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期末数学试卷
（时间：120分钟 满分：150分）
注意事项：1．答题前在答题卷上填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卷上.
一、选择题（每小题5分，共60分.注意：9至12题为多选题.）
1. 过点 ， 的直线的斜率等于1，则m的值为（ ）
A. 1 B. 4 C. 1或3 D. 1或4
【答案】A
【解析】
【分析】解方程 即得解.
【详解】由题得 .
故选：A
【点睛】本题主要考查斜率的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
2. 若圆 的半径为 ，则实数 （ ）
A. B. -1 C. 1 D.
【答案】B
【解析】
【分析】将圆的方程化为标准方程，即可求出半径的表达式，从而可求出 的值.
【详解】由题意，圆的方程可化为 ，
所以半径为 ，解得 .
故选：B.
【点睛】本题考查圆的方程，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
3. 已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外一点，下列条件中能确定点M与点A，B，C一定共面的是
A. B.
学科网（北京）股份有限公司C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先利用坐标法，排除错误选项，然后对符合的选项验证存在 使得 ，由
此得出正确选项.
【详解】不妨设 .
对于A选项， ，由于 的竖坐标 ，故 不在平面 上，故A
选项错误.
对于B选项， ，由于 的竖坐标 ，故 不在平面 上，故
B选项错误.
对于C选项， ，由于 的竖坐标 ，故 不在平面
上，故C选项错误.
对于D选项， ，由于 的竖坐标为 ，故 在平面 上，也
即 四点共面.下面证明结论一定成立：
由 ，得 ，
即 ，故存在 ，使得 成立，也即 四点共面.
故选：D.
学科网（北京）股份有限公司【点睛】本小题主要考查空间四点共面的证明方法，考查空间向量的线性运算，考查数形结合的数学思想
方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
4. 饕餮纹是青铜器上常见的花纹之一，最早见于长江中下游地区的良渚文化陶器和玉器上，盛行于商代至
西周早期．将青铜器中的饕餮纹的一部分画到方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为一个单位长度，
有一点 从点 出发，每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能的，那么点 经过3次
跳动后恰好是沿着饕餮纹的路线到达点 的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用古典概型的概率求解.
【详解】解：点 从点 出发，每次向右或向下跳一个单位长度，跳3次，
学科网（北京）股份有限公司则样本空间 {（右，右，右），（右，右，下），（右，下，右），（下，右，右），（右，下，
下），（下，右，下），（下，下，右），（下，下，下）}，
记“3次跳动后，恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B”为事件 ，则 {（下，下，右）}，由古典概型
的概率公式可知 ．
故选：B．
5. 点 到直线 的距离为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用点到直线的距离公式得到答案.
【详解】 ，答案为B
【点睛】本题考查了点到直线的距离公式，属于简单题.
6. 紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品,其制作始于明朝正德年间.紫砂壶的壶型众 多,经典的有西施
壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等.其中,石瓢壶的壶体可以近似看成一 个圆台 (即圆锥用平行于底面的平面截
去一个锥体得到的).下图给出了一个石瓢壶的相关数据(单位:cm),那么该壶的容量约为（ ）
A. 100 B.
C. 300 D. 400
【答案】B
【解析】
学科网（北京）股份有限公司【分析】
根据圆台的体积等于两个圆锥的体积之差，即可求出．
【详解】设大圆锥的高为 ，所以 ，解得 ．
故 ．
故选：B．
【点睛】本题主要考查圆台体积的求法以及数学在生活中的应用，属于基础题．
7. （2017新课标全国Ⅲ理科）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，
则该圆柱的体积为
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】绘制圆柱的轴截面如图所示，由题意可得： ，
结合勾股定理，底面半径 ，
由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是 ，故选B.
【名师点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切
学科网（北京）股份有限公司点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只
画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，
列方程(组)求解.
8. 已知圆 ，圆 ，M，N分别是圆 上的动点，P
为x轴上的动点，则以 的最小值为（ ）
.
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出圆 关于 轴的对称圆的圆心坐标 ，以及半径，然后求解圆 与圆 的圆心距减去两个
圆的半径和，即可求出 的最小值.
【详解】圆 关于 轴 的对称圆的圆心坐标 ，半径为1，圆 的圆心坐标为 ，半径为3，
易知，当 三点共线时， 取得最小值，
的最小值为圆 与圆 的圆心距减去两个圆的半径和，
即： .
故选：A.
注意: 9至12题为多选题.
9. 已知直线 ： 和直线 ： ，下列说法正确的是（ ）
A. 始终过定点
B. 若 ，则 或-3
C. 若 ，则 或2
D. 当 时， 始终不过第三象限
学科网（北京）股份有限公司【答案】ACD
【解析】
【分析】将直线化为 可判断A；将 或-3代入直线方程可判断B；根据
可判断C；将直线化为 ，即可求解.
【详解】 ： 过点 ，A正确；
当 时， ， 重合，故B错误；
由 ，得 或2，故C正确；
： 始终过 ，斜率为负，不会过第三象限，故D正确.
故选：ACD
【点睛】本题考查了直线过定点、直线垂直求参数，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
10. 为了更好地支持“中小型企业”的发展，某市决定对部分企业的税收进行适当的减免，现调查了当地
的100家中小型企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，则下面结论正确的是
A. 样本在区间 内的频数为18
的
B. 如果规定年收入在300万元以内 企业才能享受减免税政策，估计有30%的当地中小型企业能享受到减
免税政策
学科网（北京）股份有限公司C. 样本的中位数小于350万元
D. 可估计当地的中小型企业年收入的平均数超过400万元（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表
【答案】AB
【解析】
【分析】
由题意和图形及频率分布直方图的相关公式计算频率、中位数、平均数即可，
【详解】由图可得
样本在区间 内的频数为 ，故A正确；
年收入在300万元以内的企业频率为 ，故B正确；
则中位数在 之间，设为 则
，故C不正确；
年收入的平均数超过 ，
故D不正确
故选：AB
【点睛】方法点睛：1.谨记频率分布直方图的相关公式：
(1)直方图中各小长方形的面积之和为1；
(2)直方图中纵轴表示：频率/组距，故每组样本的频率为组距乘以频率/组距，即矩形的面积；
(3)直方图中每组样本的频数为频率乘以总数.
2.频率分布直方图中数字特征的计算：
(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；
(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；
(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中
点的横坐标之和.
11. 设 ， 是两个平面， ， 是两条直线，下列命题正确的是（ ）
A. 如果 ， ，那么 .
B. 如果 ， ，那么 .
学科网（北京）股份有限公司C. 如果 ， ， ，那么 .
D. 如果 内有两条相交直线与 平行，那么 .
【答案】ABD
【解析】
【分析】由立体几何知识对选项逐一判断
【详解】对于A，由线面垂直的性质知A正确
对于B，由面面平行的性质知B正确
对于C，若 ， ， ，可得 或 ，而 位置关系不确定，故C错误
对于D，由面面平行的判定定理知D正确
故选：ABD
12. 如图，在四棱锥 中，底面 为菱形， ，侧面 为正三角形，且平面
平面 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 在棱 上存在点 ，使 平面
B. 异面直线 与 所成的角为90°
C. 二面角 的大小为45°
.
D 平面
【答案】ABC
【解析】
【分析】选项A，取 的中点 ，利用三角形知识得垂直关系，再利用线面垂直的判定定理证明
平面 ；选项B，利用 平面 ，可得 ；选项C，先作出并证明所求的二面
角为 ，再利用直角三角形知识求解；选项D，利用反证法，假设 平面 ，再证明
学科网（北京）股份有限公司平面 ，得到 ，与 与 的夹角为 矛盾来说明.
【详解】A选项：如图，取 的中点 ，连接 ，
∵侧面 为正三角形， ，
又底面 是菱形， ， 是等边三角形，
又 为 的中点 ，
又 ， ， 在平面 内，且相交于点 ，
平面 ，故选项A正确；
B选项：由选项A知， 平面 ，又 平面 ， ，
即异面直线 与 所成的角为90°，故选项B正确；
C选项：∵ 平面 ， ，
平面 ， ， ，
又平面 平面 ， 是二面角 的平面角，
设 ，则 ， ，
在直角 中， ，即 ，
故二面角 的大小为 ，故选项C正确；
D选项：因为平面 平面 ， ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 .
学科网（北京）股份有限公司假设 平面 ，则有 ，又 ， 在平面 内，且相交于点 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，
而由题可知， 与 的夹角为 ，矛盾，故假设不成立，故选项D错误.
故选：ABC.
二、填空题（每小题5分，共20分）
13. 已知圆锥的高为 ，体积为 ，则以该圆锥的母线为半径的球的表面积为______________.
【答案】
【解析】
【分析】利用圆锥体积公式可求得圆锥底面半径 ，利用勾股定理可得母线长 ；根据球的表面积公式可
求得结果.
【详解】设圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，
圆锥体积 ， ， ，
以 为半径的球的表面积 .
故答案为： .
14. 直线 的倾斜角的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】先求出直线的斜率取值范围，再根据斜率与倾斜角的关系，即可求出．
【详解】 可化为： ，所以 ，由于
，结合函数 在 上的图象，可知 ．
学科网（北京）股份有限公司故答案为： ．
【点睛】本题主要考查斜率与倾斜角的关系的应用，以及直线的一般式化斜截式，属于基础题．
15. 已知水平放置的 是按“斜二测画法”得到如下图所示的直观图，其中 ，
，则原 的面积为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据直观图画出原图，再根据三角形面积公式计算可得.
【详解】解：依题意得到直观图的原图如下：
学科网（北京）股份有限公司且 ，
所以
故答案为：
【点睛】本题考查斜二测画法中原图和直观图面积之间的关系，属于基础题．
16. 如图,在四棱锥 中, 平面 ,底面 是菱形,且 , 则
异面直线 与 所成的角的余弦值为______,点 到平面 的距离等于______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】
因为底面 是菱形,可得 ,则异面直线 与 所成的角和 与 所成的角相等,即可
求得异面直线 与 所成的角的余弦值.在底面从点 向 作垂线 ,求证 垂直平面 ,即
可求得答案.
【详解】根据题意画出其立体图形:如图
学科网（北京）股份有限公司底面 是菱形,
则异面直线 与 所成的角和直线 与 所成的角相等
平面 , 平面
又 ,底面 是菱形
即
故:异面直线 与 所成的角的余弦值为:
在底面从点 向 作垂线
平面 , 平面
,
平面
故 是 到平面 的距离
故答案为: , .
【点睛】本题考查了求异面直线的夹角和点到面距离,解题关键是掌握将求异面直线夹角转化为共面直线夹
角的解法,考查了分析能力和推理能力,属于基础题.
三、解答题（共70分.注意：以一定的文字说明并规范答题）
17. 已知向量 ， .
学科网（北京）股份有限公司（1）计算 和 ；
（2）求 .
【答案】（1） ， ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）利用空间向量的坐标运算可求得 的坐标，利用向量的模长公式可求得 的值；
（2）计算出 ，结合 的取值范围可求得结果.
【详解】（1） ， ；
（2） ，
，因此， .
【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，同时也考查了利用空间向量的数量积计算向量的夹角，考查计算
能力，属于基础题.
18. 已知三角形的三个顶点是 ， ， ．
（1）求 边上的中线所在直线的方程；
（2）求 边上的高所在直线的方程．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】
【分析】（1）先求出BC的中点坐标，再利用两点式求出直线的方程；
（2）先求出BC边上的高所在直线的斜率，再利用点斜式求出直线的方程.
【详解】（1）设线段 的中点为 ．
因为 ， ，
学科网（北京）股份有限公司所以 的中点 ，
所以 边上的中线所在直线的方程为 ，
即 ．
（2）因为 ， ，
所以 边所在直线的斜率 ，
所以 边上的高所在直线的斜率为 ，
所以 边上的高所在直线的方程为 ，
即 ．
【点睛】本题主要考查直线方程的求法，属于基础题.
19. 某校从高一年级学生中随机抽取40名中学生，将他们的期中考试数学成绩(满分100分，成绩均为不低
于40分的整数)分成六段： ， ，…， 所得到如图所示的频率分布直图
（1）求图中实数 的值；
（2）若该校高一年级共有640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；
（3）若从数学成绩在[40，50)与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这2名学生的数学
成绩之差的绝对值不大于10的概率.
【答案】（1）a=0.03；（2）544人；（3） .
【解析】
学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）根据图中所有小矩形的面积之和等于1求解.
（2）根据频率分布直方图，得到成绩不低于60分的频率，再根据该校高一年级共有学生640人求解.
（3）由频率分布直方图得到成绩在[40，50)和[90，100]分数段内的人数，先列举出从数学成绩在[40，50)
与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生的基本事件总数，再得到两名学生的数学成绩之差的
绝对值不大于10”的基本事件数，代入古典概型概率求解.
【详解】（1）∵图中所有小矩形的面积之和等于1，
∴10×(0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01)=1，
解得a=0.03.
（2）根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为1−10×(0.005+0.01)=0.85，
∵该校高一年级共有学生640人，
∴由样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为640×0.85=544人.
（3）成绩在[40，50)分数段内的人数为40×0.05=2人，分别记为A，B，
成绩在[90，100]分数段内的人数为40×0.1=4人，分别记为C，D，E，F.
若从数学成绩在[40，50)与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，
则所有的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，
(C，D)，(C，E)，
(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)共15种.
如果两名学生的数学成绩都在[40，50)分数段内或都在[90，100]分数段内，
那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.
如果一个成绩在[40，50)分数段内，另一个成绩在[90，100]分数段内，
的
那么这两名学生 数学成绩之差的绝对值一定大于10.
记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M，
则事件M包含的基本事件有：(A，B)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)共7种.
∴所求概率为P(M)= .
【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用以及古典概型概率的求法，还考查了运算求解的能力，属于
中档题.
20. 如图长方体 中， ， ，点 为 的中点.
学科网（北京）股份有限公司（1）求证： 平面 ；
（2）求证： 平面 ；
（3）求二面角 的余弦值.
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）
【解析】
【分析】（1）作辅助线，由中位线定理证明 ，再由线面平行的判定定理证明即可；
（2）连接 ，由勾股定理证明 ， ，再结合线面垂直的判定定理证明即可；
（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求面面角的余弦值即可.
【详解】（1）连接 交 与点 ，连接
四边形 为正方形， 点 为 的中点
又点 为 的中点，
平面 ， 平面
平面
学科网（北京）股份有限公司（2）连接
由勾股定理可知 ，
，则
同理可证 ，
平面
平面
（3）建立如下图所示的空间直角坐标系
显然平面 的法向量即为平面 的法向量，不妨设为
学科网（北京）股份有限公司由（2）可知 平面 ，即平面 的法向量为
又二面角 是钝角
二面角 的余弦值为
【点睛】关键点睛：在第一问中，关键是利用中位线定理找到线线平行，再由定义证明线面平行；在第二
问中，关键是利用勾股定理证明线线垂直，从而得出线面垂直；在第三问中，关键是建立坐标系，利用向
量法求面面角的余弦值.
21. 已知圆 .
（1）求过点M（2，1）的圆的切线方程；
（2）直线 过点 且被圆 截得的弦长为2，求直线 的方程；
（3）已知圆 的圆心在直线y=1上，与y轴相切，且与圆 相外切，求圆 的标准方程.
【答案】（1）y=1；
（2）x+y-2=0；
（3） .
【解析】
【分析】(1)将圆的一般方程化为圆的标准方程，结合图形即可求出结果；
学科网（北京）股份有限公司(2)根据题意可知直线 过圆心 ，利用直线的两点式方程计算即可得出结果；
(3)设圆E的圆心E（a，1），根据题意可得圆E的半径为 ，结合圆与圆的位置关系和两点距离公式计算
求出 ，进而得出圆的标准方程.
【小问1详解】
圆 ，
即 ，
其圆心为 ，半径为1.
因为点（2，1）在圆上，如图，
所以切线方程为y=1；
【小问2详解】
由题意得，圆的直径为2，
所以直线 过圆心 ，
由直线的两点式方程，得 ，
即直线 的方程为x+y-2=0；
【小问3详解】
因为圆E的圆心在直线y=1上，设圆E的圆心E（a，1），
由圆E与y轴相切，得R=a( )
又圆E与圆 相外切，所以 ，
由两点距离公式得 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，解得 ，
所以圆心 ， ，
所以圆E的方程为 .
22. 如图，在四棱锥 中，底面 是正方形，侧面 底面 ， 为侧棱 上
一点．
（1）求证： ；
（2）若 为 中点，平面 与侧棱 于点 ，且 ，求四棱锥 的体
积．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用面面垂直的性质定理可得出 平面 ，再利用线面垂直的性质可得出
；
（2）分析可知 为 的中点， 平面 ，计算出梯形 的面积，利用锥体的体积公式可
求得四棱锥 的体积．
【小问1详解】
学科网（北京）股份有限公司证明：因为四边形 为正方形，则 ，
因为侧面 底面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 .
【小问2详解】
解：因为 ， 平面 ， 平面 ，所以， 平面 ，
因为 平面 ，平面 平面 ，所以 ，所以 ，
，则 ，所以，四边形 是直角梯形，
又 是 中点，所以 ， ，
所以 ，
由 平面 ， 平面 ，所以 ，从而 ，
正三角形 中， 是 中点， ，即 ，
，所以 平面 ，
因为 ，所以 .
学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司
