新高考“九省联考”19题压轴题汇编学生版(1)_2024年4月_01按日期_6号_2024届新结构高考数学合集_新高考19题（九省联考模式）数学合集140套_新高考“九省联考”19题压轴题汇编

新高考“九省联考”19 题压轴题汇编 一、集合新定义 1 (2023下·北京·高一校考开学考试)给定整数n≥3，由n元实数集合S定义其相伴数集T= a-b 1   ∣a､b∈S,a≠b  ，如果minT  =1，则称集合S为一个n元规范数集，并定义S的范数f为其中 所有元素绝对值之和. (1)判断A=-0.1,-1.1,2,2.5  、B=-1.5,-0.5,0.5,1.5  哪个是规范数集，并说明理由； (2)任取一个n元规范数集S，记m、M分别为其中最小数与最大数，求证：minS    + maxS    ≥n- 1； (3)当S=a ,a ,⋯,a 1 2 2023  遍历所有2023元规范数集时，求范数f的最小值. 注：minX  、maxX  分别表示数集X中的最小数与最大数. 2 (2024·全国·校联考模拟预测)已知有穷数列A:a ，a ，⋯，a (n≥3)中的每一项都是不大于n的 1 2 n 正整数.对于满足1≤m≤n的整数m，令集合Am  = k   a =m，k=1，2，⋯，n  k  .记集合A(m)中元 素的个数为s(m)(约定空集的元素个数为0). (1)若A:6，3，2，5，3，7，5，5，求A(5)及s(5)； 1 1 1 (2)若 + +⋯+ =n，求证：a ,a ,⋯,a 互不相同； 1 2 n s(a ) s(a ) s(a ) 1 2 n (3)已知a =a,a =b，若对任意的正整数i，j(i≠j，i+j≤n)都有i+j∈A(a)或i+j∈A(a)，求a +a 1 2 i j 1 2 +⋯+a 的值. n3 (2023上·北京海淀·高三北大附中校考阶段练习)已知T n 为所有n元有序数组a 1 ,a 2 ,⋅⋅⋅,a n 2  所组 成的集合.其中a∈0,1 i  (i=1,2,⋅⋅⋅,n). 对于T中的任意元素x=x 1 ,x 2 ,⋅⋅⋅,x n  ，y=y 1 ,y 2 ,⋅⋅⋅,y n  定义x，y的距离： dx,y  =x -y 1 1  +x -y 2 2  +⋅⋅⋅+x -y n n  . 若k∈N*，U为T 的子集，且有2k个元素，并且满足任意x∈T ，都存在唯一的y∈U，使得dx,y 5k 5k  ≤2， 则称U为“好k集”. (1)若a，b，c∈T 3 ，a=1,0,1  ，b=0,1,0  ，c=0,1,1  ，求da,a  ，da,b  及da,c  +db,c  的值； (2)当k=1时，求证：存在“好k集”，且“好k集”中不同元素的距离为5； (3)求证：当k>1时，“好k集”不存在. 4 (2024·江西南昌·南昌二中校联考模拟预测)已知Q:a ,a ,⋯,a 为有穷正整数数列，且a ≤a ≤⋯ 1 2 k 1 2 ≤a ，集合X=-1,0,1 k  ．若存在x∈X,i=1,2,⋯,k，使得x a +x a +⋯+x a =t，则称t为k-可表 i 1 1 2 2 k k 数，称集合T=t∣t=x a +x a +⋯+x a ,x∈X,i=1,2,⋯,k 1 1 2 2 k k i  为k-可表集． (1)若k=10,a=2i-1,i=1,2,⋯,k，判定31，1024是否为k-可表数，并说明理由； i (2)若1,2,⋯,n  3k-1 ⊆T，证明：n≤ ； 2 (3)设a=3i-1,i=1,2,⋯,k，若1,2,⋯,2024 i  ⊆T，求k的最小值．5 (2023上·北京·高一清华附中校考期中)对非空整数集合M及k∈N，定义M⊕k= m+t|m∈M,t=-k,-k+1,⋯,k 3  ，对于非空整数集合A，B，定义dA,B  = mink∈N|A⊆B⊕k,B⊆A⊕k  . (1)设M=2,4,6  ，请直接写出集合M⊕1； (2)设A=1,2,3,4,⋯,100  ，dA,B  =1，求出非空整数集合B的元素个数的最小值； (3)对三个非空整数集合A，B，C，若dA,B  =4且dB,C  =1，求dA,C  所有可能取值． 二、函数与导数新定义 6 (2024·全国·校联考模拟预测)“让式子丢掉次数”：伯努利不等式 伯努利不等式(Bernoulli'sInequality)，又称贝努利不等式，是高等数学的分析不等式中最常见的一种 不等式，由瑞士数学家雅各布·伯努利提出：对实数 x∈-1,+∞  ，在 n∈1,+∞  时，有不等式 1+x  n≥1+nx成立；在 n∈0,1  时，有不等式 1+x  n≤1+nx成立． (1)猜想伯努利不等式等号成立的条件； (2)当 n≥1时，对伯努利不等式进行证明； (3)考虑对多个变量的不等式问题．已知 a ,a ,⋯,a n∈N* 1 2 n  是大于-1的实数(全部同号)，证明 1+a 1  1+a 2  ⋯1+a n  ≥1+a +a +⋯+a 1 2 n7 (2024·全国·校联考模拟预测)悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．通 过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数chx 4  ex+e-x = 的图象，类比三角函数的三种性质：①平 2 方关系：①sin2x+cos2x=1，②和角公式：cosx+y  =cosxcosy-sinxsiny，③导数： sinx  =cosx, cosx    定义双曲正弦函数shx =-sinx,  ex-e-x = ． 2 (1)直接写出shx  ，chx  具有的类似①、②、③的三种性质(不需要证明)； (2)若当x>0时，shx  >ax恒成立，求实数a的取值范围； (3)求fx  =chx  -cosx-x2的最小值． 8 (2023下·北京昌平·高一统考期末)已知定义域为R的函数hx  满足：对于任意的x∈R，都有 hx+2π  =hx  +h2π  ，则称函数hx  具有性质P. (1)判断函数fx  =2x,gx  =cosx是否具有性质P；(直接写出结论) (2)已知函数fx  =sinωx+φ  3 5 <ω< ,φ 2 2  π  < 2  ，判断是否存在ω,φ，使函数fx  具有性质P？ 若存在，求出ω,φ的值；若不存在，说明理由； (3)设函数fx  具有性质P，且在区间 0,2π  上的值域为 f0  ,f2π    .函数gx  =sin fx    ，满足 gx+2π  =gx  ，且在区间0,2π  上有且只有一个零点.求证：f2π  =2π.9 (2024·河南·高三专题练习)离散对数在密码学中有重要的应用．设p是素数，集合X= 1,2,⋯,p-1 5  ，若u,v∈X,m∈N，记u⊗v为uv除以p的余数，um,⊗为um除以p的余数；设a∈X，1, a,a2,⊗,⋯,ap-2,⊗两两不同，若an,⊗=b n∈0,1,⋯,p-2    ，则称n是以a为底b的离散对数，记为n= log(p) b． a (1)若p=11,a=2，求ap-1,⊗； (2)对m ,m ∈0,1,⋯,p-2 1 2  ，记m ⊕m 为m +m 除以p-1的余数(当m +m 能被p-1整除时，m 1 2 1 2 1 2 1 ⊕m 2 =0)．证明：log(p) ab⊗c  =log(p) b⊕log(p) c，其中b,c∈X； a a (3)已知n=log(p) b．对x∈X,k∈1,2,⋯,p-2 a  ，令y =ak,⊗,y =x⊗bk,⊗．证明：x=y ⊗ynp-2 1 2 2  ,⊗． 1 10 (2024·全国·校联考模拟预测)设y=fx  是定义在R上的函数，若存在区间 a,b  和x ∈(a,b)， 0 使得y=fx  在[a,x 0 ]上严格减，在[x 0 ,b]上严格增，则称y=fx  为“含谷函数”，x 0 为“谷点”， a,b  称为y=fx  的一个“含谷区间”． (1)判断下列函数中，哪些是含谷函数？若是，请指出谷点；若不是，请说明理由： (i)y=2x  ，(ii)y=x+cosx； (2)已知实数m>0，y=x2-2x-mlnx-1  是含谷函数，且 2,4  是它的一个含谷区间，求m的取值 范围； (3)设p,q∈R，hx  =-x4+px3+qx2+4-3p-2q  x．设函数y=hx  是含谷函数， a,b  是它的一个 含谷区间，并记b-a的最大值为Lp,q  ．若h1  ≤h2  ，且h1  ≤0，求Lp,q  的最小值．11 (2024·江西南昌·南昌二中校联考模拟预测)定义：如果函数y=fx 6  和y=gx  的图像上分别 存在点M和N关于x轴对称，则称函数y=fx  和y=gx  具有C关系． (1)判断函数fx  =log 8x2 2  和gx  =log x是否具有C关系； 1 2 (2)若函数fx  =a x-1和gx  =-x-1不具有C关系，求实数a的取值范围； (3)若函数fx  =xex和gx  =msinxm<0  在区间0,π  上具有C关系，求实数m的取值范围． 12 (2024·江西南昌·南昌二中校联考模拟预测)若存在x 0 ∈D使得fx  ≤fx 0  对任意x∈D恒成 立，则称x 0 为函数fx  在D上的最大值点，记函数fx  在D上的所有最大值点所构成的集合为M (1)若fx  =-x2+2x+1,D=R，求集合M； (2)若fx  2x-x =  x ,D=R，求集合M； 4x (3)设a为大于1的常数，若fx  =x+asinx,D=0,b  ，证明，若集合M中有且仅有两个元素，则所有 满足条件的b从小到大排列构成一个等差数列．13 (2024·全国·校联考一模)关于x的函数fx 7  =lnx+2x-b(b>2)，我们曾在必修一中学习过 “二分法”求其零点近似值.现结合导函数，介绍另一种求零点近似值的方法--“牛顿切线法”. (1)证明：fx  有唯一零点a，且a∈1,b  ； (2)现在，我们任取x ∈(1,a)开始，实施如下步骤： 1 在 x 1 ,fx 1    处作曲线fx  的切线，交x轴于点x 2 ,0  ； 在 x 2 ,fx 2    处作曲线fx  的切线，交x轴于点x 3 ,0  ； ⋯⋯ 在 x n ,fx n    处作曲线fx  的切线，交x轴于点x n+1 ,0  ； 可以得到一个数列x n  ，它的各项都是fx  不同程度的零点近似值. (i)设x n+1 =gx n  ，求gx n  的解析式(用x 表示x )； n n+1 (ii)证明：当x 1 ∈1,a  ，总有x 0(n=1,2,3,⋯)，是否存在正实数M，使得对任意的正整数n，都有a ≤M？如果存在，写出 n n 一个满足条件的M；如果不存在，说明理由. 16 (2024·全国·校联考模拟预测)设正整数数列A:a ，a ，⋯，a (N>3)满足aa 的正整数对(i,j)有k个. i j (1)写出所有4的1减数列； (2)若存在m的6减数列，证明：m>6； (3)若存在2024的k减数列，求k的最大值.19 (2024·江西吉安·吉安一中校考一模)对于无穷数列{a }，“若存在a -a =tm,k∈N*,m>k n m k 10  ， 必有a -a =t”，则称数列{a }具有P(t)性质. m+1 k+1 n 2n(n=1,2) (1)若数列{a }满足a = n n 2n-5n≥3,n∈N*    ，判断数列{a n }是否具有P(1)性质？是否具有P(4)性 质？ (2)对于无穷数列{a }，设T={x|x=a-a,i2024. a i=1 i21 (2024·全国·校联考模拟预测)若项数为k(k∈N*，k≥3)的有穷数列{a }满足：0≤a