高一数学评分细则_2024-2025高一（7-7月题库）_2024年7月试卷_0704河北省保定市2023-2024学年高一下学期期末调研考试

2023-2024 学年第二学期高一数学期末调研考试
参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1.A. 2. D 3.C 4．B 5.D 6.B 7.C 8.C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全
部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（部分选对中如有三个正确选项，选对一
个得2分，选对两个得4分；如有两个正确选项，选对一个得3分.）
9.ACD 10.BD 11.ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
1
12.  13．225 14.208
2
四、解答题：本题共5小题，共77分2。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.解：
（1）法1：（0.002+0.003+0.006+a+0.018+0.008+0.004）×20=1 …………………2分
即0.041+a=0.05
a=0.009 ……………………………………………………………3分
1
（法2： a  1 0.0020.0030.0060.0180.0080.004 20 0.009
 
20
（列式正确，结果错误得2分） ………3分 ）
由图可知，
学习时长在170分钟以下的团员所占比例为：（0.002+0.003+0.006+0.009）×20=0.4=40%
学习时长在190分钟以下的团员所占的比例为：0.4+0.018×20=0.76=76%
因此，67%分位数一定位于
170,190
内
……………………………………………4分
0.670.40
法1：由170 20185
0.760.40
法2：设样本数据的67%分位数约为x,则（x-170）×0.018=0.67-0.40，解得x=185
（列式正确，结果错误扣1分）
可以估计学习时长的样本数据的67%分位数约为185. …………………………………8分
 150，170  10000.00920180人
（2）法1：由图可知，学习时长位于 内的团员共有 ，
…………………10分
因为采用的是比例分配的分层随机抽样方法，从1000人中再抽取50人参加座谈
50
 150，170 
1809人
所以参加座谈的团员中学习时长在区间 内有1000 . ……………13分
1
{#{QQABLYAAogioAIIAAQhCQQ0YCgIQkBAACSgOxBAEIAIAQQNABAA=}#}法2：500.00920=9人 ……………13分（法二列式正确，结果错误扣2分）
16. 解：
（1）证明：连接AD ,
1
法1：
 ABCDABCD 为长方体， AB平面ADDA
1 1 1 1 1 1
 AD 平面ADD A , AB  AD
1 1 1
又点E在棱AB上移动，
 AD  AE …………………………………………………2分
1
 AD  AA 1，四边形ADD A 为正方形，  AD  AD ………………………4分
1 1 1 1 1
又 AD  AE  A且AD  平面AD E, AE  平面AD E（不写不扣分）
1 1 1 1
 A D  面AD E
1 1
 D E  A D
1 1
…………………………………………………6分
法2：
 ABCDABCD 为长方体， AB平面ADDA
1 1 1 1 1 1
 AD 平面ADD A , AB  AD …………………………………………………1分
1 1 1
 AD  AA 1，四边形ADD A 为正方形，  AD  AD …………………………3分
1 1 1 1 1
又 AD  AB  A且AD  平面AD B, AB  平面AD B（不写不扣分）
1 1 1 1
 A D  面AD B
1 1
… … … … … … … … … … … … … … … 4 分
又点E在棱AB上运动
 D E  平面AD B
1 1
 D E  A D
1 1
………………………………………6分
 1
(2) 解： AE  AB,  AE 1,BE 1
2
连接DE,计算得DE 2,EC 2 ，DC=2，由勾股定理得DE CE , ……………9分
法1：
DD面ABCD且CE面ABCDDDCE
1 1 ，
又DD面DDE，DE 面DDE，DDDE DCE  面DDE ,CE DE ………12分
1 1 1 1 1 1
法2：
2
{#{QQABLYAAogioAIIAAQhCQQ0YCgIQkBAACSgOxBAEIAIAQQNABAA=}#}DD面ABCD且DE面ABCDDD DEDE 3
1 1 1
又EC 2,DC 5
1
EC2 DE2 5 DC2DE EC
1 1 1
…………………………………………12分
DED为二面角D ECD的平面角
1 1
DD DE DDE
又因为 1 ,所以在直角三角形 1 中，
DE  2,DD1, tanDED= 2 …………………………………………………15分
1 1 2
17.解：
（1）用数字m表示第一次抛掷骰子出现的点数是m，数字n第二次抛掷骰子出现的点数是n，则数组
表示这个试验的一个样本点。因此该试验的样本空间
其中共有36个样本点. ………………………2分
记“两次点数之和为6”为事件A,
则A={（1,5），（5,1），（2,4），（4,2），（3,3）}，即n(A)=5 ………………………3分
记“两次点数之和能被4整除”为事件B,
则B={（1,3），（3,1），（2,2），（2,6），（6,2），（3,5），（5,3），（4,4），（6,6）}，
即n(B)=9 ………………………4分
连续掷骰子两次的基本事件总数为36.
所以由乙先发球的概率为 ， ………………………5分
由丙先发球的概率为 ， …………………6分
这个方法不公平. …………………………………………………………7分
（2）法1:用树状图列举每局当裁判的可能一共8种。
………………10分
其中甲当两局裁判的可能为6种. ………………………………………………13分
3
{#{QQABLYAAogioAIIAAQhCQQ0YCgIQkBAACSgOxBAEIAIAQQNABAA=}#}所以在四局比赛中甲当2局裁判的概率为 . ………………………………15分
法2：因为前三局各局比赛的胜负决定着第四局谁当裁判，所以只需要考虑前三局比赛各局的胜负情
况即可。样本空间 ={(乙胜，乙胜，乙胜),(乙胜，乙胜，丙胜),(乙胜，甲胜，甲胜),(乙胜，甲胜，丙
胜},(丙胜，丙胜，丙胜),(丙胜，丙胜，乙胜),(丙胜，甲胜，甲胜),(丙胜，甲胜，乙胜)},一共有8个
样本点，且每个样本点是等可能发生的. ……………10分
记“四局比赛中甲当两局裁判”为事件C，
因为C={(乙胜，乙胜，乙胜),(乙胜，乙胜，丙胜),(乙胜，甲胜，丙胜},(丙胜，丙胜，丙胜),(丙胜，
丙胜，乙胜),(丙胜，甲胜，乙胜)}，所以n（C）=6， ………………13分
从而
………………15分
法 3：C=“四局比赛中甲当两局裁判”，D=“第二局甲赢、第三局甲赢”，事件D与C对
立， ………………10分
， …………13分
所以 ， …………15分
法 4：C=“四局比赛中甲当两局裁判”，D=“第二局甲输”，E=“第二局甲赢、第三局甲
输” ………………10分
， …………11分
， …………12分
D与E互斥， ，所以 …………15分
18.解：(1)连接AC和BD,相交于点E,
取SC的中点，记为点P，连接EP,DP,BP ，则 DP,BP 即为所画的
线，……………………1分
4
{#{QQABLYAAogioAIIAAQhCQQ0YCgIQkBAACSgOxBAEIAIAQQNABAA=}#}理由如下：
四边形ABCD为平行四边形

点E为AC的中点
又点P为SC的中点
 PE为SAC的中位线
 PE / /SA ……………………………………3分
又 PE  面PBD且SA  面PBD（不写不扣分）
SA / /面PBD
……………………………………………………………4分
 AB  4, AD  BC  2,BAD  60
（2）法1：
BD2  AB2  AD2 2AB ADcosBAD
16 4242cos60
12
即BD2 3 …………………………………………………………5分
DE  3
又SD 平面ABCDSD DCSC  SD2DC 2 2 5
1
DP SC  5
2
1
由（1）知PE SA
2
又SA SD2  AD2 2 2
PE  2
………………………………………………………8分
PE2DE2  DP2
DE  PE
1
S  2 DEPE  3 2  6 ……………………………………………………10分
BDP
2
法2：
 AB  4, AD  BC  2,BAD  60
BD2  AB2  AD2  2AB ADcosBAD
16 4 242cos60
12
5
{#{QQABLYAAogioAIIAAQhCQQ0YCgIQkBAACSgOxBAEIAIAQQNABAA=}#}BD2AD2 12416 AB2
ADBD
BCBD …………………………………………………5分
又SD面ABCD且BC面ABCD
BCSD
又SD面SBD,BD面SBD且SDBDD（不写不扣分）
BC 面SBD
又SB面SBD
BC SB
…………………………………………6分
1
BP  SC
2
又SDDC
1
DP SC
2
又SC  SD2DC2  4162 5
DPBP 5 …………………………………………………………8分
又BD2 3
BE 3
PE BP2BE2  2
1
S  2 3 2 6
PBD 2
……………………………………………………………10分
法3：取DC的中点G,连接PG、BG,在直角三角形PGB中取求PB的长度.
法4：根据SSS证明三角形SDC与三角形CBS全等，求PB的长度.
法5：可证BD 平面SAD,得BD SA,进而BD PE.
⟂ ⟂ ⟂
(3)法1：设点C到平面BDP的距离为h，则h为三棱锥C-BDP的高
 SD  平面ABCD,点P为SC的中点
SD
点P到平面BCD的距离为  1
2
……………………………………………………………11分
V V
PBCD CPBD
S 1 S h
BCD PBD
1
即 22 31= 6 h(若第一问没有说明BD  BC,此处需要说明）
2
h= 2
…………………………15分
h 2 10
直线SC与平面PBD所成角的正弦值为  
PC 5 5
6
{#{QQABLYAAogioAIIAAQhCQQ0YCgIQkBAACSgOxBAEIAIAQQNABAA=}#}…………………………17分
法2：取SA的中点M，连接ME和MD,
1
则MESC且ME  SC  5
2
所以ME与平面BDP所成的角与SC与平面BDP所成的角相
等……………………11分
因为SD=AD=2
所以DM SA且DM  2
所以DM⊥PE ……………………12分
 AB  4,AD  BC  2,BAD  60
BD2  AB2  AD2 2ABADcosBAD
16 4242cos60
12
BD2AD2 12416 AB2
ADBD
BDSD
BD平面SDA
又DM 平面SDABDDM
……………………15分
DM  平面BDP
……………………16分
MED为直线ME与平面BDP所成的角
MD 2 10
……………………17分
在直角MDE中，sinMED   
ME 5 5
19.
（1）解：由余弦定理可知： ∠
2 2 2
即： BC =AB +AC −2⋅AB⋅AC⋅cos BAC 分
2 1
BC =25+9−2×5×3× =19 …………2
由题中定理可得： 2 解得
2 19 7
25+9=2(AD + ), AD=
即三角形 边上的中线长为 ……… 4分 4 2
7
(2)证明： BC 2.
法:1：在 中， ………………………5分
2 2 2
+   −  
△        = 2   ⋅  
在 中， ………………………7分
2 2 2 1 2 2 2
+   −   4   +   −  
△        = 2   ⋅   =   ⋅   7
{#{QQABLYAAogioAIIAAQhCQQ0YCgIQkBAACSgOxBAEIAIAQQNABAA=}#},化简得 …………………9分
2 2 2 1 2 2 2
=       +   =2   +2   =2(   +   )
法2：在 中 ∠ ,………………………5分
2 2 2
+   −  
△          = 2   ⋅  
在 中 ∠ ……………………7分
2 2 2
+   −  
△∠       ∠    = 2,  化  ⋅  简  得 …………………9分
2 2 2 2
+       =0   +   =2(   +   )
法3：向量方法
是三角形 边上的中线
∵     5分
1
∴    = (    +    ),    =    −     ………………………
： 2 ， （ ）
2
2 1 2 2
∴     = (    +    )     =    −    
即： 4
2 1 2 2 2 2 2
= (   +   +2    ⋅    ),   =   7分+   −2    ⋅    
4
2 2 2
∴4   =   +   +即2：    ⋅    …………………… （ ………9分
2 2 2 2 2 2 2   2
(注意∴：4如   果用+极   化恒=等2(式   必+须  先  证)明, ，如  果  没+有   证明=扣2 2   分.)+ 2 )
（3）法1： ， ，
=3 [ ( ) （ + ）], = 6
+3      =3     (  −  )      =3  [    (  −  )−     ]
设     的  内   角  A  ,B−,C  的−对   边  分  别为  , ,      −      ⋅    
2△=   6  ，   
2 =−6   ⋅  2  +  2  2 ， 2+ 2 = 2 2 =24. …………………………12分
2 3
− 
2−+   2⋅=2(   2+  2)  , =  3,所以 = 3 …………………………13分
=  2   =2  1     ∠  = 3 3 ,
2 2
△     △    ×   ×   ×      
所以 ∠ = 1，即∠ = ， …………………………15分
2 6


在 中， ∠ =
2+ 2 2
，得 = 3. …………………16分
2
−  
在等 △ 腰     中   ，∠    = 2   ⋅   所以  ∠  = 1 ………17分
3 2

法△2：    +3    =3 (   )  ,    −
+3 =3 3 ,
− 
由正弦定理得， 2+3 2 =3 3 ,
−         
由余弦定理得，  2+3  2 = 3   2   +   2−  2     3  ( 2+ 2 2),
2 2
−  −   − 
2+ 2 = 2 2 =24 …………………………12分
3
∴  2+  2 =  2( 2+ 2), =3,所以 = 3 …………………………13分
=  2   =2  1     ∠  = 3 3 ,
2 2
△     △    ×   ×   ×      
8
{#{QQABLYAAogioAIIAAQhCQQ0YCgIQkBAACSgOxBAEIAIAQQNABAA=}#}所以 ∠ = 1，即∠ = ， …………………………15分
2 6


在 中， ∠ =
2+ 2 2
，得 = 3. …………………16分
2
−  
在等 △ 腰     中   ，∠    = 2   ⋅    
3

△      
所以 ∠ = 1 ………………………17分
2
法   3：    −+3 =3 ( )，
=3 [ ( ) ]，
− 
=3 [ ( ) （ + ）],
−  −    
= 6
−  −     
设     −的内   角   A  ,B⋅  ,C   的  对边分别为 , ,
2△=   6  =36，………………  …  …  ……12分
又  −   ⋅=   1   = 3 3
2 2
∵  ∆         
3
=
2
∴     −
= 21 , = 2 7 …………………………14分
7 7
∴    =  3 7     −
∴2  =  6 2+ 2 2 ， 2+ 2 = 2 2 =24.
2 3
− 
>− ,   ⋅ =  3  , =  21…  ……  …………………15分
2+ 2 =2( 2+ 2), =3,所以 = 3 …………………………16分
∵   ∴  
在    中，   ∠   =   2+ 2 2  =  1 …………………17分
2 2
−  
△            ⋅   −
9
{#{QQABLYAAogioAIIAAQhCQQ0YCgIQkBAACSgOxBAEIAIAQQNABAA=}#}