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新高考金卷 2024 届全国Ⅱ卷适应卷（三）
数学答案
一．单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项符合题目的要求.
1.选
【解析】 .
2.选
【 解 析 】 ， 因 为 中 有 且 仅 有 两 个 元 素 ， 则 ， 则
.
3.选
【解析】由正态分布的概率分布曲线的对称性知， ，则 .
4.选
【解析】由题可以知道 或 ，则由 解得 或 .
5.选
【解析】由条件得 ，则
.
6.选
【解析】在 中，由余弦定理得 ，则
1
学科网（北京）股份有限公司.由正弦定理可得 的外接圆半径为 .设 的外接
圆的圆心为 ，过 作平面 的垂线 ，由外接球的性质知外接球的球心 在直线
上，由于 ，则点 在 上.计算得 ，则有
， 解 得 ， 则 三 棱 锥 的 外 接 球 表 面 积
.
7.选
【解析】方法1：由条件得 ，由 得 ，则
，整理得 .因为 唯一
存在，则有 ，解得 或 ，又因为 ，则 ，
则 ， ，则 .
方法2：因为满足题意的 与 唯一存在，所以 与 的终边关于角 的终边对称，且
，则 .
2
学科网（北京）股份有限公司8.选
【解析】注意到， ，因为 ，且 ，所以函数
在 点 处 的 切 线 方 程 为 . 当 时 ， 由 可 知 ，
，所以 的最小值为直
线 与直线 的距离，由点到直线的距离公式知 ，解得
或 （舍去），所以 .
二．多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有
多个选项要求，部分选对的得部分分，有选错的不得分.
9.选
【解析】由条件知圆台的高为 ， ， ， ，则
，所以选项 正确.设圆台的上下底面圆
的半径分别为 ， ，由条件可得 ， ，则圆台的表面积
，所以选项 正确.如图，过点 作
的垂线交 于 ，过点 作 的垂线交 于 ，连接 ，则易证 ，
， ，则 ，则 ，
所以选项 错误.过 作 的平行线交底面圆周于点 ，连接 ，则 即为直
线 与 所成角（或补角），在 中， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司，由余弦定理得 ，则直线 与
夹角的余弦值为 ，选项 正确.选项 妙解，由三余弦定理得
.
10.选
【解析】由条件 得 ，则
,当且仅当 是取等号，选项 正确.由 ，即
，解得 ，当且仅当 时取等号，选项 错误.
由 得 ，从而
，当且仅当 时取等号，选项 错误.由 得
，因为 ，所以 ，当且仅当 时取等号，选项 正
确.
11.选
【解析】设动圆 的半径为 ，由条件得 ， ，则
，且 ， ， 不重合，故点 的轨迹为以 ， 为焦点的
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学科网（北京）股份有限公司椭圆（去掉与 ， ， 重合的三点），则曲线 的方程为 ，选项
错误.易知 与 互补，而 的最大值为 ，则 的最小值
为 ，选项 正确.
，选项 正确.
由椭圆的光学性质知 选项正确.
三．填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填写在答题卡相应位置上.
12.答案为
【解析】先将 人任意分成 组，共有 种分法，而甲，乙在一组的分法有
种，因此满足题意的分组方法共有 种，再将分好的 组分配到三个不同的地方，有
种方法，根据分步计数原理，满足题意的安排方法共有 种.
13.答案为
【解析】对条件两边求导得 ，再令
得 ，而 ，则
.
14.答案为
【解析】因为 的图象关于直线 对称，则 ，即
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学科网（北京）股份有限公司.因为 在 上恰有两条对称轴，当 时，
，解得 ，此时无解.当 时，
，解得 ，此时 ,故实数 的值为 .则 ，
因为 ，且 ，则 ，则 .在
中，由余弦定理得 ，则 ，当且仅当 时取等
号，则 的面积 ，故 面积的最大值为 .
四．解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.
15.（Ⅰ） （Ⅱ）证明略.
【解析】（Ⅰ）因为 ， ， 成等差数列，所以 ，即
， 又 为 等 比 数 列 ， 则 ， ， 也 成 等 比 数 列 ， 则
，联立解得 ， ，则数列 的公比为 ，则
，即 .当 时， ， 也适合
6
学科网（北京）股份有限公司，则数列 的通项公式为 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ，则 ，则
，记 ，则
，则
，因为
，所以 .
16.（Ⅰ） （Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）解法1：如图，因为 为长方体，所以 平面
， 又 因 为 平 面 ， 则 ， 又 ， 且
， 平 面 ， 则 平 面 . 设 平 面
与棱 交于点 ，连接 ， ，则 .因为
，不妨设 ， ，设 ，易知 ，
则 ， 又 ， ， 则 有 ，
，则 ，解得 ，所以 为 中
点.由面面平行性质知 ，则 为 的中点.设平面 交棱 于点 ，
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学科网（北京）股份有限公司连接 ， ，则四边形 即为所作截面.由面面平行性质知 ，则 为
的中点，则四边形 为梯形.因为 ，则 ，则 ，
， 又 ， . 设 梯 形 的 高 为 ， 则 有
， 解 得 ， 则 四 边 形 的 面 积
.
解法2：以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.则 ，
， ， ， 则 ， . 因 为
，则 ，即 ，解得 ，又因为 ，所
以 为 的中点.以下同解法1.
（2）由（Ⅰ）知 为 的中点，因为 ，则 为 的中点.不妨设
， 则 ， ， ， ，
，则 ， ， .由
（Ⅰ）知平面 的一个法向量为 ，设平面 的一个法向量为
，则 ，即 ，取 ，则 ， ，
则 .所以 ，则平面 与 所成夹角的
余弦值 .
17.（Ⅰ）根据小概率值 独立性检验，学生对垃圾垃圾分类的了解程度与性别无
关（Ⅰ） （Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）根据题意，样本中 等级的男生有 人， 等级的男生有 人，两
个等级的女生都为 人，列联表如下：
女
男生 合计
生
8
学科网（北京）股份有限公司等
级
等
级
合计
零假设 ：学生对垃圾垃圾分类的了解程度与性别无关.
则 ，所以没有充分的理由说明 不
成立，即学生对垃圾垃圾分类的了解程度与性别无关.
（Ⅱ）（1）根据题意，比赛只进行 局就结束，则有甲连胜 局或者乙连胜 局两种情
况.设比赛只进行 局就结束为事件 .
第一种情况，甲连胜 局.此时， .
第二种情况，乙连胜 局.此时， .
则 ，即比赛进行 局结束的概率为 .
（2）由题意 取值为 ， ， ， .则
， ，
则 .则分布列如下：
则 .
18.（Ⅰ） （Ⅱ）证明略
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学科网（北京）股份有限公司【解析】（Ⅰ） ，若 ，则当 时，
， 单调递增，则 至多只有一个零点，不符题意.若 ，令
得 ， ， 则 当 时 ， ， 单 调 递 增 ， 当
时 ， 单 调 递 减 . 因 为 有 两 个 不 同 的 零 点 ， 则 必 有
， 解 得 ， 又 时 ，
，当 时， ，故当 时， 有两个不同的零
点，所以实数 的取值范围为 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ， 是函数 的两个不同零点，不妨设
， 则 有 ， 即 ， ， 作 差 得
， 先 证 ， 即 证 ， 即 证
， 设 ， 则 只 需 证 ， 即 证 ， 设
， 则 ， 则 单 调 递 增 ， 则
，则 成立，也即 成立.再证 ，因为 是方程
的根，则 ，又有 ，
，则 ，则
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学科网（北京）股份有限公司，因为函数 单调递增，则 ，故要证
，只需证 ，即证 .只需证 ，因为
， ，且 在 上单调递减，则只需证
， 又 因 为 ， 即 证 . 设
， 则
，则 在 上单调递减，则
，则 ，从而 ，故 成
立.
19.（Ⅰ）证明略（Ⅱ）证明略
【解析】（Ⅰ）证明：设 ， ，联立 ，消去 得
， 由 韦 达 定 理 得 ， ， 则
， 则 ， 因 为 垂 直 于 轴 ， 则
.设 的中点为 ，则 ，显然 的坐标满足方程 ，则
的中点在 上.
（Ⅱ）因为 ，则 的方程为 ，联立 得
，解得 或 ，因为 ， 位于 轴两侧，则
.设点 在抛物线 上，则易得 在点 处的切线方程为
，设 ， ，则 在 与 处的切线方
程分别为 与 ，又两条切线都过点 ，则
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学科网（北京）股份有限公司， ，则直线 的方程
为 ，即 ，又 ，则点 在
直线 上.由（Ⅰ）知 ，而
，则 .而
.联立 ，
消去 得 ，则 ， ，则
.所以
.
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学科网（北京）股份有限公司
