1 1 1 4 由BD BB 知B D , 3 1 1 3 2 4 5 在Rt△ABD中，AD＝ A B2 B D2  1   . 1 1 2 1 1 1 3 3 1 1 又因S  A B · B D A D· B E. △A 1 B 1 D 2 1 1 1 2 1 1 4 1· 故BE= A 1 B 1 · B 1 D  3  4 . 1 A D 5 5 1 3 （Ⅱ）由（Ⅰ）知BC⊥平面ABD，又BC∥BC，故BC⊥平面ABDE，即BC为四棱锥 1 1 1 1 1 1 C-ABDE的高。从而所求四棱锥的体积V为 1 V＝V ＝ BC， C-ABDE 3 其中S为四边形ABDE的面积。如答（19）图1，过E作EF⊥BD，垂足为F。 答（19）图1 2 2 4 4 16 在Rt△BED中，ED= B D2 B E2       , 1 1 1 3 5 15 1 1 又因S = B E· DE B D· EF, △B1ED 2 1 2 1 B E· DE 16 故EF= 1  . B D 25 1 第6页 | 共11页16 9 因△AAE的边AA上的高h A B EF 1  ,故 1 1 1 1 25 25 1 1 9 9 S ＝ A A· h · 2·  . △A1AE 2 1 2 25 25 1 1 4 2 又因为S ＝ A B · B D · 2·  ,从而 △A1BD 2 1 1 1 2 3 3 9 2 73 S＝S -S -S ＝2-   . △A1AE △A1AE △A1B1D 25 3 75 1 1 73 3 73 所以V  · S· BC  · ·  . 3 3 75 2 150 解法二：（Ⅱ）如答（19）图2，以B点为坐标原点O建立空间直角坐标系O-xyz，则 答（19）图2 A(0,1,0),A(0,1,2),B(0,0,0). 1 3 2 B(0,0,2),C( ,0,2),D(0,0, ) 1 1 2 3 因此 AA (0,0,2),AB(0,1,0), 1 2 4 B C ( ,0,0),A D(0,1, ). 2 1 3 1 3 3 设E（ ，y，z），则B E(y ,z ,2)， 2 0 0 1 0 0 因此B E· B C 0,从而B C B E. 1 1 1 1 1 1 又由题设BE⊥AD，故BE是异面直线BC与AD的公垂线。 1 1 1 1 1 1 下面求点E的坐标。 因BE⊥AD，即B E· A D0,从而 1 1 1 1 4 y  (z 2)0, (1) 0 3 0  又A E(0,y 1,z 2),且A E∥ AD,得 1 0 0 1 1 第7页 | 共11页y 1 z 2 0  0 , (2)  1 4 3 16 38  16 38  16 12 联立（1）、（2）,解得y  ,z  ,即E0, , ，B E0, , 。 0 25 0 25  25 25 1  25 25 2 2 16 12 4 所以|B E|      . 1 25 25 5 （Ⅱ）由BC⊥AB，BC⊥DB，故BC⊥面ABDE.即BC为四棱锥C-ABDE的高. 下面求四边形ABDE的面积。 2 因为S ＝S + S ，|AB|1,|BD| ABCD ABE ADE 3 1 1 38 19 而S ＝ |AB|z  ·1· ＝ . ABE 2 0 2 25 25 1 1 2 16 16 S ＝ |BD| y  · · ＝ . BDE 2 0 2 3 25 75 19 16 73 故S ＝   . ABCD 25 75 75 1 1 73 3 73 所以V  · S · |BC| · ·  . CABCD 3 ABDE 3 75 2 150 （20）（本小题12分） 解：设长方体的宽为x（m），则长为2x(m)，高为 1812x  3 h 4.53x(m) 0＜x＜ . 4  2 故长方体的体积为 3 V(x)2x2(4.53x)9x2 6x3(m3) (0＜x＜ ). 2 从而V(x)18x18x2(4.53x)18x(1x). 令V′（x）＝0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1. 2 当0＜x＜1时，V′（x）＞0；当1＜x＜ 时，V′（x）＜0， 3 故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。 从而最大体积V＝V′（x）＝9×12-6×13（m3），此时长方体的长为2 m，高为1.5 m. 答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m3。 （21）（本小题12分） （Ⅰ）解：设抛物线的标准方程为y2 2px，则2p8，从而 p4. p 因此焦点F( ,0)的坐标为（2，0）. 2 p 又准线方程的一般式为x 。 2 从而所求准线l的方程为x2。 第8页 | 共11页答（21）图 （Ⅱ）解法一：如图（21）图作AC⊥l，BD⊥l，垂足为C、D，则由抛物线的定义知 |FA|=|FC|,|FB|=|BD|. 记A、B的横坐标分别为xx，则 x z p p p 4 |FA|＝|AC|＝x  |FA|cosa  |FA|cosa4解得|FA| ， x 2 2 2 1cosa 4 类似地有|FB|4|FB|cosa，解得|FB| 。 1cosa 记直线m与AB的交点为E，则 |FA||FB| 1 1 4 4  4cosa |FE||FA||AE||FA|  (|FA||FB|)    2 2 21cosa 1cosa sin2 a |FE| 4 所以|FP|  。 cosa sin2 a 4 4· 2sin2 a 故|FP||FP|cos2a (1cos2a) 8。 sin2 a sin2 a 解法二：设 A(x ,y )， B(x ,y )，直线 AB的斜率为 k tana，则直线方程为 A A B B yk(x2)。 k(k2 2) 将此式代入y2 8x,得k2x2 4(k2 2)x4k2 0，故x  x  。 A B k2 记直线m与AB的交点为E(x ,y )，则 E E x  x 2(k2 2) x  A B  ， E 2 k2 4 y k(x 2) ， E E k 4 1 2k2 4 故直线m的方程为y  x . k k   k2   2k2 4 令y=0,得P的横坐标x  4故 P k2 4(k2 1) 4 |FP|x 2  。 P k2 sin2 a 4 4· 2sin2 a 从而|FP||FP|cos2a (1cos2a) 8为定值。 sin2 a sin2 a 第9页 | 共11页（22）（本小题12分） 1 （Ⅰ）解：由a S  (a 1)(a 2)，解得a＝1或a＝2，由假设a＝S＞1，因此 1 1 6 1 1 1 1 1 1 a＝2。 1 1 1 又由a ＝S - S＝ (a 1)(a 2) (a 1)(a 2)， n+1 n+1 n 6 n1 n1 6 n n 得a - a-3＝0或a ＝-a n+1 n n+1 n 因a＞0，故a ＝-a不成立，舍去。 n n+1 n 因此a - a-3＝0。从而｛a｝是公差为3，首项为2的等差数列，故｛a｝的通项为a n+1 n n n n ＝3n-2。 （Ⅱ）证法一：由a (2b 1)1可解得 n  1  3n b log 1 log ； z z  a n   z 3n1 3 6 3n  从而T n b 1 b 2   b n log z  2 · 5 ·  · 3n1   。 3 3 6 3n  2 因此3T n 1log z (a n 3)log z  2 · 5 ·  · 3n1   · 3n2 。 3 3 6 3n  2 令 f(x) · ·  ·  · ,则 2 5 3n1 3n2 f(n1) 3n2 3n3 3 (3n3)3  ·    。 f(n) 3n5 3n2 (3n5)(3n2)2 因(3n3)2 (3n5)(3n2)2 9n7＞0，故 f(n1)＞f(n). 27 特别的 f(n) f(1) ＞1。从而3T 1log(a 3)log f(n)＞0， 20 n n 即3T 1＞log (a 3)。 n 2 n 证法二：同证法一求得b及T。 n n 由二项式定理知当c＞0时，不等式 (1c)3＞13c成立。 由此不等式有 3 3 3  1  1  1  3T n 1log 2 2  1 2     1 5     1 3n1   第10页 | 共11页 3 3  3  ＞log 2 2  1 2     1 5     1 3n1   5 8 3n2 ＝log 2· · · · log (3n2)log (a 3)。 2 2 4  3n1 2 2 n 证法三：同证法一求得b及T。 n n 3 6 3n 3 7 3n1 5 8 3n2 令A＝ · · · ，B＝ · · · ，C＝ · · · 。 n  n  n  2 5 3n 4 6 3n 4 7 3n1 3n 3n1 3n2 3n2 因 ＞ ＞ ，因此A3＞A B C  。 3n1 3n 3n1 n n n n 2 从而 3 2 6 3n  3T n 1log 2 2 3 · 5 ·  · 3n1   log 2 2A x 3 ＞log 2A B C log (3n2)log (a 3)。 2 n n n 2 2 n 第11页 | 共11页