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2017年第十五届小学“希望杯”全国数学邀请赛试卷（四年级
第1试）
每小题10分，共120分
1．（10分）计算：19×75+23×25＝ ．
2．（10分）定义新运算：a△b＝（a+b）×b，a□b＝a×b+b，如：1△4＝（1+4）×4＝20，1□4＝
1×4+4＝8，按从左到右的顺序计算：1△2□3＝ ．
3．（10分） 是三位数，若a是奇数，且 是3的倍数，则 最小是 ．
4．（10分）三个连续自然数的乘积是120，它们的和是 ．
5．（10分）已知x，y是大于0的自然数，且x+y＝150，若x是3的倍数，y是5的倍数，则（x，
y）的不同取值有 对．
6．（10分）如果8×（2+1÷x）＝18，则x＝ ．
7．（10分）观察以下的一列数：11，17，23，29，35，…若从第n个数开始，每个数都大于2017，
则n＝ ．
8．（10分）图中由20个方格组成，其中含有A的正方形有 个．
9．（10分）图中由12个面积为1的方格组成，则图中和阴影梯形面积相同的长方形有
个．
10．某学习小组数学成绩的统计图如图，该小组的平均成绩是 分．
第1页（共11页）11．今年，小军5岁，爸爸31岁，再过 年，爸爸的年龄是小军的3倍．
12．10个连续的自然数从小到大排列，若最后6个数的和比前4个数的和的2倍大15，则这
10个数中最小的数是 ．
13．如图，把一个边长是5cm的正方形纸片沿虚线分成5个长方形，然后按照箭头标记的方
向移动其中的4个长方形，则所得图形的周长是 cm．
14．在一个长方形内画三个圆，这个长方形最多可被分成 部分．
15．2017年3月19日是星期日，据此推算，2017年9月1日是星期 ．
16．观察7＝5×1+2，12＝5×2+2，17＝5×3+2，这里7，12和17被叫做“3个相邻的被5除余2
的数”，若有3个相邻的被5除余2的数的和等于336，则其中最小的数是 ．
17．甲，乙两人分别从A，B两地同时出发，相向而行，甲到达A，B中点C时，乙距C点还有
240米，乙到达C点时，甲已经超过C点360米，则两人在D点相遇时，CD的距离是
米．
18．洋洋从家出发去学校，若每分钟走60米，则它6：53到达学校，若每分钟走75米，则她6：
45到达学校，洋洋从家里出发的时刻是 ．
19．袋子中有黑白两种颜色的棋子，黑子的个数是白子的个数的2倍，每次从袋中同时取出3
个黑子和2个白子，某次取完后，白子剩下1个，黑子剩下31个，则袋中原有黑子
个．
20．有一笔钱，用来给四（1）班的学生每人买一个笔记本，若每本3元，则可多买6本；若每本
5元，则差30元．若用完这笔钱，恰好给每人买一个笔记本，则共买笔记本 个，其
中3元的笔记本 个．
第2页（共11页）2017 年第十五届小学“希望杯”全国数学邀请赛试卷
（四年级第 1 试）
参考答案与试题解析
每小题10分，共120分
1．（10分）计算：19×75+23×25＝ 200 0 ．
【分析】将75拆分成3×25，然后利用乘法的分配律，把后面的23加在一起，刚好是80×25
【解答】解：19×75+23×25
＝19×3×25+23×25
＝57×25+23×25
＝25×（57+23）
＝25×80
＝2000
故答案是：2000
【点评】本题考查了四则运算的巧算，本题突破点是：将75拆分成3×25，然后利用乘法的
分配律求出答案
2．（10分）定义新运算：a△b＝（a+b）×b，a□b＝a×b+b，如：1△4＝（1+4）×4＝20，1□4＝
1×4+4＝8，按从左到右的顺序计算：1△2□3＝ 2 1 ．
【分析】定义新运算需要理解题中给出的运算过程，△的运算是两数和再乘以第二个数的
积运算．□的运算是两数的积与第二个数的和运算．
【解答】解：依题意可知：
a△b＝（a+b）×b得1△2＝（1+2）×2＝6
a□b＝a×b+b得6□3＝3×6+3＝21
故答案为：21
【点评】本题的关键是找到新定义的符号的意义和运用．同时注意做题时的顺序是从左向
右的顺序计算，那么代表他们是同级运算．问题解决．
3．（10分） 是三位数，若a是奇数，且 是3的倍数，则 最小是 10 2 ．
【分析】要使 最小，那么百位数字最小是1，那么十位数字是0，这个数就为 ，然后
根据能被3整除的数的特征确定c的最小值即可．
第3页（共11页）【解答】解：要使 最小，那么百位数字最小是1，那么十位数字是0，这个数就为 ，
又因为 是3的倍数，所以可得：1+0+c的和是3的倍数，
所以，c最小是2，
则， 最小是102．
故答案为：102．
【点评】本题考查了能被3整除的数的特征的灵活应用，关键是确定百位和十位的数字．
4．（10分）三个连续自然数的乘积是120，它们的和是 1 5 ．
【分析】首先把120分解质因数，把质因数分作三组，使各组数字相乘后的结果是三个连续
的自然数，即可得解．
【解答】解：120＝2×2×2×3×5＝（2×2）×（2×3）×5，
2×2＝4，2×3＝6，5，
即，三个连续自然数的乘积是120，这三个数是4、5、6，
所以，和是：4+5+6＝15．
故答案为：15．
【点评】本题考查了灵活应用合数分解质因数来解决较复杂问题．
5．（10分）已知x，y是大于0的自然数，且x+y＝150，若x是3的倍数，y是5的倍数，则（x，
y）的不同取值有 9 对．
【分析】首先根据5的整除特性可知尾数是0或者5，那么150和5的倍数差依然是尾数是
0或者5的数字枚举即可．
【解答】解：根据5的整除特性可知尾数是0或者5．那么150减去这个数字尾数还是0或
者5．可以找到尾数是0或者5的数字是3的倍数．
30，60，90，120，15，45，75，105，135共9个数字满足条件．
对应的数字就有9对．
故答案为：9．
【点评】本题是考察数的整除特性，关键在于找到尾数是0或5的数字是3的倍数，枚举即
可解决问题．
6．（10分）如果8×（2+1÷x）＝18，则x＝ 4 ．
【分析】8×（2+1÷x）＝18运用逆推的方法，先用18除以8求出小括号里面算式的结果，再
减去2得到差，求出1÷x的结果，再用1除以求出的差，即可得到x的值．
【解答】解：8×（2+1÷x）＝18
2+1÷x＝18÷8
第4页（共11页）2+1÷x＝2.25
1÷x＝2.25﹣2
1÷x＝0.25
x＝1÷0.25
x＝4
故答案为：4．
【点评】解决本题根据加减法之间的互逆关系，以及乘除法之间的互逆关系，从结果向前
推算，得出x的值．
7．（10分）观察以下的一列数：11，17，23，29，35，…若从第n个数开始，每个数都大于2017，
则n＝ 33 6 ．
【分析】观察以下的一列数：11，17，23，29，35，…
可以看出规律是相邻的数：后面的比前面的大6；
求第n个数开始每个数都大于2017，则n＝．
【解答】解：11＝5+6×1
17＝5+6×2
23＝5+6×3
29＝5+6×4
…
第n个数＝5+6×n
所以有：5+6n＞2017
6n＞2012
n＞335…2
n＝336；
故答案为：336．
【点评】等差数列规律题，求第n项的数字．
8．（10分）图中由20个方格组成，其中含有A的正方形有 1 3 个．
【分析】按题意，可以分类讨论，只有一个方格的正方形，含有四个方格的正方形，含有九
第5页（共11页）个方格的正方形，含有16个方格的正方形，再数一下含有A的正方形即可得出结果．
【解答】解：根据分析， 只有一个方格的正方形且含有A的有：1个；
含有4个方格且含有A①的正方形有：4个；
②含有9个方格且含有A的正方形有：6个；
③含有16个方格且含有A的正方形有：2个；
④综上，含有A的正方形共有：1+4+6+2＝13个．
故答案是：13
【点评】本题考查了排列组合奇组合图形的计数，突破点是：分类讨论找到含有A的正方
形，算出个数的总数．
9．（10分）图中由12个面积为1的方格组成，则图中和阴影梯形面积相同的长方形有 1 0
个．
【分析】设小方格的边长是1，则梯形的上底是1，下底是2，高是2，根据梯形的面积公式，
求出阴影部分的面积是3，长方形是有3个小方格拼成的，再分别找出横看和竖看各有多
少个这样的长方形，再相加即可．
【解答】解：设小方格的边长是1，则梯形的面积是：
（1+2）×2÷2
＝3×2÷2
＝3
也就是长方形的面积是3；
1×1＝1，一个小方格的面积是1，那么长方形是有3个小方格拼成的，
竖着看每列都是3个小方格，一共有4列，所以有4个长方形符合要求；
横着看，每行前三个小方格可以组成1个面积是3的长方形，后3个小方格也可以组成面
积是3的长方形，所以每行都有2个面积是3的长方形；
横着一共是：3×2＝6（个）
4+6＝10（个）
答：图中和阴影梯形面积相同的长方形有 10个．
故答案为：10．
第6页（共11页）【点评】解决本题先设出方格的边长，得出阴影部分的面积，再找出与之面积相等的长方
形的个数即可．
10．某学习小组数学成绩的统计图如图，该小组的平均成绩是 9 0 分．
【分析】求出总分及相应的人数，即可求出相应的平均数．
【解答】解：由题意，该小组的平均成绩是（85×6+89×3+95×5+98×1）÷（6+3+5+1）＝90，
故答案为90．
【点评】本题考查平均数问题，考查学生的计算能力，正确求出总分及相应的人数是关键．
11．今年，小军5岁，爸爸31岁，再过 8 年，爸爸的年龄是小军的3倍．
【分析】根据“今年，小军5岁，爸爸31岁”求出父子的年龄差是（31﹣5）岁，由于此年龄
差不会改变，倍数差是3﹣1＝2，所以利用差倍公式，求出当父亲年龄是儿子年龄的3倍
时儿子的年龄，由此进一步解决问题．
【解答】解：父子年龄差是：31﹣5＝26（岁），
爸爸的年龄是小军的3倍时，
小军的年龄是：26÷（3﹣1）
＝26÷2
＝13（岁），
13﹣5＝8（年），
答：再过8年，爸爸的年龄是小军的3倍．
故答案为：8．
【点评】解答此题的关键是根据两人的年龄差不会随着时间的改变而变化，利用差倍公式
求出儿子相应的年龄，由此解决问题．差倍问题的关系式：数量差÷（倍数﹣1）＝1倍数（较
小数），1倍数（较小数）×倍数＝几倍数（较大数）．
12．10个连续的自然数从小到大排列，若最后6个数的和比前4个数的和的2倍大15，则这
10个数中最小的数是 6 ．
【分析】本题主要考察等差数列．
【解答】解：设最小的数为x，则剩余自然数依次为x+1，x+2，…，x+9，
由题可得2（4x+1+2+3）+15＝6x+4+5+6+7+8+9，
第7页（共11页）化简后是8x+27＝6x+39
∴x＝6，
【点评】本题可以借助列方程，设最小的数为x，一一用x表示其他连续自然数，根据等量
关系就可求解．
13．如图，把一个边长是5cm的正方形纸片沿虚线分成5个长方形，然后按照箭头标记的方
向移动其中的4个长方形，则所得图形的周长是 4 0 cm．
【分析】本题考察图形边长的平移．
【解答】解：画出移动后的图，
所得图形的周长是5×2+（5+1×2+2×2+3×2+4×2+5）＝10+30＝40cm．
【点评】本题主要抓住平移后的图形每条边边长为多少即可求解．
14．在一个长方形内画三个圆，这个长方形最多可被分成 1 5 部分．
【分析】在一个长方形内画三个圆，要使这个长方形被分成的部分最多，就要使圆与圆，圆
与长方形之间的交点尽量多，据此画图即可．
【解答】解：画图如下：
第8页（共11页）所以，这个长方形最多可被分成 15部分．
故答案为：15．
【点评】本题考查了图形的划分，关键是明确如何使交点尽量多．
15．2017年3月19日是星期日，据此推算，2017年9月1日是星期 五 ．
【分析】先求3月19日到9月1日经过了多少天，再求这些天里有几周，还余几天，再根据
余数判断．
【解答】解：3月19日到3月31日共：
31﹣19＝12（天）
4、6月30天，5、7、8月31天，一共：
30×2+31×3+12+1
＝60+93+13
＝166（天）
166÷7＝23（周）…5（天）
所以3月19日是星期日，9月1日是星期五．
答：2017年9月1日是星期五．
故答案为：五．
【点评】解决这类问题先求出经过的天数，再求经过的天数里有几周还余几天，再根据余
数推算．
16．观察7＝5×1+2，12＝5×2+2，17＝5×3+2，这里7，12和17被叫做“3个相邻的被5除余2
的数”，若有3个相邻的被5除余2的数的和等于336，则其中最小的数是 10 7 ．
【分析】本题主要考察等差数列中最小的项．
【解答】解：因为这三个数都是被5除余2，所以这三个相邻的数是个等差数列，
中间数是336÷3＝112，
所以最小的是112﹣5＝107．
【点评】本题主要找到每相邻两个数相差5就能解答．
17．甲，乙两人分别从A，B两地同时出发，相向而行，甲到达A，B中点C时，乙距C点还有
240米，乙到达C点时，甲已经超过C点360米，则两人在D点相遇时，CD的距离是
144 米．
【分析】由题目中的已知条件，得出甲乙的速度比，进而又得出他们的路程比，这样求出甲
到达中点后再与乙共行240米，甲行的路程即CD之间的距离．
【解答】解：由题意知“甲走360米时乙正好走240米”，甲、乙的速度比是360：240＝3：2
第9页（共11页）相同时间内，甲、乙的路程比等于他们的速度比即3：2
甲乙共行240米，甲行的路程是240×3÷（2+3）＝144（米）
故：CD的距离是144米．
【点评】解此题的突破口就是能得出他们的速度比，之后就可轻松解答了．
18．洋洋从家出发去学校，若每分钟走60米，则它6：53到达学校，若每分钟走75米，则她6：
45到达学校，洋洋从家里出发的时刻是 6 ： 1 3 ．
【分析】6时53分﹣6时45分＝8分钟，设从家到学校若每分钟走60米，x分钟到学校，则
若每分钟走75米，x﹣8分钟到学校，因为从家到学校的距离一定，根据“速度×时间＝路
程”列方程解答即可．
【解答】解：设从家到学校若每分钟走60米，x分钟到学校，
6时53分﹣6时45分＝8分钟
60x＝（x﹣8）×75
60x＝75x﹣600
15x＝600
x＝40；
6时53分﹣40分＝6时13分；
答：洋洋从家里出发的时刻是6：13．
故答案为：6：13．
【点评】此题考查列方程解应用题，本题关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为
x，由此列方程解决问题．
19．袋子中有黑白两种颜色的棋子，黑子的个数是白子的个数的2倍，每次从袋中同时取出3
个黑子和2个白子，某次取完后，白子剩下1个，黑子剩下31个，则袋中原有黑子 11 8
个．
【分析】因黑子个数是白子个数的2倍，可假设黑子每次取的个数也是白子的2倍，即黑子
每次2×2＝4个、白子每次取2个，则白子余1个时，黑子余2个．现每次黑子取少4﹣3＝1
个了，则黑子多出来的数量，除以应取和实取的差，就是取的次数．据此解答．
【解答】解：假设黑子每次取的个数也是白子的2倍，即黑子每次2×3＝6个、白子每次取3
个，则：
（31﹣1×2）÷（2×2﹣3）
＝29÷1
＝29（次）
第10页（共11页）3×29+31
＝87+31
＝118（个）
答：袋中原有黑子 118个．
故答案为：118．
【点评】本题的关键是根据黑子是白子个数的2倍，假设每次取黑子的个数是白子的2倍，
与实际取黑子的差，及实际取与假设取应剩下黑子的差，进行解答．
20．有一笔钱，用来给四（1）班的学生每人买一个笔记本，若每本3元，则可多买6本；若每本
5元，则差30元．若用完这笔钱，恰好给每人买一个笔记本，则共买笔记本 2 4 个，其中
3元的笔记本 1 5 个．
【分析】若每本3元，则多3×6＝18元，则总人数为（18+30）÷（5﹣3）＝24人，总钱数有
5×24﹣30＝90元，进而可得结论．
【解答】解：由题意得若每本3元，则多3×6＝18元，则总人数为（18+30）÷（5﹣3）＝24人，
总钱数有5×24﹣30＝90元，
若钱用完刚好买24本，则3元的笔记本有（24×5﹣90）÷（5﹣3）＝15个，
故答案为24，15．
【点评】本题考查分配盈亏问题，考查学生的计算能力，属于中档题．
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日期：2019/4/22 16:51:11；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800
第11页（共11页）
