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【新结构】江苏省南通市 2024 届新高考适应性调研试题
答案和解析
【答案】
1. B 2. A 3. D 4. D 5. D 6. B 7. B
8. A
9. BC 10. BD 11. ACD
12. 18
13. ；
14. 7
15. 解： 函数定义域为 ，
因为 是函数 的极值点，所以 ，解得 或 ，
因为 ，所以
此时
得 函数单调递增， 得 函数单调递减，
所以 是函数的极大值.
所以
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学科网（北京）股份有限公司若 ， ，
则函数 的单调增区间为
若 ， ，
因为 ， ，则 ，
由 ，结合函数的定义域，可得
由 ，可得
函数的单调增区间为 单调减区间为
综上可知：当 时，函数 在 上单调递增，无递减；
当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减.
16. 解： 前4局A都不下场说明前4局A都获胜，
故前4局A都不下场的概率为
的所有可能取值为0，1，2，3，4，
其中， 表示第1局B输，第4局是B上场，且B输，则 ；
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学科网（北京）股份有限公司表示第1局B输，第4局是B上场，且B赢；或第1局B赢，且第2局B输，
则 ；
表示第1局B赢，且第2局B赢，第3局B输，
则 ；
表示第1局B赢，且第2局B赢，第3局B赢，第4局B输，
则 ；
表示第1局B赢，且第2局B赢，第3局B赢，第4局B赢，
则
所以X的分布列为
X0 1 2 3 4
P
故X的数学期望为
17. 解： 证明：因为四边形ABCD为菱形，
所以 ，
因为平面 平面ABCD，平面 平面 ， 平面ABCD，
所以 平面PBD，
因为 平面PBD，故
设 ，则O为AC、BD的中点，
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学科网（北京）股份有限公司又因为 ，
所以 ，
又因为 平面PBD， 平面PBD，
所以 ，
因为 ，AC、 平面ABCD，
所以 平面ABCD，
所以 为PA与平面ABCD所成角，故 ，
由于四边形ABCD为边长为 ， 的菱形，
所以 ， ，
以点O为坐标原点，OA、OB、OP所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系：
则 ， ， ， ， ，
由 ，
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学科网（北京）股份有限公司得 ，且 ，
设平面BEC的法向量为 ，
则 ，
取 ，则 ， ，
所以 ，
又平面BCD的一个法向量为 ，
所以 ，
所以平面EBD与平面BCD的夹角的余弦值为
18. 解： Ⅰ 离心率为 ， ， ，
， ，则 ，
椭圆C的方程的方程为：
Ⅱ 由 Ⅰ 得 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司直线 ， 的方程分别为： ， ，
由 得 ，
，可得 ，
由 ，可得 ，
，可得 ， ，
，
直线MN的方程为： ，
，
可得直线MN过定点 ，故设MN的方程为： ，
由 得 ，
设 ， ，则 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司，
的面积 ，
令 ，则 ，
，且函数 在 递增，
当 ，s取得最小值
19. 解： 是 数表，
由题可知 .
当 时，有 ，
所以 .
当 时，有 ，
所以 .
所以
所以
或者 ，
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学科网（北京）股份有限公司或者 ，
或 ， 或 ，
故各数之和 ，
当 时，各数之和取得最小值 22 .
由于 数表 中共 100 个数字，
必然存在 ，使得数表中 k 的个数满足
设第 i 行中 k 的个数为
当 时，将横向相邻两个 k 用从左向右的有向线段连接，
则该行有 条有向线段，
所以横向有向线段的起点总数
设第 j 列中 k 的个数为 .
当 时，将纵向相邻两个 k 用从上到下的有向线段连接，
则该列有 条有向线段，
所以纵向有向线段的起点总数
所以 ，
因为 ，所以 .
所以必存在某个 k 既是横向有向线段的起点，又是纵向有向线段的终点，
即存在
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学科网（北京）股份有限公司使得 ，
所以 ，
则命题得证.
【解析】
1. 【分析】微信公众号：智慧学库
本题考查求百分位数，属于基础题.
根据百分位数的定义即可得到答案.
【解答】
解：因为 ，根据百分位数的定义可知，该数学成绩的第15百 分位数为第2个数据
故选：
2. 【分析】
本题考查双曲线的性质和离心率的知识点，属于基础题.
由题易知 ，根据公式 求出离心率的值.
【解答】
解：由题可知双曲线 的渐近线方程为 ，所以 ，
所以
故答案为
3. 【分析】
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学科网（北京）股份有限公司本题考查等差数列，属于基础题.
利用 即可求解.
【解答】
解：因为 ，
所以
故答案选：
4. 【分析】
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、
推理论证能力，属基础题．
根据相关定理或性质逐一判定即可得出结论.
【解答】
解：对于A，由面面平行的定义可得n与 没有公共点，即 ，故A正确；
对于B，如果 ， ，那么在 内一定存在直线 ，又 ，则 ，故B正确；
对于C，如果 ， ，那么根据线面平行的性质可得 ，故C正确;
对于D，如果 ， ，则 或 ，又 ，那么 与 可能相交，也可能平行，故D
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学科网（北京）股份有限公司错误.
故选
5. 【分析】
本题考查排列、组合的综合应用，属于中档题.
由6人平均分3个不同组，共 ! 种，排除甲在歌曲演唱小组，乙在歌曲诗歌创作小组的可能
结果即可.
【解答】
解：6人平均分3个不同组，共 ! 种，
甲在歌曲演唱小组，此时有 ! 种，
乙在歌曲诗歌创作小组，此时有 ! 种，
甲在歌曲演唱小组且乙在歌曲诗歌创作有 种，
故共有 种，
故选：
6. 【分析】
本题考查两直线平行的判定及其应用，考查充分、必要条件的判断，属于基础题.
根据两直线的位置关系、充分和必要条件的定义进行判断.
【解答】
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学科网（北京）股份有限公司解：当 时， ，解得 或 ，
经检验可知 或 都符合.
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：B
7. 【分析】
本题考查两角和的余弦公式、诱导公式的应用，考查三角函数的化简求值，属于基础题.
根据两角和的余弦公式和诱导公式化简求值即可.
【解答】
解：由 ，
可得 ，即 ，
得 ，
因为 ， ，
所以 ，
，
故选
8. 【分析】
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学科网（北京）股份有限公司本题考查双曲线中的面积问题，属于较难题.
由题意画出图，由已知求出c的值，找出 的坐标，由 的内切圆圆心分别为
，进行分析，由等面积法求出内切圆的半径，从而求出 的底和高，利用三角形的面积
公式计算即可.
【解答】
解：由题意如图所示：
由双曲线 ，知 ，
所以 ，
所以 ， ，
所以过 作垂直于x轴的直线为 ，
代入C中，解出 ，
由题知 的内切圆的半径相等，
且 ， 的内切圆圆心 的连线垂直于x轴于点P，
设为r，在 中，由等面积法得：
，
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学科网（北京）股份有限公司由双曲线的定义可知： ，
由 ，所以 ，
所以 ，
解得： ，
因为 为 的 的角平分线，
所以 一定在 上，即x轴上，令圆 半径为R，
在 中，由等面积法得：
，
又 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
，
所以
故选
9. 【分析】
本题考查了三角函数的性质，属于基础题.
直接利用相应性质的判断方法判断即可.
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学科网（北京）股份有限公司【解答】
解：函数定义域为R关于原点对称，
又 ，
是偶函数，故A正确；
当 时，
易判断 时，函数有3个零点，故C不正确；
当 时，函数单调递减，故B不正确；
显然 ， ，存在 使得 ， ，故 的最大值为2，故D正确.
10. 【分析】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于一般题．
由复数的模及复数的基本概念判断B与D；举例判断A与
【解答】
解：取 ， ，满足 ，但 ，，故A错误；
利用模的运算性质可知B正确；
取 ，则 ，但 ，故C错误；
设 ，
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学科网（北京）股份有限公司，
，
即 ，故D正确．
故选：
11. 【分析】
本题考查抽象函数的奇偶性、对称性及周期性，属于难题.
令 可判断A；若 为偶函数，令 ， 可得 ，与已知矛盾，从而可判断
B；取 ，得到 ，结合 为偶函数可判断C；由C可得 的周期为6，对
称轴为 ，从而可得 ，根据周期性可判断
【解答】解：令 ，可得 ，解得 ，故A正确；
若 为偶函数，令 ， ，可得 ，即 ，
则 ，解得 ，与 矛盾，故 不是偶函数，故B错误；
取 ，可得 ，化得 ，
则 或 ，
易知若 ，则 ，可得 恒成立，即 为奇函数.
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学科网（北京）股份有限公司因为 为偶函数，所以 ，
即 ，即
因为 ，所以 ，故C正确；
因为 ，所以 ，所以 的周期为
因为 ，所以 的对称轴为 ，
因为 ，所以 ， ， ，
， ，
所以
又 ，
所以 ，故D正确.
故选
12. 【分析】
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学科网（北京）股份有限公司本题考查集合的新定义问题，属于基础题.
根据 的定义即可求出集合中的元素，从而得出各元素之和．
【解答】
解：当 ；
当 ；
当 ；
当 ，
集合 ，
集合 所有元素的和为
故答案为：
13. 【分析】
本题考查双曲线的简单性质，以及几何体体积的计算，属于中档题.
过y轴任意一点作直线 ，交双曲线渐近线、双曲线于 、 ，计算内部圆形 绿色部分 和环带面
积 橙色部分 ，利用祖暅原理即可求解.
【解答】
解：
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学科网（北京）股份有限公司如图所示， ，
双曲线的一条渐近线方程为 ，设 ， ，
当 绕y轴旋转一周时，内部圆形面积 绿色部分 为 ，
所以线段BC旋转一周所得的图形的面积是 ，
外部橙色环带面积为 ，
此部分对应的体积等价于底面积为 ，高为 的圆柱，
所以几何体 的体积为 橙色部分 圆锥部分
故答案为 ；
14. 【分析】
本题考查集合的新定义，为难题.
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学科网（北京）股份有限公司【解答】
解：7阶中元素个数为7个，设为 ，则7阶的三元子集的集合个数为 ，
若要使得X中的任意两个不同的元素，都恰好同时包含在唯一的一个三元子集中，
不妨先挑选 ，则三元子集中不能包含：
，共12个剔除；
再从剩余三元子集中挑选 ，则剩余三元子集中不能包含：
，共8个剔除；
接着再在剩余三元子集中挑选 ，则此时剩余三元子集中不能包含： ，
共4个剔除;
接着再在剩余三元子集中挑选 ，则此时剩余三元子集中不能包含：
共3个剔除，
接着再在剩余三元子集中挑选 ，则此时剩余三元子集中不能包含：
，共1个剔除；
综上一共剔除28个，此时剩余 ，均符合题意.
则集合A中元素的个数为
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学科网（北京）股份有限公司15. 本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查函数的单调性，正确求导，合理分类是关键．
确定函数的定义域，求导函数，利用 是函数 的极值点，即可求a的值；
分类讨论，利用导数的正负，结合函数的定义域，可得函数的单调区间．
16. 本题考查相互独立事件的概率，以及离散型变量的分布列与均值，属于中档题.
根据相互独立事件的概率公式即可求解；
列出X的所有可能取值，根据相互独立事件的概率公式分布求解对应的概率从而可得分布列，再利用
期望公式求解即可.
17. 利用面面垂直的性质定理可得出 平面PBD，再利用线面垂直的性质可证得
设 ，推导出 平面ABCD，可得出 为PA与平面ABCD所成角，然后以点O
为坐标原点，OA、OB、OP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面
EBD与平面BCD的夹角的余弦值．
本题考查直线与平面的位置关系，二面角，解题关键是空间向量法的应用，属于中档题．
18. 本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，方程思想，转化思想，考查了运算能力，属于难题.
Ⅰ 由离心率为 ， ，列式计算a，b，即可得椭圆C的方程的方程.
Ⅱ 直线 ， 的方程分别为： ， ，由 得
，可得 ， ，同理可得
， ，直线MN的方程为： ，
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学科网（北京）股份有限公司，可得直线MN过定点 ，
故设MN的方程为： ，
由 得 ， ，即 的面
积 利用函数单调性即可求出面积最大值．
19. 本题考查数阵新定义问题，属于综合题.
根据题中条件可判断结果，根据题中公式进行计算即可；
根据条件讨论 的值，根据 ，得到相关的值，
进行最小值求和即可；
当 时，将横向相邻两个 k 用从左向右的有向线段连接，则该行有 条有向线段，得到横向有
向线段的起点总数，同样的方法得到纵向有向线段的起点总数，根据条件建立不等关系，即可证明.
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学科网（北京）股份有限公司
