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2024-2025学年高一下学期第三学段模块（期中）考试
数学试卷
一、单选题
1．复数 的虚部为（ ）
A． B．3 C． D．
2．若 ， ， ，则实数 （ ）
A．6 B． C．3 D．
3．在 中， 的对边分别为 ，若 ，则 的形状为（）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
4．设方程 在复数范围内的两根分别为 、 ，则下列关于 、 的说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
5．宋代是中国瓷器的黄金时代，涌现出了以汝窑为首的五大名窑：汝窑、官窑、哥窑、钧窑、定窑．如
图1，汝窑双耳罐可近似看成由两个圆台拼接而成，其直观图如图2所示．已知该汝窑双耳罐下底面圆的
直径是12厘米，中间圆的直径是20厘米，上底面圆的直径是10厘米，且上、下两圆台的体积之比是 ，
则上、下两圆台的高之比是（ ）
A． B． C． D．
6．在 中， ， ， ， 是 中点， 是 上靠近 的三等分点，则
的长为（）
A． B． C． D．7．在 中， 的对边分别为 ， 的角平分线 交 边于点 ．若 ，
， ，则 （ ）
A．1 B． C． D．
8．已知 是两个不共线的向量，若对任意的 ， 的最小值为 ， 的最小值为
，若 ，则 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．若 是非零复数，则下列说法正确的是（ ）
A． 为实数 B． 为纯虚数 C． 为实数 D． 为虚数
10．如图，在山脚 测得山顶 的仰角 ，沿倾斜角为 的斜坡向上走 米到 ，在 处测得山顶 的仰
角为 ，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，在数学上用曲率刻画空间的弯曲性．规定：多面体顶点的
曲率等于 与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制表示），
多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正方体在每个顶点有3个面角，每个面角是 ，所以正方体每个顶点的曲率为 ，故其总曲率为 ．根据曲率的定义，下列选项正确的是
（ ）
A．正三棱柱每个顶点的曲率为 B．正三棱柱每个顶点的曲率为
C．正三棱锥的总曲率为 D． 棱锥的总曲率为
三、填空题
12．在 中， ， ，若 恰有一解，则边长 可以为 ．（只需写出一个满足
条件的数）
13．如图所示，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个直径为2的圆，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高
为 ．
14．在平面凸四边形 中， ， ， ， ，则 的面积最小值
为 ．
四、解答题
15．“四叶回旋镖”可看作是由四个相同的直角梯形围成的图形，如图所示， ， ， ，
，点 在线段 与线段 上运动．(1)若 ，求 的值；
(2)求 的取值范围．
16．已知 的内角 所对的边分别为 ， ．
(1)求 ；
(2)若 ，求 周长的最大值．
17．如图，三棱柱 的侧棱垂直于底面，其高为2cm，底面三角形的边长分别为3cm，4cm，
5cm.
(1)以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积 ；
(2)求该三棱柱的外接球的表面积.
18．已知 的内角 的对边分别为 ， ．
(1)求 ；
(2)若点 在 边上，且 ，证明： ；(3)若 为锐角三角形，且面积为 ，求 的取值范围．
19．设 是平面上任意三点，定义向量的运算： ，其中 由向量 以点 为
旋转中心顺时针旋转 得到，当 为零向量时，规定 也是零向量．
(1)若 ， ，求 ， ；
(2)若 为不共线的向量，满足 ，请解答下面的问题：
（ⅰ）证明： ；
（ⅱ）求 的值．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B D C B A C A AC BCD
题号 11
答案 BCD
1．A
先利用复数的运算法则将给定的复数化简为标准形式 （ ），再根据复数虚部的定义求出该复
数的虚部.
【详解】将复数化简即： ，所以复数 的虚部是 .
故选：A.
2．B
由已知可得 ，再根据垂直的坐标公式即可得出答案.
【详解】把 两边平方得： ，
所以 .
故选：B
3．D
由正弦定理将边化角，再由二倍角公式及三角函数的性质判断即可．
【详解】由题可得 ，
由正弦定理可得 ，
所以 ，
又 ，则 ，
所以 或 ，
所以 或 ，
所以 为等腰三角形或直角三角形．
故选：D
4．C
求出方程 的两个虚根，可判断A选项；利用韦达定理可判断BCD选项.【详解】由 可得 ，可得 ，解得 或 ，
由韦达定理可得 ， ，
对于A选项，由题意可知，方程 的两个虚根 、 互为共轭复数，即 ，A对；
对于B选项， ，所以， ，B对；
对于C选项， ，
所以 ，C错；
对于D选项， ，D对.
故选：C.
5．B
利用台体体积公式求出上下圆台高的比.
【详解】设上、下两圆台的高分别是 ，
故上圆台的体积为 立方厘米，
下圆台的体积为 立方厘米，
故该汝窑双耳罐上、下两圆台的体积之比为 ，所以上、下两圆台的高之比是
.
故选：B
6．A
利用平面向量的运算法则结合余弦定理求解即可【详解】
为 的中点，
，
，
，
由余弦定理得
所以 ，
，
为 上靠近 的三等分点，
即 ，
故选：
7．C根据 ，利用正弦定理边化角求得 ，再利用 ，可得到 ，利
用余弦定理求得答案.
【详解】因为 ，
由正弦定理得 ，则 ，所以
，
因为 ，所以
且 ，所以 ．
由题意可知： ，
因为 ，
则 ，
即 ，可得 ．
在 中， .
故选：C.
8．A
先根据 的最小值求出 的值，再根据 的最小值求出 的值，最后结合向
量数量积公式求出夹角 .
【详解】设 的夹角为 ， .
取得最小值 （可通过几何意义理解， 的最小值就是 在垂直于 方向上
的投影长度），
已知 的最小值为 ，所以 .同理， 取得最小值 ，已知 的最小值为 ，所以 .
由向量数量积公式 .
将 与 相乘可得： .
将 与 相除可得：
，即 .
设 ，则 ，整理得 ，即 .
因式分解得 ，解得 或 （舍去）.
因为 ，且 ，所以 .
故选：A．
9．AC
设 ，则 ，利用复数的运算与复数的概念可判断AC选项；取 ，
，结合复数的运算与复数的概念可判断BD选项.
【详解】设 ，则 ，
对于A选项， 为实数，A对；
对于B选项，若 ， ，则 ，B错；
对于C选项， 为实数，C对；
对于D选项，若 ， ，则 ，D错.
故选：AC.
10．BCD将图中各角表示出来，利用正弦定理可判断A选项，求出 ，结合锐角三角函数的定义可判断BCD选项.
【详解】由题意可得 ， ， ， ， ， ，
对于A选项， ， ，
所以 ，
，
在 中，由正弦定理得 ，故 ，A错；
对于B选项，
，
在 中，由正弦定理可得 ，故 ，
在 中， ，B对；
对于C选项，在 中， ，C对；
对于D选项，在 中， ，D对.
故选：BCD.
11．BCD
由曲率的概念逐项判断即可；
【详解】易知正三棱柱每个顶点有3个面角，其中两个面角是 ，一个面角为 ，所以每个顶点的曲率为：
，故A错，B对，
对于C：易知正三棱锥每个顶点有3个面角，每个面角为 ，所以每个顶点的曲率为： ，所以正三棱锥的总曲率为 ，C对，
由多面体顶点的曲率等于 与多面体在该点的面角之和的差，
可知：总曲率等于 乘以顶点个数减去各个面的内角和，
所以 棱锥，由 个面为三角形，一个面为 边行，共 个顶点，
所以 棱锥的总曲率为 ，故D正确，
故选：BCD
12． （答案不唯一）
利用正弦定理可得答案.
【详解】设 ，由正弦定理得 ，
即 ，
当 时，即 ，因为三角形中大边对大角，此时 有唯一解，三角形恰有一解，
当 时， ，即 ，三角形恰有一解，
故边长 可以为 ，或 .
故答案为： （答案不唯一）.
13．
根据弧长公式求出扇形半径，得到母线，再根据勾股定理得到高.
【详解】解：∵直径为2的圆形，∴底面圆的半径为：1，周长为2π，
记扇形半径为 ，由扇形弧长得 ∴ ，即母线为4，
∴圆锥的高为：
故答案为：14．
设 ，在 和 中利用正弦定理得出 ，即可利用三角形面积公式，
利用二倍角公式和辅助角公式进行化简，最后利用三角函数的值域求最值.
【详解】设 ，
因 ，则 ，
则 ，
因 ，则 ，
在 中由正弦定理得， ，则 ，
在 中由正弦定理得， ，则 ，
则 的面积
因 ，则 ，
则当 ，即 时， 的面积最小，最小值为 .故答案为：
15．(1)
(2)
（1）以 为原点建立平面直角坐标系，计算 的坐标，根据向量的线性运算可得关于 的方
程组；
（2）分点 在线段 和线段 上两种情况，分别设点 的坐标，求出 的坐标，利用数量积的坐
标运算即可.
【详解】（1）如图，以 为原点建立平面直角坐标系，
则 ，
则 ，
因 ，则 ，
故 ，得 ，则 .
（2）①当 在线段 上运动，设 ，其中 ，
因 ，所以 ， 则 ，
因为 ，所以 ，
②当 在线段 上运动，设 ，因 ，则 ，
又 ，则 ，故 ，
则 ，则 ，
因为 ，所以 ，
综上， 的取值范围为 .
16．(1)
(2)6
（1）由正弦定理、两角和的余弦公式及诱导公式求得 的值；
（2）利用余弦定理以及基本不等式求得 的最大值，从而求得三角形 的周长的最大值.
【详解】（1）由正弦定理得 ，
所以 ，
所以 ，因为 ，所以 ，
所以 ；
（2）因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，因为 ，所以 ，所以 ，因为 ，所以 ，
因为 ，由余弦定理得 ，
所以 ，
所以 ，即 ，当且仅当 时取等号，
所以 周长的最大值为 .
17．(1)
(2)
（1）求出三棱柱的体积，得到 的内切圆的半径，进而去除圆柱的体积，相减即可答案；
（2）将三棱柱补形为长方体得到外接球半径，求出外接球的表面积.
【详解】（1）因为底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm，
所以底面三角形为直角三角形，两直角边分别为3cm，4cm，
又因为三棱柱 的侧棱垂直于底面，其高为2cm，
所以 .
设圆柱底面圆的半径为 ，
则 ，
圆柱体积 .所以剩下的几何体的体积 .
（2）由（1）直三棱柱 可补形为棱长分别为3cm，4cm，2cm的长方体，
它的外接球的球半径 满足 ，即 .
所以，该直三棱柱的外接球的表面积为 .
18．(1)
(2)证明见解析
(3)
（1）根据正弦定理边化角以及两角和的正弦公式可化简题给条件，再根据两角的差的正弦可得角 .
（2）在不同三角形中根据正弦定理列等式，得到 的值，再应用正弦定理即可证明结论.
（3）由三角形的面积公式及余弦定理可化简所求式，再根据锐角三角形的角的范围，可得角 的范围，
带入所求式即可求代数式的范围.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
再根据正弦定理得， ，
化简得 ，又因为 ，
所以
得
因为 ，所以 ，则 .
则 ，且 ，所以 .
（2）
根据题意，设 ，则 .
为等腰三角形，所以 ， ，
由（1）知 ， .
由正弦定理 ，
在 中， ，则
在 中， ，即 ，
化简整理得 ，即 .
因为 ，所以 ，则 ， 为直角三角形.由 ，则 ，得 ，得证.
（3）因为 ，所以 ，则 .
又 ，
则
.
又因为 为锐角三角形，则 ，则
即 ，即 ，
即 ，
即 .
19．(1) ， ；
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）0
（1）需要先根据向量旋转的规则求出旋转后的向量，再计算向量的数量积；
（2）（i）要利用已知条件和向量运算性质进行推导；（ii）根据向量数量积的运算律进行化简计算即可.【详解】（1）已知 ，将 以点 为旋转中心顺时针旋转 得到 .
根据向量旋转的性质，若 ，则旋转后的 ，所以 .
那么 .
已知 ，将 以点 为旋转中心顺时针旋转 得到 ，则 .
所以 .
（2）（ⅰ）已知 ，两边同时进行RT运算与 做点积，即 .
根据RT运算的分配律（可由向量数量积的分配律推导）可得： .
因为 ，设 ，则 ， .
所以 ，又因为 不共线， ，则 .
（ⅱ）根据向量数量积的分配律可得：
.
由RT运算的定义可知 ， ， .
因为 ， ， ，所以 ， ， .
则 .
