山西省运城市2024届高三第二次模拟调研测试数学试题（A）(1)_2024年4月_024月合集_2024届山西省运城市高三第二次模拟调研测试

运城市 2024 年高三第二次模拟调研测试 数学 试卷类型：A 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间 120分钟。 2.答题前，考生务必用直径 0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区 域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 4.本卷命题范围：高考范围。 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.已知复数z满足 43i  z 12i，则 z （ ） 5 1 2 2 5 A. B. C. D. 5 5 5 5 2 2.已知圆锥的侧面积为12，它的侧面展开图是圆心角为 的扇形，则此圆锥的体积为（ ） 3 16 2 16 3 A.6 2 B. C.6 3 D. 3 3         3.已知向量a和b满足 a 3， b 2， ab  7 ，则向量b在向量a上的投影向量为（ ） 1  1  A. a B.a C. a D.a 3 3 x2 y2 4.已知双曲线  1  a0,b0 的两条渐近线均和圆C：x2  y2 8x70相切，且双曲线的左 a2 b2 焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（ ） x2 y2 4x2 4y2 A.  1 B.  1 9 7 9 7 4x2 4y2 x2 y2 C.  1 D.  1 7 9 7 9   5.将函数 f  x 2sin3x 的图象向右平移0 个单位长度，得到函数g  x 的图象，若函数  4 g  x 在区间 0,上恰有两个零点，则的取值范围是（ ） 学科网（北京）股份有限公司5 3 3 13 A. ,  B. ,  12 4   4 12  5 3 3 13 C. ,  D. ,  12 4   4 12  6.“五一”假期将至，某旅行社适时推出了“晋祠”“五台山”“云冈石窟”“乔家大院”“王家大院”共五条旅游线路 可供旅客选择，其中“乔家大院”线路只剩下一个名额，其余线路名额充足.现有小张、小胡、小李、小郭这 四人前去报名，每人只选择其中一条线路，四人选完后，恰好选择了三条不同的线路.则不同的报名情况总 共有（ ） A.360种 B.316种 C.288种 D.216种 a 7.已知等差数列 a 的前n项和为S ，若S 0，S 0，则 2 的取值范围是（ ） n n 15 16 a 1 6 7 6 13 A. ,  B. ,  7 8 7 15  6 7   6 13  C. ,  ,  D. ,  ,   7 8   7 15  8.已知正方形ABCD的边长为2，点P在以A为圆心，1为半径的圆上，则 PB 2  PC 2  PD 2 最小值为 （ ） A.188 2 B.188 3 C.198 3 D.198 2 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。 9.水稻产量是由单位面积上的穗数、每穗粒数（每穗颖花数）、成粒率和粒重四个基本因素构成.某实验基地 有两块面积相等的试验田，在种植环境相同的条件下，这两块试验田分别种植了甲、乙两种水稻，连续试 验5次，水稻的产量如下： 甲（单位：kg） 250 240 240 200 270 乙（单位：kg） 250 210 280 240 220 则下列说法正确的是（ ） A.甲种水稻产量的极差为70 B.乙种水稻产量的中位数为240 C.甲种水稻产量的平均数大于乙种水稻产量的平均数 D.甲种水稻产量的方差小于乙种水稻产量的方差 10.已知函数 f  x 的定义域为R，且对任意的x,yR，都有 f  xy  xf  y  yf  x ，若 f  2 2，则 下列说法正确的是（ ） 学科网（北京）股份有限公司A. f  1 0 B. f  x 的图象关于y轴对称 2024 2024 C.  f  2i 202322025 2 D.  f  2i 202422026 2 i1 i1 11.如图，在棱长为2的正方体ABCDABC D 中，点P是侧面ADD A 内的一点，点E是线段CC 上 1 1 1 1 1 1 1 的一点，则下列说法正确的是（ ） A.当点P是线段AD的中点时，存在点E，使得AE 平面PBD 1 1 1 1 9 B.当点E为线段CC 的中点时，过点A，E，D 的平面截该正方体所得的截面的面积为 1 1 4 C.点E到直线BD 的距离的最小值为 2 1 2 D.当点E为棱CC 的中点且PE 2 2 时，则点P的轨迹长度为 1 3 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共15分。  1    12.已知集合AxN 3x1 27，B  x x23xm0 ，若1AB，则AB的子集的个数  3  为__________. 1 13.已知tan2tan，sin  ，则sin __________. 4 x2 y2 14.已知椭圆C：  1  ab0 的左、右焦点分别为F ，F ，过F 的直线与C交于A，B两点， a2 b2 1 2 2 3 AB 且 AF  AB ，若△OAF 的面积为 b2，其中O为坐标原点，则 的值为___________. 1 1 6 FF 1 2 四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（本小题满分13分） BC 5 5 在△ABC 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，csin  bsin2C csinCcosB. 2 4 2 （1）求sin A的值；  （2）如图，a 6 5 ，点D为边AC上一点，且2DC 5DB，ABD ，求△ABC的面积. 2 学科网（北京）股份有限公司16.（本小题满分15分） 长跑可提高呼吸系统和心血管系统机能，较长时间有节奏的深长呼吸，能使人体呼吸大量的氧气，吸收氧 气量若超过平时的7-8倍，就可以抑制人体癌细胞的生长和繁殖.其次长跑锻炼还改善了心肌供氧状态，加 快了心肌代谢，同时还使心肌肌纤维变粗，心收缩力增强，从而提高了心脏工作能力.某学校对男、女学生 是否喜欢长跑进行了调查，调查男、女生人数均为200，统计得到以下2×2列联表： 喜欢 不喜欢 合计 男生 120 80 200 女生 100 100 200 合计 220 180 400 （1）试根据小概率值0.050的独立性检验，能否认为学生对长跑的喜欢情况与性别有关联? （2）为弄清学生不喜欢长跑的原因，从调查的不喜欢长跑的学生中按性别采用分层抽样的方法随机抽取9 人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，记随机变量X表示抽到的3人中女生的人数，求X的分布列； （3）将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取12人，记其中喜欢长跑的人数为Y， 求Y的数学期望. n  ad bc 2 附：2  ，其中nabcd .  ab  cd  ac  bd   0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 x  17.（本小题满分15分） 如图1，在△ABC 中，AC  BC 4，AB 4 2，点D是线段AC 的中点，点E是线段AB上的一点， 且DE  AB，将△ADE沿DE翻折到△PDE的位置，使得PE  BD，连接PB，PC，如图2所示， 点F 是线段PB上的一点. 图1 图2 （1）若BF 2PF ，求证：CF∥平面PDE； 4 38 （2）若直线CF 与平面PBD所成角的正弦值为 ，求线段BF的长. 57 18.（本小题满分17分） 学科网（北京）股份有限公司已知抛物线C： y2 2px  p 0 的准线与圆O：x2  y2 1相切. （1）求C的方程； （2）设点P是C上的一点，点A，B是C的准线上两个不同的点，且圆O是△PAB的内切圆. ①若 AB 2 5，求点P的横坐标； ②求△PAB面积的最小值. 19.（本小题满分17分） 已知函数 f  x  xa  ex xa  aR  . （1）若a 4，求 f  x 的图象在x 0处的切线方程； （2）若 f  x 0对于任意的x 0,恒成立，求a的取值范围； （3）若数列  a  满足 a 1 且 a  2a n  nN* ，记数列  a  的前 n 项和为 S ，求证： n 1 n1 a 2 n n n 1 S  ln   n1  n2  . n 3 学科网（北京）股份有限公司运城市 2024 年高三第二次模拟调研测试·数学 参考答案、提示及评分细则 12i  12i  43i  2 11 1.A 因 为 复 数 z 满 足  43i  z 12i ， 所 以 z     i ， 所 以 43i  43i  43i  25 25 2 2  2  11 5 z         .故选A.  25 25 5 2r 2 2.B设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则rl 12，  ，解得r 2，l 6，所以此圆锥的 l 3 1 16 2 高h l2 r2 4 2，所以此圆锥的体积V  224 2  .故选B. 3 3             2 2 3.A因为 ab  7 ，所以 a 2ab b 7，又 a 3，b 2，所以92ab47，解得ab3，     ab 3 1   设 a 与 b 的夹角为，则 cos     ，所以向量 b 在向量 a 上的投影向量为 a b 32 2   a 1 b cos   a.故选A. a 3 b 4.D 双曲线的一条渐近线方程为 y x ，所以bxay 0.圆C ： x2  y2 8x70 的标准方程为 a 4b  x4 2  y2 9，所以圆心为C 4,0 ，r 3，所以 3，又a2 b2 16，解得a  7，b3， a2 b2 x2 y2 所以双曲线的方程为  1.故选D 7 9   5.C将函数 f  x 2sin3x 的图象向右平移0 个单位长度，  4     得到 y2sin  3  x  2sin3x3 ，  4  4   所以g  x 2sin3x3 ，  4     当x 0,时，3x3   3 , ， 4  4 4 又函数g  x 在区间 0,上恰有两个零点， 学科网（北京）股份有限公司 5 3 所以23 ，解得  ， 4 12 4 5 3 即的取值范围是 , .故选C. 12 4  6.C若小张、小胡、小李、小郭这四人中，没有人选择“乔家大院”线路，则报名情况有C2A3 144种. 4 4   若小张、小胡、小李、小郭这四人中，恰有1人选择“乔家大院”线路，则报名情况有C1 C2A2 144种. 4 3 4 所以不同的报名的情况总共有144+144=288种.故选C. 15  a a  7.B由题意知S  1 15 15a  0，所以a 0， 15 2 8 8 16  a a  又S  1 16 8  a a  0， 16 2 8 9 所以a a 0，所以a a  0. 8 9 9 8 设等差数列 a 的公差为d ，则d a a  0， n 9 8 a a 7d 0, 1 d 2 所以a 0.所以 8 1 所以   ， 1 a a a 7d a 8d 2a 15d 0, 7 a 15 8 9 1 1 1 1 a a d d 6 13 a 6 13 所以 2  1 1   , ，即 2 的取值范围是 , .故选B. a a a 7 15 a 7 15 1 1 1 1 8.D以A为坐标原点，AB，AD所在的直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图所示. 设P  x,y ，所以x2  y2 1，又B  2,0 ，C  2,2 ，D  0,2 ， 所以 PB 2  PC 2  PD 2  x2 2  y2  x2 2  y2 2 x2  y2 2 198  x y ， t 令x y t，即x yt 0，所以直线x yt 0与圆x2  y2 1有公共点，所以 1， 11 学科网（北京）股份有限公司解得 2 t  2，   所以 PB 2  PC 2  PD 2 198 2.故选D. min 9.ABD由表中数据可知，甲种水稻产量的极差为270-200=70，故A正确； 由表中数据可知，乙种水稻产量从小到大排列为210，220，240，250，280，所以乙种水稻产量的中位数为 240，故B正确； 1 对于 C，甲种水稻产量的平均数为  250240240200270 240，乙种水稻产量的平均数为 5 1  250210280240220 240，所以甲种水稻产量的平均数等于乙种水稻产量的平均数，故C 5 错误； 甲种水稻产量的方差为 1  250240 2  240240 2  240240 2  200240 2  270240 2520，   5 乙种水稻产量的方差为 1 (250240)2 (210240)2 (280240)2 (240240)2 (220240)2600，   5 所以甲种水稻产量的方差小于乙种水稻产量的方差，故D正确. 故选ABD. 10.AC令x1，y1，得 f  1  f  1  f  1 ，解得 f  1 0，故A正确； 令 x 1 ， y 1 ， 所 以 f  1 f 1  f 1 0 ， 解 得 f 1 0 ， 令 y 1 ， 所 以 f x  xf 1  f  x f  x ，所以 f  x 是奇函数，所以 f  x 的图象关于原点对称，故B错误； 因为 f  2n   f  2n12  2n1 f  2 2f  2n1  ，令a  f  2n  nN*  ， n 则a 2a 2n  n2,nN*  ，所以2na 2 n1 a 1， n n1 n n1 令b 2na ，则b b 1， n n n n1 又b 2121，所以 b 是首项为1，公差为1的等差数列， 1 n 所以b b  n1 n，所以a n2n， n 1 n n n 令S  f  2k a a a a 12222323n2n ， n k 1 2 n k1 k1 则2S 122 223 324  n1 2n n2n1， n 所以S 222 232n n2n1 n 学科网（北京）股份有限公司  2 12n  n2n1  1n  2n12， 12 所以S  n1 2n12， n 2024 所以 f  2i 202322025 2，故C正确，D错误. i1 故选AC. 11.ACD以D为坐标原点，DA，DC ，DD 所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 1 如图所示. 则D  0,0,0 ，D  0,0,2 ，A  2,0,2 ，B  2,2,2 ， 1 1 1 当点P是线段AD的中点时，P  1,0,1 ， 1 设E  0,2,a  0a2 ，    所以PD 1,0,1 ，PB  1,2,1 ，AE 2,2,a2 ， 1 1 1 假设存在点E，使得AE 平面PBD ， 1 1 1     则PD AE 2a20，PB AE 24a20， 1 1 1 1 解得a 0， 所以存在点E，使得AE 平面PBD ，此时点E与点C重合，故A正确； 1 1 1 取BC的中点F，连接BC ，EF，FA，AD ，DE ，如图所示. 1 1 1 则EF∥BC ，AD ∥BC ，所以AD ∥EF ， 1 1 1 1 又易得AD 2 2，EF  2，AF  DE  5， 1 1 所以梯形ADEF 的面积为 1 学科网（北京）股份有限公司AD EF AD EF  2 2 2 2 2 2 2  2 9 1  AF2  1    5      ， 2  2  2  2  2 9 所以过A，E，D 点的平面截该正方体所得的截面的面积为 ，故B错误； 1 2 又B  2,2,0 ，设E  0,2,m  0m2 ，   所以BD 2,2,2 ，BE 2,0,m ， 1 所以点E到直线BD 的距离 1       d  BE sin BD,BE  BE  1cos2 BD,BE 1 1   2  BD BE 2  BE2 1    m1 2 2 ，  BD  3  1  所以d  2 ， min 此时m1，所以点E到直线BD 的距离的最小值为 2 ，故C正确； 1 取DD 的中点G，连接EG，EP，GP， 1 易得GE 平面AADD，又GP平面AADD， 1 1 1 1  2 所以GE GP，所以GP  PE2GE2  2 2 22  2， 则点P在侧面AADD内运动轨迹为以G为圆心，半径为2的劣弧， 1 1 分别交AD，AD 于P ，P， 1 1 2 1   则PGD PGD ，则PGP  ， 1 1 2 3 1 2 3  2 所以点P的轨迹长度为 2 ，故D正确. 3 3 故选ACD.  1  12.8由题意知AxN 3x1 27 0,1 ，又1AB，  3  所以1B，所以12 3m0，解得m2， 所以B   x x23x20   1,2 ，所以AB  0,1,2 ，所以AB的子集的个数为23 8. 1 sin sin 13. 因为tan2tan，即 2 ， 12 cos cos 学科网（北京）股份有限公司所以sincos2sincos， 1 因为sin sincoscossin ， 4 1 1 1 所以3cossin ，解得cossin ，sincos ， 4 12 6 1 1 1 所以sin sincoscossin   . 12 6 12 2 3 3 3 3 14. 因为△OAF 的面积为 b2，所以S 2 b2  b2， 3 1 6 △AF 1 F 2 6 3 在△AFF 中，设FAF ， 0,， 1 2 1 2 由余弦定理可得 FF 2  AF 2  AF 2 2 AF AF cos， 1 2 1 2 1 2 即4c2   AF  AF 2 2 AF AF 2 AF AF cos 1 2 1 2 1 2 4a2 22cos AF AF ， 1 2 则 22cos AF AF 4a2 4c2 4b2， 1 2 1 sin 3 所以△FAF 的面积S  AF AF sin b2 b2， 1 2 2 1 2 1cos 3 所以 3sincos1，   1    5  即sin    ，由于    , ，所以 .  6 2 6  6 6  3 又 AF  AB ，所以△AFB是等边三角形，即 AF  BF  AB ， 1 1 1 1 4 由椭圆的定义可得 AF  BF  AB 4a，所以 AF  a， 1 1 1 3 2 2a 则 AF  a ， BF  ，所以AB  FF ， 2 3 2 3 1 2 AB 2 AF 2 3 则  2 2tanAFF  . FF FF 1 2 3 1 2 1 2 学科网（北京）股份有限公司BC 5 5 15.解：（1）因为csin  bsin2C csinCcosB， 2 4 2 由正弦定理得 BC 5 5 sinCsin  sinBsin2C sin2CcosB 2 4 2 5 5  sinBsinCcosC sin2CcosB 2 2 5 5  sinC  sinBcosCsinCcosB  sinCsin  BC ， 2 2 BC 5 A 5 又sinC 0，所以sin  sin  BC ，所以sin  sin A ， 2 2 2 2 A 5 A A 所以cos  sinA 5sin cos ， 2 2 2 2 A   A A 5 A A 2 5 又  0, ，cos 0，所以sin  ，cos  1sin2  ， 2  2 2 2 5 2 2 5 A A 4 所以sin A2sin cos  . 2 2 5 （2）设DB 2x  x0 ，又2DC 5DB，   4 所以DC 5x，cosBDC cosA  sinA .  2 5  2 DB2 DC2 BC2 4x2 25x2  6 5 4 在△BDC 中，由余弦定理得cosBDC    ， 2DBDC 22x5x 5 解得x 2， 所以BD4，DC 10， DB 4 4 又sinA   ，所以DA5，AC  DADC 15， DA DA 5 又AB2 BD2  AD2，所以AB 3， 1 1 4 所以△ABC的面积S  ABACsinA 315 18. 2 2 5 16.解：（1）零假设为H ：学生对长跑的喜欢情况与性别无关联. 0 根据列联表中的数据，经计算得到 学科网（北京）股份有限公司400 12010080100 2 400 2    4.040 3.841 x ， 200200220180 99 0.050 根据小概率值0.050的独立性检验，我们推断H 不成立，即认为学生对长跑的喜欢情况与性别有关联， 0 此推断犯错误的概率不大于0.050. （2）从调查的不喜欢长跑的学生中按性别采用分层抽样的方法随机抽取 9 人，其中男生的人数为： 80 9 4人， 80100 100 女生人数为：9 5人. 80100 X 的所有可能取值为0，1，2，3， C3 1 C2C1 5 所以P  X 0  4  ，P  X 1  4 5  ， C3 21 C3 14 9 9 C1C2 10 C3 5 P  X 2  4 5  ，P  X 3  5  ， C3 21 C3 42 9 9 X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 1 5 10 5 21 14 21 42 11 （3）由题意知，任抽1人喜欢长跑的概率 p  ， 20  11 11 33 所以Y ~ B12, ，所以E  Y 12  .  20 20 5 17.（1）证明：过点C作CH  ED，垂足为H， 1 在PE上取一点M ，使得1PM  PE，连接HM ，FM ， 3 如图所示. 1 1 1 因为PM  PE，PF  PB，所以FM∥EB且FM  EB， 3 3 3 1 因为D是AC 的中点，且DE  AB，所以CH∥EB且CH  EB ， 3 所以CH∥FM 且CH  FM ，所以四边形CFMH 是平行四边形，所以CF∥HM ， 学科网（北京）股份有限公司又CF  平面PDE，HM 平面PDE，所以CF∥平面PDE. （2）解：因为PE  ED，PE  BD，EDBD D，ED,BD平面BCDE，所以PE 平面BCDE， 又BE 平面BCDE，所以PE  BE，PB  PE2 BE2 2 5. 又EB ED，所以EB，ED，EP两两垂直， 故以E为坐标原点，EB，ED，EP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴， 建立空间直角坐标系，如图所示.         所以B 3 2,0,0 ，D 0, 2,0 ，P 0,0, 2 ，C 2,2 2,0 .  设平面PBD的一个法向量n x,y,z ，       又BP  3 2,0, 2 ，BD  3 2, 2,0 ，    nBP 3 2x 2z 0, 所以  nBD 3 2x 2y 0, 令x1，解得 y 3，z 3，  所以平面PBD的一个法向量n 1,3,3  .     设BF BP  3 2,0, 2  01 ，        所以CF CBBF  2 2,2 2,0  3 2,0, 2    2 23 2,2 2, 2 ， 设直线CF 与平面PBD所成角的大小为，     nCF 所以sin cos n,CF    n CF 4 2 4 38   ，  2  2  2 57 199 2 23 2  2 2  2 1 7 1 7 7 5 解得 或 ，所以BF  BP  5或BF  BP . 2 10 2 10 5 p p 18.解：（1）由题意知C的准线为x  ，又C的准线与圆O：x2  y2 1相切，所以  1， 2 2 解得 p2，所以C的方程为 y2 4x. 学科网（北京）股份有限公司y m （2）设点P  x ,y ，点A 1,m ，点B 1,n ，直线PA方程为 ym 0  x1 ， 0 0 x 1 0 化简得 y m  x x 1  y y m m  x 1 0. 0 0 0 0 又圆O是△PAB的内切圆， y mm  x 1  所以圆心O  0,0 到直线PA的距离为1，即 0 0 1，  y m 2  x 1 2 0 0 故 y m 2  x 1 2  y m 2 2m  y m  x 1 m2 x 1 2 ， 0 0 0 0 0 0 易知x 1，上式化简得， x 1  m2 2y m x 1 0， 0 0 0 0 同理有 x 1  n2 2y n x 1 0， 0 0 0 所以m，n是关于t的方程 x 1  t2 2y t x 1 0的两个不同的根， 0 0 0 2y  x 1  所以mn 0 ，mn 0 . x 1 x 1 0 0 4y2 4  x 1  所以 AB 2  mn 2  mn 2 4mn  0  0 ，  x 1 2 x 1 0 0 又点P是C上的一点，所以 y2 4x ， 0 0 16x 4  x 1  x 2 4x 1 所以 AB  0  0  2 0 0 .  x 1 2 x 1  x 1 2 0 0 0 x2 4x 1 ①若 AB 2 5，则2 0 0 2 5，  x 1 2 0 1 解得x 3或x  （舍），所以点P的横坐标为3. 0 0 2 ②因为点P  x ,y 到直线x 1的距离d  x 1， 0 0 0 所以△PAB的面积 1 1 x2 4x 1  x 1 2 x2 4x 1  S  AB d  2 0 0  x 1  0 0 0 ， 2 2  x 1 2 0  x 1 2 0 0  t2 44t  t2 46t  40 16 令x 1t  t 0 ，则S   t210t   32 ， 0 t2 t t2 16 16 40 40 因为t2  2 t2 8，10t 2 10t 40， t2 t2 t t 学科网（北京）股份有限公司当且仅当t 2时等号成立，所以S  84032 4 5 ， 即△PAB面积的最小值为4 5. 19.（1）解：若a 4，则 f  x  x4  ex x4，所以 f x  x4  ex ex 1 x3  ex 1， 所以 f 0  03  e0 12，又 f  0  04  e0 40， 所以 f  x 的图象在x 0处的切线方程为y02  x0 ，即2x y 0. （2）解： f x  xa  ex ex 1 xa1  ex 1， 令g  x  f x ，所以g x (xa1)ex ex (xa2)ex， 当a20，即a2时，g x 0在x 0,上恒成立， 所以g  x 在 0,上单调递增，即 f x 在 0,上单调递增， 所以 f x  f 0 2a0， 所以 f  x 在 0,上单调递增，所以 f  x  f  0 0，符合题意； 当a20，即a 2时，当xa2时，g x 0，当0 xa2时，g x 0， 所以g  x 在 0,a2 上单调递减，在 a2,上单调递增， 即 f x 在 0,a2 上单调递减，在 a2,上单调递增， 又 f 0 2a0， f a  aa1  ea 1ea 10， 所以存在x  0,a ，使得 f x 0， 0 0 所以当0 x x 时， f x 0，所以 f  x 在 0,x 上单调递减， 0 0 所以 f  x  f  0 0，不符合题意. 0 综上，a的取值范围是,2  . （3）证明：因为a  2a n  nN* ，所以 1  a n 2  1  1 ， n1 a 2 a 2a a 2 n n1 n n 1 1 1  1  1 即   ，所以 是公差为 的等差数列， a a 2 a  2 n1 n n 学科网（北京）股份有限公司1 1 1 n1 2 又 1，所以 1  n1  ，所以a  . a a 2 2 n n1 1 n 由（2）知当x 0时， x2  ex x20，   2  ln  1 2   2 所以当n1，nN*时， ln1  2e  n ln1  20，   n   n  2 2 即ln1   .  n n1 2 2 2 2 2 所以S      n 11 21 31 n11 n1  2  2  2  2   2 ln1  ln1  ln1  ln1  ln1   1  2  3  n1  n  4 5 6 n1 n2  n1  n2  ln3      ln  2 3 4 n1 n  2 ln n1  n2 ln2，   1 1 所以S  ln n1  n2 ln2 ，   n 3 3 1 1 又ln2 0，所以S  ln   n1  n2  . 3 n 3 学科网（北京）股份有限公司