文档内容
广东省 2024 届高三“百日冲刺”联合学业质量监测
数学试卷
考生注意：
1．满分 150分，考试时间 120分钟。
2．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对
应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域
内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
3．本卷命题范围：高考范围。
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1．若集合A= { x −1< x<1 } ,B = { x x2 + x−6<0 } ，则AB =（ ）
A．{−2,−1,0,1 } B．{ 0 } C． { x −3< x<2 } D． { x −1< x<1 }
1−i
2．已知复数z = +2i4，则在复平面内z对应的点位于（ ）
1+i
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知随机变量X 的分布列如下：
X 1 2
a b
P
4 2
则E ( X )= 是D ( X )= 的（ ）
3 9
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
1
4．设点P在曲线y =ex上，点Q在直线 y = x上，则 PQ 的最小值为（ ）
e
1 2 e 3
A． B． C． D．
e2 +1 e2 +1 e2 +1 e2 +1
5．已知点P,Q分别在平面ABCD的两侧，四棱锥P− ABCD与四棱锥Q− ABCD的所有侧棱长均为2，则
下列结论正确的是（ ）
A．四边形ABCD可能是AB = AC =2的菱形
B．四边形ABCD一定是正方形
C．四边形ABCD不可能是直角梯形
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司D．平面APQ不一定与平面ABCD垂直
x2 y2
6．已知椭圆C: + =1(a >b>0)的左、右焦点分别为F、F ,P为椭圆C上一点，且 PF =4 PF ，
a2 b2 1 2 1 2
则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
1 2 2 3 2 3
A． , B． , C． ,1 D． ,1
5 5 5 5 5 5
1 1
7．已知cos2α−cos2β= − ,sin (α−β)= ，则cos ( 2α+2β)=（ ）
12 4
7 7 2 2
A．− B． C．− D．
9 9 9 9
8．已知函数h ( x )的定义域为R，且满足h ( x+1 )+h ( x−1 )=2,h ( 2−x )是偶函数，h ( 2 )=0，若n∈Z，
103
则 ∑ h(n)=（ ）
n=−103
A．202 B．204 C．206 D．208
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合
要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
π
9．已知函数 f ( x )= Asin (ωx+ϕ) A>0,ω>0,ϕ< 的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
2
A．函数y = f ( x )的周期为π
4π
B．函数 y = f ( x )的图象关于点 ,0对称
3
2π π
C．函数y = f ( x )在 − ,− 单调递减
3 6
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D．将该图象先向右平移 个单位，再把图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变），可得
6
y =2sinx的图象
10．已知O为坐标原点，F 为抛物线C: y2 =4x的焦点，点P ( 4,4 )，直线l:x =my+1交抛物线C于A,B
两点（不与点P重合），则以下说法正确的是（ ）
π
A． FA ≥1 B．存在实数m，使得∠AOB<
2
2
C．若AF =2FB，则m =± D．若直线PA与PB的倾斜角互补，则m =−2
4
11．将圆柱OO 的下底面圆O 置于球O的一个水平截面内，恰好使得O 与水平截面圆的圆心重合，圆柱OO
1 2 1 1 1 2
3
的上底面圆O 的圆周始终与球O的内壁相接（球心O在圆柱OO 内部）．已知球O的半径为3，OO = ．若
2 1 2 1 2
R为上底面圆O 的圆周上任意一点，设RO与圆柱OO 的下底面所成的角为α，圆柱OO 的体积为V ，则
2 1 2 1 2
（ ）
π 27π
A．α可以取到0, 中的任意一个值 B．V = cos2α( 1+2sinα)
2 2
81π
C．V 的值可以是任意小的正数 D．V =
max 4
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12．( a+ x ) (1−x)2024展开式中x2024的系数为−2023，则a的值为______．
S
13．等差数列{ a }的通项公式为a =1−2n，其前n项和为S ，则数列 n 的前100项的和为______．
n n n n
2 1 2
14．已知平面向量a,b,c,e，满足a ⊥b, a =2 b,c =a+b, e =1，若a −6a⋅e+8=0，则c⋅e− c 的最
3
大值是______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。
15．（本小题满分13分）
设锐角三角形ABC的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c，已知b−ccosA=2acosBcosC．
（1）求cosB；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司π CD
（2）若点D在AC上（与A,C不重合），且C = ,∠ADB =2∠CBD，求 的值．
4 AD
16．（本小题满分15分）
如图，在正四棱柱ABCD− ABC D 中，AB =2,AA =2 2,O、M、E分别为BD、C D、CC 的中点．
1 1 1 1 1 1 1
（1）证明：OM∥AD ；
1
（2）求平面MBD与平面EBD夹角的余弦值．
17．（本小题满分15分）
某工厂生产某种电子产品配件，关键环节是需要焊接“接线盒”，焊接是否成功直接导致产品“合格”与“不
合格”，公司检验组经过大量后期出厂检测发现“不合格”产品和“合格”产品的性能指标有明显差异，得到
如下的“不合格”产品和“合格”产品该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值k，将该指标大于k的产品判定为“不合格”，小于或等于k
的产品判定为“合格”．此检测标准的漏检率是将“不合格”产品判定为“合格”产品的概率，记为 f ( k )；
错检率是将“合格”产品判定为“不合格”产品的概率，记为g ( k )．假设数据在组内均匀分布，以事件发生
的频率作为相应事件发生的概率．
（1）当漏检率 f ( k )=2.8%时，求临界值k 和错检率g ( k )；
（2）设函数h ( k )= f ( k )+g ( k )，当k∈[ 80,100 ]时，求h ( k )的解析式，并求h ( k )在区间[ 80,100 ]的最
小值．
18．（本小题满分17分）
x2 y2
已知双曲线Γ: − =1(a >0,b>0)的左、右焦点分别为F,F ，直线l: y =kx(−b0)，且与双曲线Γ交于C,D两点，N 为CD的中点，O为坐标原点，且
ON =2 5，若直线l′与圆x2 + y2 =b2相切，求直线l′的方程．
19．（本小题满分17分）
x2
已知函数 f ( x )= −cosx,g ( x )= −1,x∈[ 0,+∞)．
2
（1）判断g ( x )≥ f ( x )是否成立，并给出理由；
π sinm−sinn
（2）①证明：当0cosn；
2 m−n
②证明：当a = 1 ( i∈N* ) ,k = f′( a i+1 )− f′( a i ) ( i =1,2,,n−1 )时，∑ n−1 k > 6n−7 ．
i 2i i a −a i 6
i+1 i i=1
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