湖北楚天协作体2025年高一下学期开学收心考试数学试卷答案_2024-2025高一（7-7月题库）_2025年02月试卷_0215湖北楚天教科研协作体2025年高一下学期收心考试

2024—2025 学年度下学期高一 2 月收心考试
高一数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C B B D A B B BD BC
题号 11
答案 BCD
 5 
12.12 13.  ,3  1  14. 50
 9 
15. 解：(1) f(3)2a0 31，A(3,1)...........................1分
1
终边过A(3,-1),tan ....................................................2分
3
-cos2sin cos2sin 12tan
原式=
sincos

sincos

tan1
...............5分
1
12( )
3 5
  .................................................6分
1 4
 1
3
1 1
(2) sincos , 12sincos ,
4 16
15
sincos 0................................................................8分
32

又 0, ，sin0,cos0, ,
2
cossin0 ..................................................................10分
31 31
cossin  cossin2  = .................11分
16 4
1 1 cossin 8 31
  = = ..................................................13分
sin cos sincos 15
16. 解(1)“xA”是“xB”的必要不充分条件,  B是A的真子集........2分
B非空，1a 1a a0..............................3分
a0

1a1,后两者“=”不同时成立,.........................6分

1a3
解得0a2.............................................................7分
    5
(2)   x , 2x  ........................................8分
12 2 3 6 6
楚天教科研协作体*数学答案（共 4 页）第 1 页3 
 sin(2x )1
2 6

 3 2sin(2x )2 即C  

 3,2

.........................13分
6
AC 1,2   C  AC ,1    2, ....................15分
R
17. 解(1)将x=2代入得k 3...................................1分
 12[32x  42x],0 x2

 f(x)
25x
...........................4分
15 15x, 2 x5
 1x
 12[32x  42x],0 x2

 f(x)  25  ...............6分(对第2个式子进行了正确的分参)
15

25 x

, 2 x5
  x1 
（2）当 0 x2时，令 42x=t0, 3 ,则 2x=4-t2.............8分
 
1 145
y 12[3(4t2)t]12[3(t )2 ]
6 12
1
t  0, 3时， y 145...............................................10分
6   max
当2 x5时，
 25   25 
y 15

25 x =15

26 (x1) .......................11分
 x1   x1 
25
15[262 .(x1)]=1516 240..........13分
x1
25
当且仅当 =x1即x=4取等号
x1
240145,
当施肥量为4千克时，单株利润最大为240元。...............15分
18. 解(1) f(x)为偶函数
 f(x) f(x)对xR恒成立........................1分
log (3x 1)bxlog (3x 1)bx 
3 3
3x 1
2bx log  x xR 成立..................................3分
3 3x 1
1
2b=1b ...................................4分
2
1
(2) f(x)log (3x 1) x在 ,0  单调递减，  0, 单调递增................5分
3 2
楚天教科研协作体*数学答案（共 4 页）第 2 页由 f(log x) f(1)且 f(x)为偶函数,  log x 1.......................6分
2 2
log x1或log x1,
2 2
1
解得{x|x2或0 x }..........................................................8分
2
1   3x 1 
(3) 记g(x)= f(x) xsin x=log (3x 1)xsin x=log sin x
2 2 3 2 3 3x 2
1 
=log (1 ) sin x...................................10分
3 3x 2
1
y 1 在  0,1  为减函数， y log t 在其定义域上为增函数
3x 3
1
y log (1 )在  0,1  为减函数..
3 3x
 
 y sin x在  0,1  为增函数，y sin x在  0,1  为减函数
2 2
1 
g(x)=log (1 ) sin x在  0,1  为减函数........................13分
3 3x 2
4
又g(0)log 20，g(1)log 1log 420
3 3 3 3
由零点存在定理和单调性知，存在唯一x (0,1)，使g(x )0
0 0
1 
即方程 f(x) xsin x0在(0,1)有唯一实根x .......................15分
2 2 0
1  1 4
此时，log (1 )sin( x ) >log (1 )=log
3 3x 0 2 0 3 3 3 3
3 sin  2 x 0  4 ........................................................................17分
3
19. 解：(1)g(x)log x,不是“D型函数”..........................1分
2
当x =1时，log x =0，此时不存在x ，使g(x )g(x )1成立
1 2 1 2 1 2
g(x)log x不是“D型函数”..............................................3分
2
(2) 法一：易知 f(x)20252x在  m,n  为增函数........................4分
又 f(x)为“D型函数”，则有 f(m) f(x )1, f(n) f(x )1
1 2
若x  m,n  ,则 f(m) f(x )1 f(m) f(n) ;
1 1
若x  m,n  ,则 f(n) f(x )1 f(m) f(n) ,两者矛盾
2 2
 f(m) f(n)=1，......................................................6分
即20252m20252n1,
2m2n0,mn ...........................7分
楚天教科研协作体*数学答案（共 4 页）第 3 页法二:由 f(x)20252x在  m,n  为增函数， f(x)为“D型函数”
x  m,n  ,0 f(m) f(x ) f(n), f(x ) f(x )1
1 1 1 2
1 1 1
  f(x ) 
f(n) 2 f(x ) f(m)
1
1
又 f(m) f(x ) f(n)， f(m)=  f(m) f(n)=1，............6分
2 f(n)
即20252m20252n1,
2m2n0,mn ...............................................................7分
(3) h(x)(xa)2开口向上，对称轴x a
1 1 
10当 a4,x

,5 ,则必有h(x) h(a)0,
5 5  min
1 
此时不存在x

,5

，使h(a)h(x)1成立，h(x)不是“D型函数”；.....................9分
5 
1 1 
20当a ，h(x)(xa)2在

，5

为增函数
5 5 
由（2）知，只需h(x) h(x) 1
min max
1 1
h( )h(5)1即( a)2 5a 2 1,解得a 0..............................11分
5 5
h(x) x2..........................................................12分
4 4 5ln2 4lnt
当t>1时，log 32 g(t)=log 32 log t    2 4  4
t 5 t 5 2 lnt 5ln2
5ln2 4lnt
当且仅当 = 即t 4 2 取等号................................................14分
lnt 5ln2
1  4
存在x

,5

，t(1,)，有kh(x)log 32 g(t)x成立
5  t 5
4x 4 1
kx2 4x k    ......................15分
x2 x2 x
1 1  1 
令  w  ,5  ， y 4w2 w在  ，5  单调递增
x 5  5 
y 452 595,k 95..................................17分
max
楚天教科研协作体*数学答案（共 4 页）第 4 页