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第六章 章末测试
一、单选题(每题只有一个选项为正确答案，每题5分，8题共40分）
1．（2020·全国高二单元测试）若a∈N，且a < 20，则(27－a)(28－a)…(34－a)等于（ ）
＋
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】 .故选：D
2．（2020·全国高二课时练习）下列问题属于排列问题的是（ ）
①从10个人中选2人分别去种树和扫地；
②从10个人中选2人去扫地；
③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队；
④从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作为 中的底数与真数
A．①④ B．①② C．④ D．①③④
【答案】A
【解析】排列的概念：从 个元素中取 个元素，按照一定顺序排成一列，
由题可知：①④中元素的选取有顺序，②③中元素的选取无顺序，
由此可判断出：①④是排列问题，故选：A.
3．（2020·全国高二单元测试）用数字1，2，3，4，6可以组成无重复数字的五位偶数有（ ）
A．48个 B．64个
C．72个 D．90个
【答案】C
【解析】满足条件的五位偶数有： .故选：C.
4．（2020·贵州省黎平县第三中学高二期末） 的展开式中常数项为（ ）
A． B．5 C．10 D．
【答案】C【解析】由题得二项式展开式的通项为 ，
令 .所以所求常数项为 .故选：C.
5．（2020·三门峡市外国语高级中学高二期中）如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它
们有网相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点 向结点 传递
信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（ ）
A．26 B．24 C．20 D．19
【答案】D
【解析】依题意，首先找出 到 的路线，
①单位时间内从结点 经过上面一个中间节点向结点 传递的最大信息量，从结点 向中间的结点传出
12个信息量，在该结点处分流为6个和5个，此时信息量为11；再传到结点 最大传递分别是4个和3个，
此时信息量为 个．
②单位时间内从结点 经过下面一个中间结点向结点 传递的最大信息量是12个信息量，在中间结点分
流为6个和8个，但此时总信息量为12（因为总共只有12个信息量）；再往下到结点 最大传递7个但此
时前一结点最多只有6个，另一条路线到最大只能传输6个结点 ，所以此时信息量为 个．
③综合以上结果，单位时间内从结点 向结点 传递的最大信息量是 个．
故选： ．
6．（2021·广东） 展开式中含 项的系数为（ ）
A．25 B．5 C． D．【答案】C
【解析】 展开式通项 ，
令 可得 ，令 可得 ；
含 项的系数为： .故选： .
7．（2020·广东佛山市）将编号为1，2，3，4，5，6，7的小球放入编号为1，2，3，4，5，6，7的七个
盒子中，每盒放一球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为
（ ）
A．315 B．640 C．840 D．5040
【答案】A
【解析】有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同有 种放法，
剩下的4个小球放入与小球编号不同的盒子有 种放法，
所以有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为 种，
故选：A
8．（2020·南昌市八一中学高二月考）2020年初，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员
不足和医疗物资紧缺等诸多困难，全国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援.现有四名志愿者医生被分配到 、
、 、 四所不同的乡镇医院中，若每所医院都要分配一名医生，则医生甲恰好分配到 医院的概率
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】基本事件总数 ，医生甲恰好分配到到 医院包含的基本事件个数 ，
所以医生甲恰好分配到 医院的概率为 .故选：C.
二、多选题（每题有多个选项为正确答案，每题5分，4题共20分）9．（2020·江苏扬州市）在 的展开式中，系数最大的项是第（ ）项.
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】BD
【解析】 的二项展开式的通项为 ，展开式共19项，其中第10项的二项式系
数最大，但展开式的系数为负数，第9项和第11项的二项式系数即系数相等且最大，故选：BD
10．（2020·江苏省太湖高级中学高二期中）设 ，
下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． 中最大的是 D．当 时， 除以2000的余数是1
【答案】ABD
【解析】由 ，
得 ，
所以 ，故A正确；
，故B正确；
中最大的是 ，故C错误；
当 时， ， 能被2000整除，所以 除以2000的余数是1，故D
正确；
故选：ABD
11．（2020·江苏宿迁市）对于 展开式的二项式系数下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．当 为偶数时， D．
【答案】ABCD【解析】选项A：由组合数的运算直接可得 ，故选项A正确；
选项B：由杨辉三角直接可得 ，故选项B正确；
选项C：二项式展开式中，令 ，不论 为奇数还是偶数，都可得 ，故
选项C正确；
选项D：由选项C可知 ，故选项D错误.
故选：ABC
12．（2020·湖南）关于二项式 的展开式，下列结论错误的是（ ）
A．展开式所有的系数和为1 B．展开式二项式的系数和为32
C．展开式中不含 项 D．常数项为120
【答案】BCD
【解析】因为二项式 ，令 可得所有项系数和为1，
展开式中二项式的系数和为 ，
展开式的通项为 ，
当 时，得常数项为240；
当 时，可得 项，所以错误的应选BCD.
故选：BCD
三、填空题（每5分，4题共20分，双空题第一空2分，第二空3分）
13．（2020·苏州新草桥中学高二期中）若 ，则
的值为_________．
【答案】【解析】令等式中 得 ；再令 ，则 ，
所以 ．故答案为：
14．（2020·河北石家庄市）现有红、黄、蓝三种颜色，对如图所示的正五角星的内部涂色（分割成六个
不同部分），要求每个区域涂一种颜色且相邻部分（有公共边的两个区域）的颜色不同，则不同的涂色方
案有________种.（用数字作答）.
【答案】
【解析】根据题意，假设正五角星的区域依此为 、 、 、 、 、 ，如图所示：
要将每个区域都涂色才做完这件事，由分步计数原理，先对 区域涂色有3种方法，
、 、 、 、 这5个区域都与 相邻，每个区域都有2种涂色方法，
所以共有 种涂色方案.
故答案为：
15．（2020·新疆）若 的展开式关于x的系数和为64，则展开式中含 项的系数为______.
【答案】18
【解析】由题意 ，解得 ， 展开式中 系数是 ， 的系数是 ，∴所求系数为 ．故答案为：18．
16．（2020·浙江台州市·高二期中）在二项式 的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，
项的系数为________；各项系数之和为________.(用数字作答)
【答案】
【解析】由题意得： ， ，
当 ；可得 项的系数为 ，
令 ，可得各项系数之和为： .故答案为： ； .
四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）
17．（2020·辽宁高二期末）在①只有第八项的二项式系数最大，②奇数项二项式系数之和为 ，③各项
系数之和为 ，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的 存在，求 的值；若 不存在，
说明理由.
设二项式 ，若其展开式中，______，是否存在整数 ，使得 是展开式中的常数项？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分.
【答案】答案不唯一，见解析.
【解析】若选填条件①，即只有第八项的二项式系数最大，即 最大，由二项式系数的性质可得，
；
若选填条件③，即各项系数之和为 ，则 ，即 ；
二项式 展开式的通项： .由 ，得 .
即存在整数 ，使得 是展开式中的常数项；
若选填条件②，即奇数项二项式系数之和为 ，
则 ，∴ .
二项式 展开式的通项： .
由 ，得 .
即不存在整数k，使得 是展开式中的常数项.
18．（2020·防城港市）5个男同学和4个女同学站成一排
（1）4个女同学必须站在一起，有多少种不同的排法？
（2）任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？
（3）其中甲、乙两同学之间必须有3人，有多少种不同的排法？
（4）男生和女生相间排列方法有多少种？
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4） .
【解析】（1）4个女同学必须站在一起，则视4位女生为以整体，
可得排法为 ；
（2）先排5个男同学，再插入女同学即可，所以排法为：
；
（3）根据题意可得排法为： ；
（4）5个男生中间有4个空，插入女生即可，
故有排法 .
19．（2020·全国高二单元测试）按照下列要求,分别求有多少种不同的方法?(用数字作答)(1) 个不同的小球放入 个不同的盒子；
(2) 个不同的小球放入 个不同的盒子,每个盒子至少一个小球；
(3) 个相同的小球放入 个不同的盒子,每个盒子至少一个小球；
(4) 个不同的小球放入 个不同的盒子,恰有 个空盒.
【答案】（1）4096（2）1560（3）10（4）2160
【解析】(1)46＝4 096；
(2) ＝1 560；
(3) ＋4＝10；或 ＝10；
(4) ＝2 160.
20．（2018·天津静海区）在 的展开式中，求：
（1）二项式系数的和；
（2）各项系数的和；
（3）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；
（4）奇数项系数和与偶数项系数和；
（5） 的奇次项系数和与 的偶次项系数和.
【答案】（1） ；（2）1；（3）奇数项的二项式系数和为 ，偶数项的二项式系数和为 ；（4）
奇数项的系数和为 ，偶数项的系数和为 ；（5） 的奇次项系数和为 ， 的偶次项系
数和为
【解析】设 ，各项系数和为 ，
奇数项系数和为 ，偶数项系数和为 ，
的奇次项系数和为 ， 的偶次项系数和为
（1）二项式系数的和为 ；
（2）令 ， ，则 ，
所以各项系数和为1；
（3）奇数项的二项式系数和为 ，
偶数项的二项式系数和为 ；
（4）由（2）知， ①，取 ， ，
则 ②，
所以奇数项的系数和 ，
偶数项的系数和 ；
（5）由（4）知， 的奇次项系数和为 ，
的偶次项系数和为 .
21．（2020·湖北潜江市）已知数列 的首项为1，令 ．
（1）若 为常数列，求 的解析式；
（2）若 是公比为3的等比数列，试求数列 的前 项和 ．【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）由 为常数列，且 ，
所以 ．
（2）由 是公比为3的等比数列，且 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
由等比数列的前 项和公式，可得 ．
22．（2020·江苏全国）在杨辉三角形中，从第2行开始，除1以外，其它每一个数值是它上面的两个数
值之和，该三角形数阵开头几行如图所示.
(1)在杨辉三角形中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比是3∶4∶5？若存在，试求出是第几行；
若不存在，请说明理由；
(2)已知n，r为正整数，且n≥r＋3.求证：任何四个相邻的组合数C，C ，C ，C 不能构成等差数列.
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】(1)解 存在.杨辉三角形的第n行由二项式系数C ，k＝0，1，2，…，n组成.
若第n行中有三个相邻的数之比为3∶4∶5，
则 ，即3n－7k＝－3，4n－9k＝5，解得k＝27，n＝62.
即第62行有三个相邻的数C ，C ，C 的比为3∶4∶5.
(2)证明 若有n，r(n≥r＋3)，使得C ，C ，C ，C 成等差数列，
则2C ＝C ＋C ，2C ＝C ＋C ，
即 ＝ ＋ ，
＝ ＋ ，
所以 ＝ ＋ ，
＝ ＋ ，
整理得n2－(4r＋5)n＋4r(r＋2)＋2＝0，n2－(4r＋9)n＋4(r＋1)(r＋3)＋2＝0.
两式相减得n＝2r＋3，
所以C ，C ，C ，C 成等差数列，
由二项式系数的性质可知C ＝C ＜C ＝C ，
这与等差数列的性质矛盾，从而要证明的结论成立
