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第五章 复习与小结 -B提高练
一、选择题
1．（2021·江西九江高二期末）曲线 在点 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为曲线 ，所以 切线过点（4，e2）
∴f′（x）| = e2，∴切线方程为：y-e2= e2（x-4），
x=4
令y=0，得x=2，与x轴的交点为：（2，0），
令x=0，y=-e2，与y轴的交点为：（0，-e2），
∴曲线 在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积s= ×2×|-e2|=e2.
2．（2021·山西师大附中高二期末）对二次函数 （ 为非零整数），四位同学
分别给出下列结论，其中有且仅有一个结
论是错误的，则错误的结论是（ ）
A． 是 的零点 B．1是 的极值点
C．3是 的极值 D．点 在曲线 上
【答案】A
【解析】若选项A错误时，选项B、C、D正确， ，因为 是 的极值点，
是 的极值，所以 ，即 ，解得： ，因为点 在曲线
上，所以 ，即 ，解得： ，所以 ，，所以 ，因为 ，所以 不
是 的零点，所以选项A错误，选项B、C、D正确，故选A．
3．（2021·山东菏泽市高二期末）已知函数 在R上可导且 ，其导函数 满
足， ，若函数 满足 ，下列结论错误的是（ ）
A．函数 在 上为增函数 B． 是函数 的极小值点
C． 时，不等式 恒成立 D．函数 至多有两个零点
【答案】C
【详解】 ， ，则 ，
时， ，故 在 递增，选项 正确；
时， ，故 在 递减，
故 是函数 的极小值点，故选项 正确；
由 在 递减，则 在 递减，
由 ，得 时， ，故 ，故 ，故选项 错误；
若 （2） ，则 有2个零点，若 （2） ，则函数 有1个零点，
若 （2） ，则函数 没有零点，故选项 正确．故选：C
4．（2019·天津高考）已知 ，设函数 若关于 的不等式
在 上恒成立，则 的取值范围为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【详解】∵ ，即 ，
（1）当 时， ，
当 时， ，故当 时， 在 上恒成立；
若 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
令 ，则 ，当 函数单增，当 函数单减，
故 ，所以 ．当 时， 在 上恒成立；
综上可知， 的取值范围是 ，故选C．
5．（多选题）（2021·海口市海南中学高二期末）关于函数 ，下列
结论正确的有（ ）
A． 在 上是增函数
B． 存在唯一极小值点
C． 在 上有一个零点
D． 在 上有两个零点
【答案】ABD
【详解】由已知 得 ， ，
， 恒成立， 在 上单调递增，
又时 ，且存在唯一实数 ，使 ，
即 ，所以 在 上是增函数，且 存在唯一极小值点 ，故A,B选项正
确.
且 在 单调递减， 单调递增，
又 ， ，
，所以 在 上有两个零点，故D选项正确，C选项错误.故选：ABD.
6．（多选题）（2021·福建南平市·高二期末）已知： 是奇函数，当 时，
， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【详解】因为当 时， ，所以 ，即
，所以 ，令 ，则当 时， ，函
数 单调递增，
所以 ，即 ，化简得 ，故A正确；
，即 ，化简得 ，
所以 ，又 是奇函数，所以 ，故B不正确；，即 ，又 ，化简得 ，故C正确；
由C选项的分析得 ，所以 ，又 是奇函数，所以
，故D正确,故选：ACD.
二、填空题
7．（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系 中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的
切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是____.
【答案】 .
【详解】设点 ，则 .又 ，
当 时， ，点A在曲线 上的切线为 ，即 ，
代入点 ，得 ，即 ，
考查函数 ，当 时， ，当 时， ，
且 ，当 时， 单调递增，
注意到 ，故 存在唯一的实数根 ，此时 ，
故点 的坐标为 .
8．（2021·湖北荆州市沙市中学高二期末）如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划裁剪成等腰
梯形 的形状，它的下底 是圆O的直径，上底C、D的端点在圆周上，则所裁剪出的等
腰梯形面积最大值为_______________.【答案】
【详解】连 ，过 作 ，垂足为 ，如图：
设 ，则 ，
所以等腰梯形 的面积
令
，
单调递增， 单调递减，
所以 时， 取得极大值，也是最大值，
，即 的最大值 .
9．（2018·江苏高考真题）若函数 在 内有且只有一个零点，
则 在 上的最大值与最小值的和为__________．
【答案】 .【解析】由 得 ，因为函数 在 上有且仅有一个零点
且 ，所以 ，因此 从而函数 在
上单调递增，在 上单调递减，所以 ，
10．（2020·全国高考真题）若直线l与曲线y= 和x2+y2= 都相切，则l的方程为____.
【答案】y= x+
【详解】设直线 在曲线 上的切点为 ，则 ，
函数 的导数为 ，则直线 的斜率 ，
设直线 的方程为 ，即 ，
由于直线 与圆 相切，则 ，
两边平方并整理得 ，解得 ， （舍），
则直线 的方程为 ，即 .
三、解答题
11．（2018·全国高考真题）已知函数 ．
（1）设 是 的极值点．求 ，并求 的单调区间；（2）证明：当 时， ．
【解析】分析：(1)先确定函数的定义域，对函数求导，利用f ′（2）=0，求得a= ，从而确定出
函数的解析式，之后观察导函数的解析式，结合极值点的位置，从而得到函数的增区间和减区间；
(2)结合指数函数的值域，可以确定当a≥ 时，f（x）≥ ，之后构造新函数g（x）=
，利用导数研究函数的单调性，从而求得g（x）≥g（1）=0，利用不等式的传递性，
证得结果.
详解：（1）f（x）的定义域为 ，f ′（x）=aex– ．
由题设知，f ′（2）=0，所以a= ．
从而f（x）= ，f ′（x）= ．
当02时，f ′（x）>0．
所以f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．
（2）当a≥ 时，f（x）≥ ．
设g（x）= ，则
当01时，g′（x）>0．所以x=1是g（x）的最小值点．
故当x>0时，g（x）≥g（1）=0．
因此，当 时， ．
12．（2021·江苏镇江高二期末）已知函数 有极值，且导函数的极值点是 的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）
（1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；
（2）证明：b²>3a;
（3）若 ， 这两个函数的所有极值之和不小于 ，求a的取值范围．
【解析】试题分析：（1）先求导函数的极值： ，再代入原函数得
，化简可得 ，根据极值存在条件可得 ；（2）
由（1）得 ，构造函数 ，利用导数研究函数单调性，可得
，即 ；（3）先求证 的两个极值之和为零，利用根与系数关系代
入化简即得，再研究导函数极值不小于 ，构造差函数 ，利用导数研究其单调
性， 在 上单调递减．而 ，故可得 的取值范围．
试题解析：解：（1）由 ，得
.
当 时， 有极小值 .
因为 的极值点是 的零点.所以 ，又 ，故 .
因为 有极值，故 有实根，从而 ，即 .
时， ，故 在R上是增函数， 没有极值；
时， 有两个相异的实根 ， .
列表如下
x
+ 0 – 0 +
极大值 极小值
故 的极值点是 .
从而 ，
因此 ，定义域为 .
（2）由（1）知， .
设 ，则 .
当 时， ，从而 在 上单调递增.
因为 ，所以 ，故 ，即 .
因此 .（3）由（1）知， 的极值点是 ，且 ， .
从而
记 ， 所有极值之和为 ，
因为 的极值为 ，所以 ， .
因为 ，于是 在 上单调递减.
因为 ，于是 ，故 .
因此a的取值范围为 .
