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绵阳南山中学高2021级高三下期绵阳三诊热身考试试题
数学 (文科)
命题人：宋玉贤 审题人：尹冰
第Ⅰ卷 (选择题，共 60 分)
一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的)
1.设集合A=x-20)在区间(0,π)恰有两个零点x 、x ，则
1 2
fx 1 +x 2 的值为 ( )
A. 4 B. 5 C. -5 D. 3
x2 y2
9.已知双曲线C:3x2-y2=3m2的一条渐近线l与椭圆E: + =1(a>b>0)交于
a2 b
A，B两点，若 F
1
F 2=|AB|，(F
1
,F
2
是椭圆的两个焦点)，则E的离心率为 ( )
5
A. 3-1 B. C. (-∞,1) D. (-∞,0)
2
10.已知抛物线y2=4x，弦AB过其焦点，分别过弦的端点A,B的两条切线交于点C，点
C到直线AB距离的最小值是 ( )
1 1
A. B. C. 2 D. 1
4 2
π
11.在 △ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 A = ， 3-1
10
sinC =
π
2tanAsinC+
4
，则 ( )
A. c2c
12.已知函数f(x)=2x+2-x+cosx+x2，若a=f 2 1 ，b=f-ee 1 ，c=fππ ，则 ( )
A. c3.841时有95%的把握认为两变量有关联．
18.（12分）
已知数列a n 的首项a = 3 ，且满足a = 3a n . 1 5 n+1 2a +1
n
1
(1)求证：数列 -1
a
n
为等比数列；
1 1 1 1
(2)若 + + +⋯+ <2024，求满足条件的最大整数n.
a a a a
1 2 3 n
19.（12分）
在边长为a的正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，M、N分别为AB、
CF的中点，现沿AE、AF、EF折叠，使B、C、D三点重合，构成一个三棱锥B-
AEF，如图所示．
(1)在三棱锥B-AEF中，求证：AB⊥EF；
(2)求四棱锥E-AMNF的体积．
试卷第3页 共4页
{#{QQABIQAAggAgAIBAABgCUQGyCEEQkBECAKoOxAAEoAAByQFABAA=}#}20.（12分）
已知函数fx
x
=ex-aln .
a
(1)若a=e，求fx
的极小值；
(2)若对任意的x∈0,+∞
和a∈0,+∞
，不等式fx
≥ka恒成立，求k的最大值.
21.（12分）
如图，已知曲线C 是以原点O为中心、F,F 为焦点的椭圆的一部分，曲线C 是以原
1 1 2 2
点O为中心，F,F 为焦点的双曲线的一部分，A是曲线C 和曲线C 的交点，且∠AF
1 2 1 2 2
F 为钝角，我们把曲线C 和曲线C 合成的曲线C称为“月蚀圆”．设A(2 2, 6),F(
1 1 2 1
-2,0),F(2,0).
2
(1)求曲线C 和C 所在的椭圆和双曲线的标准方程；
1 2
(2)过点F 作一条与x轴不垂直的直线，与“月蚀圆”依次交于B，C，D，E四点，记G
2
为CD的中点，H为BE的中点．问：
|CD|⋅HF 2
是否为定值？若是，求出此定值；若
|BE|⋅GF 2
不是，请说明理由.
请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题
号.
22.[选修 4 - 4: 坐标系与参数方程] (本小题满分 10 分)
x=3cosα+3sinα
在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 (α为参数)，以
y=cosα-sinα
原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为
π
ρsinθ-
4
=2 2.
(1)求曲线C的普通方程及直线l的直角坐标方程；
(2)若A，B为直线l上距离为2的两动点，点P为曲线C上的动点，求△PAB面积的
最大值.
23.[选修 4 - 5: 不等式选讲] (本小题满分 10 分)
已知fx =x+1+2x-2.
(1)求不等式fx
≤5-x的解集；
(2)令fx
b2 a2
的最小值为M，若正数a,b满足a+b=2，求证： + ≥M.
a b
试卷第4页 共4页
{#{QQABIQAAggAgAIBAABgCUQGyCEEQkBECAKoOxAAEoAAByQFABAA=}#}
