新高考“九省联考”19题压轴题汇编学生版(1)_2024年4月_01按日期_6号_2024届新结构高考数学合集_新高考19题（九省联考模式）数学合集140套_新高考“九省联考”19题压轴题汇编

新高考“九省联考”19 题压轴题汇编
一、集合新定义
1 (2023下·北京·高一校考开学考试)给定整数n≥3，由n元实数集合S定义其相伴数集T=
a-b
1
  ∣a､b∈S,a≠b  ，如果minT  =1，则称集合S为一个n元规范数集，并定义S的范数f为其中
所有元素绝对值之和.
(1)判断A=-0.1,-1.1,2,2.5  、B=-1.5,-0.5,0.5,1.5  哪个是规范数集，并说明理由；
(2)任取一个n元规范数集S，记m、M分别为其中最小数与最大数，求证：minS    + maxS    ≥n-
1；
(3)当S=a ,a ,⋯,a
1 2 2023
 遍历所有2023元规范数集时，求范数f的最小值.
注：minX  、maxX  分别表示数集X中的最小数与最大数.
2 (2024·全国·校联考模拟预测)已知有穷数列A:a ，a ，⋯，a (n≥3)中的每一项都是不大于n的
1 2 n
正整数.对于满足1≤m≤n的整数m，令集合Am  = k   a =m，k=1，2，⋯，n  k  .记集合A(m)中元
素的个数为s(m)(约定空集的元素个数为0).
(1)若A:6，3，2，5，3，7，5，5，求A(5)及s(5)；
1 1 1
(2)若 + +⋯+ =n，求证：a ,a ,⋯,a 互不相同；
1 2 n
s(a ) s(a ) s(a )
1 2 n
(3)已知a =a,a =b，若对任意的正整数i，j(i≠j，i+j≤n)都有i+j∈A(a)或i+j∈A(a)，求a +a
1 2 i j 1 2
+⋯+a 的值.
n3 (2023上·北京海淀·高三北大附中校考阶段练习)已知T n 为所有n元有序数组a 1 ,a 2 ,⋅⋅⋅,a n
2
 所组
成的集合.其中a∈0,1
i
 (i=1,2,⋅⋅⋅,n).
对于T中的任意元素x=x 1 ,x 2 ,⋅⋅⋅,x n  ，y=y 1 ,y 2 ,⋅⋅⋅,y n  定义x，y的距离：
dx,y  =x -y 1 1  +x -y 2 2  +⋅⋅⋅+x -y n n  .
若k∈N*，U为T 的子集，且有2k个元素，并且满足任意x∈T ，都存在唯一的y∈U，使得dx,y
5k 5k
 ≤2，
则称U为“好k集”.
(1)若a，b，c∈T 3 ，a=1,0,1  ，b=0,1,0  ，c=0,1,1  ，求da,a  ，da,b  及da,c  +db,c  的值；
(2)当k=1时，求证：存在“好k集”，且“好k集”中不同元素的距离为5；
(3)求证：当k>1时，“好k集”不存在.
4 (2024·江西南昌·南昌二中校联考模拟预测)已知Q:a ,a ,⋯,a 为有穷正整数数列，且a ≤a ≤⋯
1 2 k 1 2
≤a ，集合X=-1,0,1
k
 ．若存在x∈X,i=1,2,⋯,k，使得x a +x a +⋯+x a =t，则称t为k-可表
i 1 1 2 2 k k
数，称集合T=t∣t=x a +x a +⋯+x a ,x∈X,i=1,2,⋯,k
1 1 2 2 k k i
 为k-可表集．
(1)若k=10,a=2i-1,i=1,2,⋯,k，判定31，1024是否为k-可表数，并说明理由；
i
(2)若1,2,⋯,n 
3k-1
⊆T，证明：n≤ ；
2
(3)设a=3i-1,i=1,2,⋯,k，若1,2,⋯,2024
i
 ⊆T，求k的最小值．5 (2023上·北京·高一清华附中校考期中)对非空整数集合M及k∈N，定义M⊕k=
m+t|m∈M,t=-k,-k+1,⋯,k
3
 ，对于非空整数集合A，B，定义dA,B  =
mink∈N|A⊆B⊕k,B⊆A⊕k  .
(1)设M=2,4,6  ，请直接写出集合M⊕1；
(2)设A=1,2,3,4,⋯,100  ，dA,B  =1，求出非空整数集合B的元素个数的最小值；
(3)对三个非空整数集合A，B，C，若dA,B  =4且dB,C  =1，求dA,C  所有可能取值．
二、函数与导数新定义
6 (2024·全国·校联考模拟预测)“让式子丢掉次数”：伯努利不等式
伯努利不等式(Bernoulli'sInequality)，又称贝努利不等式，是高等数学的分析不等式中最常见的一种
不等式，由瑞士数学家雅各布·伯努利提出：对实数 x∈-1,+∞  ，在 n∈1,+∞  时，有不等式
1+x  n≥1+nx成立；在 n∈0,1  时，有不等式 1+x  n≤1+nx成立．
(1)猜想伯努利不等式等号成立的条件；
(2)当 n≥1时，对伯努利不等式进行证明；
(3)考虑对多个变量的不等式问题．已知 a ,a ,⋯,a n∈N*
1 2 n
 是大于-1的实数(全部同号)，证明
1+a 1  1+a 2  ⋯1+a n  ≥1+a +a +⋯+a 1 2 n7 (2024·全国·校联考模拟预测)悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．通
过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数chx
4

ex+e-x
= 的图象，类比三角函数的三种性质：①平
2
方关系：①sin2x+cos2x=1，②和角公式：cosx+y  =cosxcosy-sinxsiny，③导数：
sinx  =cosx,
cosx 

 定义双曲正弦函数shx
=-sinx,

ex-e-x
= ．
2
(1)直接写出shx  ，chx  具有的类似①、②、③的三种性质(不需要证明)；
(2)若当x>0时，shx  >ax恒成立，求实数a的取值范围；
(3)求fx  =chx  -cosx-x2的最小值．
8 (2023下·北京昌平·高一统考期末)已知定义域为R的函数hx  满足：对于任意的x∈R，都有
hx+2π  =hx  +h2π  ，则称函数hx  具有性质P.
(1)判断函数fx  =2x,gx  =cosx是否具有性质P；(直接写出结论)
(2)已知函数fx  =sinωx+φ 
3 5
<ω< ,φ
2 2

π
 <
2
 ，判断是否存在ω,φ，使函数fx  具有性质P？
若存在，求出ω,φ的值；若不存在，说明理由；
(3)设函数fx  具有性质P，且在区间 0,2π  上的值域为 f0  ,f2π    .函数gx  =sin fx    ，满足
gx+2π  =gx  ，且在区间0,2π  上有且只有一个零点.求证：f2π  =2π.9 (2024·河南·高三专题练习)离散对数在密码学中有重要的应用．设p是素数，集合X=
1,2,⋯,p-1
5
 ，若u,v∈X,m∈N，记u⊗v为uv除以p的余数，um,⊗为um除以p的余数；设a∈X，1,
a,a2,⊗,⋯,ap-2,⊗两两不同，若an,⊗=b n∈0,1,⋯,p-2    ，则称n是以a为底b的离散对数，记为n=
log(p) b．
a
(1)若p=11,a=2，求ap-1,⊗；
(2)对m ,m ∈0,1,⋯,p-2
1 2
 ，记m ⊕m 为m +m 除以p-1的余数(当m +m 能被p-1整除时，m
1 2 1 2 1 2 1
⊕m 2 =0)．证明：log(p) ab⊗c  =log(p) b⊕log(p) c，其中b,c∈X； a a
(3)已知n=log(p) b．对x∈X,k∈1,2,⋯,p-2
a
 ，令y =ak,⊗,y =x⊗bk,⊗．证明：x=y ⊗ynp-2
1 2 2
 ,⊗．
1
10 (2024·全国·校联考模拟预测)设y=fx  是定义在R上的函数，若存在区间 a,b  和x ∈(a,b)， 0
使得y=fx  在[a,x 0 ]上严格减，在[x 0 ,b]上严格增，则称y=fx  为“含谷函数”，x 0 为“谷点”， a,b 
称为y=fx  的一个“含谷区间”．
(1)判断下列函数中，哪些是含谷函数？若是，请指出谷点；若不是，请说明理由：
(i)y=2x  ，(ii)y=x+cosx；
(2)已知实数m>0，y=x2-2x-mlnx-1  是含谷函数，且 2,4  是它的一个含谷区间，求m的取值
范围；
(3)设p,q∈R，hx  =-x4+px3+qx2+4-3p-2q  x．设函数y=hx  是含谷函数， a,b  是它的一个
含谷区间，并记b-a的最大值为Lp,q  ．若h1  ≤h2  ，且h1  ≤0，求Lp,q  的最小值．11 (2024·江西南昌·南昌二中校联考模拟预测)定义：如果函数y=fx
6
 和y=gx  的图像上分别
存在点M和N关于x轴对称，则称函数y=fx  和y=gx  具有C关系．
(1)判断函数fx  =log 8x2
2
 和gx  =log x是否具有C关系；
1
2
(2)若函数fx  =a x-1和gx  =-x-1不具有C关系，求实数a的取值范围；
(3)若函数fx  =xex和gx  =msinxm<0  在区间0,π  上具有C关系，求实数m的取值范围．
12 (2024·江西南昌·南昌二中校联考模拟预测)若存在x 0 ∈D使得fx  ≤fx 0  对任意x∈D恒成
立，则称x 0 为函数fx  在D上的最大值点，记函数fx  在D上的所有最大值点所构成的集合为M
(1)若fx  =-x2+2x+1,D=R，求集合M；
(2)若fx 
2x-x
=
 x
,D=R，求集合M；
4x
(3)设a为大于1的常数，若fx  =x+asinx,D=0,b  ，证明，若集合M中有且仅有两个元素，则所有
满足条件的b从小到大排列构成一个等差数列．13 (2024·全国·校联考一模)关于x的函数fx
7
 =lnx+2x-b(b>2)，我们曾在必修一中学习过
“二分法”求其零点近似值.现结合导函数，介绍另一种求零点近似值的方法--“牛顿切线法”.
(1)证明：fx  有唯一零点a，且a∈1,b  ；
(2)现在，我们任取x ∈(1,a)开始，实施如下步骤：
1
在 x 1 ,fx 1    处作曲线fx  的切线，交x轴于点x 2 ,0  ；
在 x 2 ,fx 2    处作曲线fx  的切线，交x轴于点x 3 ,0  ；
⋯⋯
在 x n ,fx n    处作曲线fx  的切线，交x轴于点x n+1 ,0  ；
可以得到一个数列x n  ，它的各项都是fx  不同程度的零点近似值.
(i)设x n+1 =gx n  ，求gx n  的解析式(用x 表示x )； n n+1
(ii)证明：当x 1 ∈1,a  ，总有x <x <a. n n+1
14 (2023上·山东青岛·高一统考强基计划)若一个两位正整数m的个位数为4，则称m为“好数”.
(1)求证：对任意“好数”m,m2-16一定为20的倍数；
(2)若m=p2-q2，且p,q为正整数，则称数对p,q  为“友好数对”，规定：Hm 
q
= ，例如24=52-12，
p
称数对5,1  为“友好数对”，则H24 
1
= ，求小于70的“好数”中，所有“友好数对”的Hm
5
 的最大
值.三、数列新定义
15 (2024·全国·校联考模拟预测)已知无穷数列a
n
8
 满足a =maxa ,a
n n+1 n+2
 -mina ,a
n+1 n+2
 (n
=1,2,3,⋯)，其中max{x,y}表示x，y中最大的数，min{x,y}表示x，y中最小的数.
(1)当a =1，a =2时，写出a 的所有可能值；
1 2 4
(2)若数列a
n
 中的项存在最大值，证明：0为数列a
n
 中的项；
(3)若a >0(n=1,2,3,⋯)，是否存在正实数M，使得对任意的正整数n，都有a ≤M？如果存在，写出
n n
一个满足条件的M；如果不存在，说明理由.
16 (2024·全国·校联考模拟预测)设正整数数列A:a ，a ，⋯，a (N>3)满足a<a ，其中1≤i<j
1 2 N i j
≤N.如果存在k∈{2，3，⋯，N}，使得数列A中任意k项的算术平均值均为整数，则称A为“k阶平衡
数列”
(1)判断数列2，4，6，8，10和数列1，5，9，13，17是否为“4阶平衡数列”？
(2)若N为偶数，证明：数列A:1，2，3，⋯，N不是“k阶平衡数列”，其中k∈{2,3,⋯,N}
(3)如果a ≤2019，且对于任意k∈{2,3,⋯,N}，数列A均为“k阶平衡数列”，求数列A中所有元素之和
N
的最大值．17 (2024·广东·珠海市第一中学校联考模拟预测)若数列a
n
9
 满足：a ∈{0,1},n∈N*，且a =1，则
n 1
称a
n
 为一个X数列．对于一个X数列a
n
 ，若数列b
n

a
满足：b =1，且b =a - n+1
1 n+1 n 2
 b ,n∈N*，则
n
称b
n
 为a
n
 的伴随数列．
(1)若X数列a
n
 中，a =1,a =0,a =1，写出其伴随数列b
2 3 4 n
 中b ,b ,b 的值；
2 3 4
(2)若a
n
 为一个X数列，b
n
 为a
n
 的伴随数列
①证明：“a
n
 为常数列”是“b
n
 为等比数列的充要条件；
②求b 的最大值．
2023
18 (2024·安徽合肥·合肥一六八中学校联考模拟预测)已知数列A:a ,a ,⋯,a 为有穷正整数数列.
1 2 n
若数列A满足如下两个性质，则称数列A为m的k减数列：
①a +a +⋯+a =m；
1 2 n
②对于1≤i<j≤n，使得a>a 的正整数对(i,j)有k个.
i j
(1)写出所有4的1减数列；
(2)若存在m的6减数列，证明：m>6；
(3)若存在2024的k减数列，求k的最大值.19 (2024·江西吉安·吉安一中校考一模)对于无穷数列{a }，“若存在a -a =tm,k∈N*,m>k
n m k
10
 ，
必有a -a =t”，则称数列{a }具有P(t)性质.
m+1 k+1 n
2n(n=1,2)
(1)若数列{a }满足a = n n 2n-5n≥3,n∈N*


 ，判断数列{a n }是否具有P(1)性质？是否具有P(4)性
质？
(2)对于无穷数列{a }，设T={x|x=a-a,i<j}，求证：若数列{a }具有P(0)性质，则T必为有限集；
n j i n
(3)已知{a }是各项均为正整数的数列，且{a }既具有P(2)性质，又具有P(3)性质，是否存在正整数
n n
N，k，使得a ，a ，a ，⋯，a ，⋯成等差数列.若存在，请加以证明；若不存在，说明理由.
N N+1 N+2 N+k
20 (2024·江西抚州·临川一中校考一模)若各项为正的无穷数列a
n
 满足：对于∀n∈N*，a2 -a2
n+1 n
=d，其中d为非零常数，则称数列a
n
 为D数列.记b =a -a .
n n+1 n
(1)判断无穷数列a = n和a =2n是否是D数列，并说明理由；
n n
(2)若a
n
 是D数列，证明：数列b
n
 中存在小于1的项；
(3)若a
n

n 1
是D数列，证明：存在正整数n，使得 >2024.
a
i=1 i21 (2024·全国·校联考模拟预测)若项数为k(k∈N*，k≥3)的有穷数列{a }满足：0≤a <a <a
n 1 2 3
<⋅⋅⋅<a ，且对任意的i，j(1≤i≤j≤k)，a+a 或a-a 是数列{a }中的项，则称数列{a }具有性质P．
k j i j i n n
(1)判断数列0,1,2是否具有性质P，并说明理由；
(2)设数列{a }具有性质P，a(i=1，2，⋯，k)是{a }中的任意一项，证明：a -a 一定是{a }中的项；
n i n k i n
(3)若数列{a }具有性质P，证明：当k≥5时，数列{a }是等差数列．
n n
11四、圆锥曲线新定义
22 (2024上·浙江宁波·高三镇海中学校考期末)在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们
需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线C：y=fx
12


上的曲线段AB，其弧长为Δs，当动

点从A沿曲线段AB运动到B点时，A点的切线l 也随着转动到B点的切线l ，记这两条切线之间的
A B
夹角为Δθ(它等于l 的倾斜角与l 的倾斜角之差)．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就
B A
 Δθ
越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义K=
Δs


为曲线段AB的平均曲率；显
Δθ
然当B越接近A，即Δs越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义K=lim
Δs→0 Δs
 =
y

1+y2 
(若极限存在)为曲线C在点A处的曲率．(其中y＇，y＇＇分别表示y=fx
3
2
 在点A处的一
阶、二阶导数)
(1)求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率；
x2 1
(2)求椭圆 +y2=1在 3,
4 2
 处的曲率；
(3)定义φy 
2 2y
=

1+y

为曲线y=fx
3
 的“柯西曲率”．已知在曲线fx  =xlnx-2x上存在两点
P x 1 ,fx 1    和Q x 2 ,fx 2    ，且P，Q处的“柯西曲率”相同，求 3x + 3x 的取值范围． 1 223 (2024·江苏·徐州市第一中学校联考模拟预测)交比是射影几何中最基本的不变量，在欧氏几何
AC BD
中亦有应用．设A，B，C，D是直线l上互异且非无穷远的四点，则称 ⋅ (分式中各项均为有向
BC AD
线段长度，例如AB=-BA)为A，B，C，D四点的交比，记为(A,B;C,D)．
1
(1)证明：1-(D,B;C,A)= ；
(B,A;C,D)
(2)若l ，l ，l ，l 为平面上过定点P且互异的四条直线，L ，L 为不过点P且互异的两条直线，L 与l ，
1 2 3 4 1 2 1 1
l ，l ，l 的交点分别为A ，B ，C ，D ，L 与l ，l ，l ，l 的交点分别为A ，B ，C ，D ，证明：(A ,B ;C ,D
2 3 4 1 1 1 1 2 1 2 3 4 2 2 2 2 1 1 1 1
)=(A ,B ;C ,D )；
2 2 2 2
(3)已知第(2)问的逆命题成立，证明：若△EFG与△EFG的对应边不平行，对应顶点的连线交于同一
点，则△EFG与△EFG对应边的交点在一条直线上．
24 (2023上·北京昌平·高二昌平一中校考期中)在平面直角坐标系xOy中，定义Ax 1 ,y 1
13
 ，
Bx 2 ,y 2  两点间的“直角距离”为 ρA,B  =x -x 1 2  +y -y 1 2  .
(1)填空：(直接写出结论)
①若A1,-1  ,B2,3  ，则 ρA,B  = ；
②到坐标原点的“直角距离”等于1的动点的轨迹方程是 ；
③记到M(-1，0)，N(1，0)两点的“直角距离”之和为4的动点的轨迹为曲线G，则曲线G所围成的封闭
图形的面积的值为 ；
(2)设点A(1，0)，点B是直线 l:x- 2y+2=0上的动点，求ρ(A，B)的最小值及取得最小值时点B
的坐标；
(3)对平面上给定的两个不同的点Ax 1 ,y 1  ，Bx 2 ,y 2  ，是否存在点C(x，y)，同时满足下列两个条件：
①ρA,C  +ρC,B  =ρA,B  ；
②ρA,C  =ρC,B  .
若存在，求出所有符合条件的点的集合；若不存在，请说明理由.五、排列组合新定义
25 (2024·全国·校联考模拟预测)给定正整数N≥3，已知项数为m且无重复项的数对序列A：
x 1 ,y 1
14
 ,x 2 ,y 2  ,⋅⋅⋅,x m ,y m  满足如下三个性质：①x,y∈1,2,⋅⋅⋅,N i i  ，且x≠yi=1,2,⋅⋅⋅,m i i  ；②x =y i+1 i
i=1,2,⋅⋅⋅,m-1  ；③p,q  与q,p  不同时在数对序列A中.
(1)当N=3，m=3时，写出所有满足x =1的数对序列A；
1
(2)当N=6时，证明：m≤13；
(3)当N为奇数时，记m的最大值为TN  ，求TN  .
六、高等数学背景下新定义
a 1,1 a 1,2 ⋯ a 1,m

a a ⋯ a
26 (2024·全国·校联考模拟预测)已知A =  2,1 2,2 2,m
m  ⋮ ⋮ ⋱ ⋮

a a ⋯ a
m,1 m,2 m,m

(m≥2)是m2个正整数组成的
m行m列的数表，当1≤i<s≤m,1≤j<t≤m时，记da ,a
i,j s,t
 =a -a
i,j s,j
 +a -a
s,j s,t
 ．设n∈N*，
若A 满足如下两个性质：
m
①a ∈1,2,3;⋯,n
i,j
 (i=1,2,⋯,m;j=1,2,⋯,m)；
②对任意k∈1,2,3,⋯,n  ，存在i∈1,2,⋯,m  ,j∈1,2,⋯,m  ，使得a =k，则称A 为Γ 数表．
i,j m n
1 2 3

(1)判断A = 2 3 1 3 
3 1 2

是否为Γ 3 数表，并求da 1,1 ,a 2,2  +da 2,2 ,a 3,3  的值；
(2)若Γ 数表A 满足da ,a
2 4 i,j i+1,j+1
 =1(i=1,2,3;j=1,2,3)，求A 中各数之和的最小值；
4
(3)证明：对任意Γ 数表A ，存在1≤i<s≤10,1≤j<t≤10，使得da ,a
4 10 i,j s,t
 =0．a a
27 (2023上·北京海淀·高三中关村中学校考阶段练习)设数阵A = 11 12
0
a a
21 22
15
 ，其中a ,a ,a ,a ∈
11 12 21 22
1,2,3,4,5,6  ．设S=e ,e ,⋯,e
1 2 l
 ⊆1,2,3,4,5,6  ，其中e <e <⋯<e,l∈N*且l≤6．定义变换φ 为
1 2 l k
“对于数阵的每一行，若其中有k或-k，则将这一行中每个数都乘以-1；若其中没有k且没有-k，则这
一行中所有数均保持不变”k=e 1 ,e 2 ,⋯,e l  .φ sA 0  表示“将A 经过φ 变换得到A ，再将A 经过φ 变 0 e 1 1 e 1 2
换得到A 2 ,⋯以此类推，最后将A l-1 经过φ e l 变换得到A l ．记数阵A l 中四个数的和为T sA 0  ．
1 3
(1)若A = 0
3 6
 ,S=1,3  ，写出A 0 经过φ 1 变换后得到的数阵A 1 ，并求T sA 0  的值；
1 3
(2)若A = 0
3 6
 ,S=e ,e ,e 1 2 3  ，求T sA 0  的所有可能取值的和；
(3)对任意确定的一个数阵A 0 ，证明：T sA 0  的所有可能取值的和不超过-4．