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第七章 复数
（A 基础卷）
班级______ 姓名_______ 考号______
一、单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。每小题列出的四个选项中只有一
项是最符合题目要求的）
1． （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
，
故选：C
2．已知 为虚数单位，则复数 的虚部是（ ）
A． B．1 C．2 D．2i
【答案】B
【详解】
解：由题得 ，
所以复数的虚部为 .
故选：B
3．已知复数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
因为 ，则 .
故选：B.4．若复数z满足 ，则z的共轭复数 对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【详解】
因为
所以
所以
，对应的点 在第一象限
故选：A.
5．若复数 （ ， ），则把这种形式叫做复数z的三角形式，其中r为复数z的
模， 为复数z的辐角，则复数 的三角形式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
复数 的模为1，辐角为 ，
所以复数 的三角形式为 .
故选：A
6．已知 ，其中m， ，i是虚数单位，若复数 ，则复数z为（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【详解】
由 得： ，
则 ，故 ，
故选：A.
7．复平面中有动点Z，Z所对应的复数z满足 ，则动点Z的轨迹为（ ）
A．直线 B．线段 C．两条射线 D．圆
【答案】A
【详解】
设动点Z坐标为 ，则 ，所以 ，即 ，化简得：
，故动点Z的轨迹为直线.
故选：A
8．对于非零实数a，b，以下四个式子均恒成立，对于非零复数a，b，下列式子仍然恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
不妨令 ， ，
选项A： ，
从而 ，故A正确；
选项B： ，
当 ， 时， ，故B错误；因为复数的平方可能还是虚部不为0的复数，而虚部不为0的复数不能与实数比较大小且不等于实数，故
CD错误.
二、多项选择题（本大题共4题，每小题5分，共计20分。每小题列出的四个选项中有多项
是符合题目要求的，多选或错选不得分）
9．已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【详解】
， ，
， ， ，
故选：AD.
10．设 ，则下列叙述中正确的是（ ）
A． 的虚部为 B．
C．∣z∣= D．在复平面内，复数 对应的点位于第四象限
【答案】BC
【详解】
由 ，得 ，
则： 的虚部为 ，即选项A错误；
，即选项B正确；
，即选项C正确；
复数 对应的点 位于第一象限，即选项D错误.故选：BC.
11．在代数史上，代数基本定理是数学中最重要的定理之一，它说的是：任何一元 次复系数多项式
在复数集中有 个复数根（重根按重数计）.在复数集范围内，若 是 的一个根，则 =
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】AD
【详解】
解：因为 ，所以 ，即 ，所以 或 .即 或 .
当 时， ；
当 时， .
故选：AD
12．已知复数 （其中 为虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A．复数 在复平面上对应的点可能落在第四象限
B．
C．
D． 为实数
【答案】ACD
【详解】
对于A，因为 ，所以 只能为正数， 可能为正数或负数或零
所以，复数 在复平面上对应的点 可能落在第四象限，所以 正确；
对于B， ，所以B不正确；
对于C， ．所以C正确；
对于D， 为实数，所以D正确；三、填空题（每小题5分，共计20分）
13．已知复数 ，则 __________．
【答案】
【详解】
由 ，得 ，
所以 ，
故答案为：
14．已知 是虚数单位，若 ，则 的值为______.
【答案】0
【详解】
因为 ，
所以 ， .
故答案为:
15．化简： ___________.
【答案】
【详解】
解：因为 ， ， ，所以
故答案为：
16．若关于x的实系数一元二次方程 有两个共轭虚数根，则m的取值范围是________．
【答案】
【详解】
因为关于x的实系数一元二次方程 有两个共轭虚数根，
所以 ，即 ，即 ，
解得 ，
所以m的取值范围是 ，
故答案为：
四、解答题（解答题需写出必要的解题过程或文字说明，共70分）
17．已知复数 ，其中i是虚数单位，m为实数．
（1）当复数z为纯虚数时，求m的值；
（2）当复数 在复平面内对应的点位于第三象限时，求m的取值范围．
【答案】（1）因为 为纯虚数,
所以
解得 或 ，且 且
综上可得,当 为纯虚数时 ;
（2）因为 在复平面内对应的点位于第三象限,
解得 或 ，且
即 ,故 的取值范围为 .
18．已知复数 （i是虚数单位）
（1）复数z是实数，求实数m的值；
（2）复数z是虚数，求实数m的取值范围；
（3）复数z是纯虚数，求实数m的值.
【答案】（1）复数z是实数，则 ，
解得 或 ；（2）复数z是虚数，则 ，
解得 且 且 ；
（3）
复数是纯虚数，则 ，
解得 .
19．如图所示，已知复数 ， 所对应的向量 ，
，它们的和为向量 ．请根据两个向量相加的运算写出对应的复数运算过程．
【详解】
，
对应的两个复数相加的运算过程：
20．已知z为复数， 和 均为实数，其中i是虚数单位．
（1）求复数 ；
（2）若复数 对应的点在第四象限，求m的取值范围．
【答案】（1）设 ，则 ，，
因为 和 均为实数，所以 ，解得 ，
所以 ，则 ；
（2） ，
因为 对应的点在第四象限，所以 ，解得 或 .
21．已知复数 ．
（1）求 及 ；
（2）当复数z满足 ，求 的最大值．
【答案】（1）解： ，将 化为三角形式，得 ，
∴ ， ．
（2）解：由于复数z满足 ，设 ，则 ，
，
当 时， 取得最大值 ．
所以 的最大值为 ．
22．已知关于x的方程 在复数范围内的两根分别为 ､ .（1）若该方程没有实根，求实数a的取值范围；并在复数范围内对 进行因式分解；
（2）若 ，求实数a的值.
【答案】（1）解：若该方程没有实根，
则 ，解得 ，
由 ，得 ，
所以 ，即 ，
所以在复数范围内对 ；
（2）解：当 ，即 时，
则 都是实数，
由韦达定理可知 ，
故 都是非负数，
所以 ，所以 ；
当 ，即 时，方程有两个共轭虚根，设为 ，
则 ，
故 ，解得 或 （舍去），
综上所述， 或 .
