文档内容
宁波市 期末九校联考 高一数学试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无
效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
选择题部分
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．已知集合 ， ，则
A． B． C． D．
2．已知函数 ，则 的零点所在区间为
A． B． C． D．
3．函数 的定义域为
A． B．
C． D．
4．下列命题为真命题的是
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
5．“函数 在 上单调”的一个充分不必要条件是
A． B． C． D．
6．若不等式 对任意的 恒成立，则 的最小值为
A． B． C． D．
7．已知 是定义在 上的奇函数，且当 时， ，则 在 上的最大值为A． B． C． D．
8．已知函数 ( )， 为 的零点， 为 图象的对称轴，
且 在上 单调，则 的最大值为
A．10 B．12 C．14 D．18
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得6分，有选错的得0分，部分选对部分得分。
9．下列命题中正确的是
A． ， B． ，
C． ， D． ，
10．设函数 ，则
A． 是周期函数 B． 的图象有对称中心
C． 的图象关于直线 对称D． 在区间 上单调递减
11．已知函数 ，若关于 的方程 有四个不同的实数解，它
们从小到大依次记为 ， ， ， ，则
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知扇形的周长为8，圆心角为6rad，则扇形的面积为 ▲ ．
13．设矩形 的周长为12，把 沿 向 折叠， 折过去后交 于点 ，
则 的最大面积是 ▲ ．
14．已知 ，若对于任意的 ，
恒成立，则 的取值范围是 ▲ ．
四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（1）计算： ；（2）已知 ， ，求 的值．
16．已知 ，
（1）若 ，求 ；
（2）若 ，则求实数 的取值范围．
17．已知函数 ，且 ．
（1）求 的值及 的单调递增区间；
（2）若将 的图象向左平移 个单位，再将所得图象上每个点的横坐标变为原来的2倍
（纵坐标不变），得到函数 的图象，则求不等式 的解集
18．已知函数 ， ， ， ；
（1）当 时，求函数 的值域；
（2）当 时， 恒成立，求 的取值范围；
（3）若存在 ，使得不等式 对任意 恒成立，求 的取值
范围．
19．已知 和 都是定义在 上的函数，若它们满足如下性质：① 为奇函数， 为偶函数；
② ( ， )；
则称 为类正弦函数， 为类余弦函数．
（1）求类正弦函数和类余弦函数的解析式；
（2）求证：
（i） ；
（ii） ；
（3）解关于 的不等式： ，其中 为非零常数．宁波市 期末九校联考 高一数学参考答案
一、单选题
1．D 2．C 3．A 4．D 5．B 6．C 7．B 8．C
8．解析：由题意知， ，所以 ，又因为 ，所以 . 当
时， ，因为 ，所以 ，此时 ，经检验，在 上
不单调，舍去；当 时， ，因为 ，所以 ，此时 ，
经检验，在 上单调递减. 故选C.
二、多选题
9．AC 10．ABD 11．ABD
三、填空题
12．3 13． 14．
14．解析：因为 ，
所以 ，
所以 是偶函数. 由复合函数的单调性可知， 在 上单调递增，
所以 等价于 ，即 ，即 .
当 时， 恒成立，所以 ；当 时， 恒成立，
所以 . 综上， .
四、解答题
15．解：
（1）原式 ；.........................................6分（2）因为 ，所以 ，......................8分
又 ，所以 ，.................................9分
原式 ...................13分
16．解：
（1） ，.........................................2分
当 时， ，.........................................3分
；..................................6分
（2） ， .........................................................................................8分
当 时， ， ；.............................10分
当 时， 即 .............................................................13分
.........................................................................................15分
17．解：
（1） ，........................2分
， ， ，
又 ， ，........................................4分
，令 ， ，得 ，
，
所以 的单调递增区间为 ， ...............................7分
（2）由题意可得， ，........................................9分则
， ，....................................12分
， ..................................................................15分
18．解：
（1）当 时， ，所以 .........4分
（2）令 ，.................................................6分
恒成立，即 恒成立，.......8分
所以 ............................................................................................................10分
（3）由（1）知， 在 上的最大值为4，......................11分
所以 对任意 恒成立，即 ，12分
令 ，
① ，即 时， 在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，所以 ；...................................13分
② ，即 时， 在 上递减，在 上递增，
所以 ，
所以 ，所以 ；...................................14分
③ ，即 时， 在 上递减，在 上递增，所以 ，
所以 ，所以 ；.................................15分
④ ，即 时， 在 上单调递减，
所以 ，
所以 ，所以 ................................................................................16分
综上， ................................................................................................17分
19．已知 和 都是定义在 上的函数，若它们满足如下性质：
① 为奇函数， 为偶函数；
② ( , )；
则称 为类正弦函数， 为类余弦函数.
（1）求类正弦函数和类余弦函数的解析式；
（2）求证：
（i） ；（ii） ；
（3）解关于 的不等式： ，其中 为非零常数.
解析：
（1）由性质②知 ，所以 ，
由性质①知 ， ，所以 ，
解得 ， .........................................6分（各3分）
（2）（i）证明： 8分
（ii）证明：
...............................................................................................................................10分（3）由（2）知，原式等价于 ，
令
则原式等价于 ， ......................12分（因式分解）
① 时，无解；
② 时， ，又 ，所以 ，即 ，
解得 ，
i）若 ，解集为 ；
ii）若 ，解集为
③ 时， ，无解；
④ 时， ，无解；
⑤ 时， ，又 ，所以 ，即 ，
解得 ，
i）若 ，解集为 ；
ii）若 ，解集为 .
综上， 或 时，无解；...............................13分
且 时，解集为 ；
且 时，解集为 ；.....15分且 时，解集为 ；
且 时，解集为 .................17分
