文数_2024年4月_01按日期_16号_2024届四川绵阳南山中学高三4月绵阳三诊热身考试_四川省绵阳南山中学2024届高三下学期4月绵阳三诊热身考试数学（文）

绵阳南山中学高2021级高三下期绵阳三诊热身考试试题
数学 (文科)
命题人：宋玉贤 审题人：尹冰
第Ⅰ卷 (选择题，共 60 分)
一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的)
1.设集合A=x-2<x<0

 ,B=x-1≤x≤1

 .则A∪B= ( )
A. x-1≤x≤1

 B. x-2<x<1


C. x-1≤x<0

 D. x-2<x≤1


z
2.已知复数z满足 =i2024(i为虚数单位)，则 z= ( )
1+2i
A. 3 B. 3 C. 5 D. 5

3.在直角坐标系xOy中，向量OA= 1,-1 

,OB= 5,m 

,OC = 7,3  ，其中m∈R，若
A，B,C三点共线，则实数m的值为 ( )
3 5
A. B. -7 C. D. 2
5 3
4.苏格拉数学家科林.麦克劳林(Colin Maclaurin)研究出了著名的Maclauin级数展
1
开式，其中一个为 =1+x+x2+x3+x4+⋯+xn+⋯，据此展开式，如图所示的
1-x
程序框图的输出结果S约为 ( )
A. 2 B. 1 C. 0.5 D. 0.25
5.函数fx 
2+cosx
=
 ex
的部分图像大致为 ( )
e2x+1
A. B.
C. D.
6.已知等比数列a n  的第二项为1，则“a <a ”是“a <a ”的 ( ) 2020 2023 2022 2024
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.一般来说，输出信号功率用高斯函数来描述，定义为Ix 
2024年4月
(x-μ)2
-
=I e 2σ2 ，其中I 为输出信 0 0
试卷第1页 共4页
{#{QQABIQAAggAgAIBAABgCUQGyCEEQkBECAKoOxAAEoAAByQFABAA=}#}号功率最大值(单位：mW)，x为频率(单位：Hz)，μ为输出信号功率的数学期望，σ2
为输出信号的方差，3dB带宽是光通信中一个常用的指标，是指当输出信号功率下降
至最大值一半时，信号的频率范围，即对应函数图象的宽度。现已知输出信号功率为
Ix 
(x-2)2
=I 0 e- 2 (如图所示)，则其3dB带宽为 ( )
A. ln2 B. 4 ln2 C. 2 2ln2 D. 3 ln2
8.已知函数 f(x)=3sinωx+4cosωx (ω>0)在区间(0,π)恰有两个零点x 、x ，则
1 2
fx 1 +x 2  的值为 ( )
A. 4 B. 5 C. -5 D. 3
x2 y2
9.已知双曲线C:3x2-y2=3m2的一条渐近线l与椭圆E: + =1(a>b>0)交于
a2 b
A，B两点，若 F
1
F 2=|AB|，(F
1
,F
2
是椭圆的两个焦点)，则E的离心率为 ( )
5
A. 3-1 B. C. (-∞,1) D. (-∞,0)
2
10.已知抛物线y2=4x，弦AB过其焦点，分别过弦的端点A,B的两条切线交于点C，点
C到直线AB距离的最小值是 ( )
1 1
A. B. C. 2 D. 1
4 2
π
11.在 △ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 A = ，  3-1
10
 sinC =
π
2tanAsinC+
4
 ，则 ( )
A. c<b< 2c B. 2c<b< 3c
C. 3c<b<2c D. b>2c
12.已知函数f(x)=2x+2-x+cosx+x2，若a=f 2  1 ，b=f-ee  1 ，c=fππ  ，则 ( )
A. c<b<a B. a<c<b C. c<a<b D. b<c<a
第Ⅱ卷 (非选择题，共 90 分)
二、填空题 (本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分)
y≤x
 1
13.已知 x,y 满足线性约束条件 y-2x+2≥0 ，若 z = x + y，则 z 的最大值为
2
x≥0
．
14.若命题“∃x∈R，2x-a=0”为假命题，则实数a的取值范围为 ．
15.已知圆C :x2+y2=3，圆C :(x-1)2+(y-2)2=3，直线l:y=x+2．若直线l与圆C
1 2 1
交于A,B两点，与圆C 交于D,E两点，M,N分别为AB,DE的中点，则|MN|=
2
．
试卷第2页 共4页
{#{QQABIQAAggAgAIBAABgCUQGyCEEQkBECAKoOxAAEoAAByQFABAA=}#}16.已知长方体ABCD-A B C D 中，侧面BCC B 的面积为2，若在棱AD上存在一点
1 1 1 1 1 1
M，使得△MBC为等边三角形，则四棱锥 M-BCC B 外接球表面积的最小值为
1 1
.
三、解答题 (共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.（12分）
2023年12月25日，由科技日报社主办，部分两院院士和媒体人共同评选出的2023年
国内十大科技新闻揭晓．某高校一学生社团随机调查了本校100名学生对这十大科
技的了解情况，按照性别和了解情况分组，得到如下列联表：
不太了解 比较了解 合计
男生 20 40 60
女生 20 20 40
合计 40 60 100
(1)判断是否有95%的把握认为对这十大科技的了解存在性别差异；
(2)若把这100名学生按照性别进行分层随机抽样，从中抽取5人，再从这5人中随机
抽取2人，则这2人中至少有1人为女生的概率．
附：
nad-bc
①χ2=
 2
a+b  c+d  a+c  b+d 
，其中n=a+b+c+d；
②当χ2>3.841时有95%的把握认为两变量有关联．
18.（12分）
已知数列a n  的首项a = 3 ，且满足a = 3a n . 1 5 n+1 2a +1
n
1
(1)求证：数列 -1

a
n
 为等比数列；
1 1 1 1
(2)若 + + +⋯+ <2024，求满足条件的最大整数n.
a a a a
1 2 3 n
19.（12分）
在边长为a的正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，M、N分别为AB、
CF的中点，现沿AE、AF、EF折叠，使B、C、D三点重合，构成一个三棱锥B-
AEF，如图所示．
(1)在三棱锥B-AEF中，求证：AB⊥EF；
(2)求四棱锥E-AMNF的体积．
试卷第3页 共4页
{#{QQABIQAAggAgAIBAABgCUQGyCEEQkBECAKoOxAAEoAAByQFABAA=}#}20.（12分）
已知函数fx 
x
=ex-aln .
a
(1)若a=e，求fx

的极小值；
(2)若对任意的x∈0,+∞

和a∈0,+∞

，不等式fx

≥ka恒成立，求k的最大值.
21.（12分）
如图，已知曲线C 是以原点O为中心、F,F 为焦点的椭圆的一部分，曲线C 是以原
1 1 2 2
点O为中心，F,F 为焦点的双曲线的一部分，A是曲线C 和曲线C 的交点，且∠AF
1 2 1 2 2
F 为钝角，我们把曲线C 和曲线C 合成的曲线C称为“月蚀圆”．设A(2 2, 6),F(
1 1 2 1
-2,0),F(2,0).
2
(1)求曲线C 和C 所在的椭圆和双曲线的标准方程；
1 2
(2)过点F 作一条与x轴不垂直的直线，与“月蚀圆”依次交于B，C，D，E四点，记G
2
为CD的中点，H为BE的中点．问：
|CD|⋅HF 2
是否为定值？若是，求出此定值；若
|BE|⋅GF 2
不是，请说明理由.
请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题
号.
22.[选修 4 - 4: 坐标系与参数方程] (本小题满分 10 分)
x=3cosα+3sinα

在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 (α为参数)，以

y=cosα-sinα
原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为
π
ρsinθ-
4
 =2 2.
(1)求曲线C的普通方程及直线l的直角坐标方程；
(2)若A，B为直线l上距离为2的两动点，点P为曲线C上的动点，求△PAB面积的
最大值.
23.[选修 4 - 5: 不等式选讲] (本小题满分 10 分)
已知fx  =x+1+2x-2.
(1)求不等式fx

≤5-x的解集；
(2)令fx 
b2 a2
的最小值为M，若正数a,b满足a+b=2，求证： + ≥M.
a b
试卷第4页 共4页
{#{QQABIQAAggAgAIBAABgCUQGyCEEQkBECAKoOxAAEoAAByQFABAA=}#}