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第六章 计数原理（提高卷）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分150分，考试时间1200分钟，试题共23题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将
自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1.若C ﹣C＝C（n N*），则n等于（ ）
A．11 ∈ B．12 C．13 D．14
2.现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种
数是（ ）
A．56 B．65
C． D．6×5×4×3×2
3.已知集合M＝{1，﹣2，3}，N＝{﹣4，5，6，﹣7}，从两个集合中各选一个数作为点的坐标，则这样的
坐标在直角坐标系中可表示第三、四象限内多少个不同点（ ）
A．18个 B．10个 C．16个 D．14个
4.若 ，则x＝（ ）
A．﹣1 B．4 C．﹣1或4 D．1或5
5.若展开（a+1）（a+2）（a+3）（a+4）（a+5），则展开式中a3的系数等于（ ）
A．在1，2，3，4，5中所有任取两个不同的数的乘积之和
B．在1，2，3，4，5中所有任取三个不同的数的乘积之和
C．在1，2，3，4，5中所有任取四个不同的数的乘积之和
D．以上结论都不对
6.设a＞0，b＞0，且（ax+ ）5展开式中各项的系数和为32，则 + 的最小值为（ ）
A．4 B． C．2 D．
7.从集合{A，B，C，D，E，F}和{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排（字母和数字
均不能重复）．则每排中字母C和数字4，7至少出现两个的不同排法种数为（ ）
A．85 B．95 C．2040 D．2280
8.若 的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中各项的系数和是（ ）
A．﹣1 B．1 C．210 D．211
9.为了实施“科技下乡，精准脱贫”战略，某县科技特派员带着A，B，C三个农业扶贫项目进驻某村，对
该村仅有的甲、乙、丙、丁四个贫困户进行产业帮扶经过前期实际调研得知，这四个贫困户选择 A，B，C三个扶贫项目的意向如表：
扶贫项目 A B C
贫困户 甲、乙、丙、丁 甲、乙、丙 丙、丁
若每个贫困户只能从自己已登记的选择意向项目中随机选取一项，且每个项目至多有两个贫困户选择，则
不同的选法种数有（ ）
A．24种 B．16种 C．10种 D．8种
10.已知n，m N*，n≥m，下面哪一个等式是恒成立的（ ）
A． ＝ ∈ B． ＝
C． + ＝ D． + ＝
11.在（x﹣2）8的二项展开式中，二项式系数的最大值为a，含x5项的系数为b，则 ＝（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
12.如图所示，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左右两部分，左侧的每个算珠表示
数2，右侧的每个算珠表示数1（允许一侧无珠），记上、中、下三档的数字和分别为 a，b，c．例如，
图中上档的数字和a＝9．若a，b，c成等差数列，则不同的分珠计数法有（ ）种．
A．12 B．24 C．16 D．32
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线
上）
13.从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，这10个数字中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法
为 （用数字作答）．
14.已知（x﹣ ）（1﹣x）4的展开式中x2的系数为4，则a＝ ，（x﹣ ）（1﹣x）4的展开式中的常数项
为 ．
15.为培养学生的综合素养，某校准备在高二年级开设A，B，C，D，E，F六门选修课程，学，校规定每
个学生必须从这6门课程中选3门，且A，B两门课程至少要选1门，则学生甲共有 种不同的选
法．
16.在（1+x+x2）n＝ + x+ x2+…+ x2n﹣1+ x2n的展开式中（其中 ， ，… 叫做项式系数），当n＝1，2，3，…，得到如下左图所示的展开式，如图所示的“广义杨辉三角”：
（1）若在（1+ax）（1+x+x2）5的展开式中，x8的系数为75，则实数a的值为 ；
（2） ﹣ + ﹣ +…+ ＝ （可用组合数作答）．
三、解答题（本大题共7小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过
程或演算步骤）
17.如图，一个正方形花圃被分成5份．
（1）若给这5个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，已知现有红、黄、蓝、绿4种颜色不
同的花，求有多少种不同的种植方法？
（2）若向这5个部分放入7个不同的盆栽，要求每个部分都有盆栽，问有多少种不同的放法？
18.在（ + ）n的展开式中，前3项的系数成等差数列，
（Ⅰ）求n的值；
（Ⅱ）求展开式中二项式系数最大的项；
（Ⅲ）求展开式中含x﹣2的项的系数．19.已知f
n
（x）＝
∁n
0xn﹣
∁n
1（x﹣1）n+…+（﹣1）k
n
k（x﹣k）n+…+（﹣1）n
n
n（x﹣n）n，其中x R，
n N*，k N，k≤n． ∁ ∁ ∈
（1）∈试求f∈1 （x），f
2
（x），f
3
（x）的值；
（2）试猜测f（x）关于n的表达式，并证明你的结论．
n
20.二项式 ．
（1）当a＝b＝1，n＝6时，
求①a+a+a+…+a 的值；
1 2 3 n
a+2a+3a+…+na 的值；
1 2 3 n
②（2）当 时，求 的值．21.某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个小孩共8人，准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两
辆汽车出去游玩，每车限坐4人，（乘同一辆车的4名小孩不考虑位置差异）．
（1）共有多少种不同的乘坐方式？
（2）若A户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭的乘坐方
式共有多少种？
22.规定 ＝x（x﹣1）…（x﹣m+1），其中x R，m为正整数，且 ＝1，这是排列数 （n，m是正整数，
n≤m）的一种推广． ∈
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）排列数的两个性质：① ＝ ，② + ＝ （其中m，n是正整数）．是否都能推广到 （x R，m是
正整数）的情形？若能推广，写出推广的形式并给予证明；若不能，则说明理由； ∈
（Ⅲ）已知函数f（x）＝ ﹣4lnx﹣m，试讨论函数f（x）的零点个数．
