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2017年第十五届小学“希望杯”全国数学邀请赛试卷（四年级
第2试）
一、填空题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．（5分）计算：1100÷25×4÷11＝ ．
2．（5分）有15个数，他们的平均数是17，加入1个数后，平均数变为20，则加入的数是
．
3．（5分）若 和 是两个三位数，且a＝b+1，b＝c+2， ×3+4＝ ，则 ＝ ．
4．（5分）已知a+b＝100，若a除以3，余数是2，b除以7，余数是5，则a×b的值最大是
．
5．（5分）如图所示，两个完全相同的等腰三角形中各有一个正方形，图乙中的正方形面积为
36平方厘米，则图甲中的正方形面积为 平方厘米．
6．（5分）边长为20的正方形的面积恰好等于边长为a和边长为b的两个正方形的面积的和，
若a和b都是自然数，则a+b＝ ．
7．（5分）今年是2017年，年份的数字和是10，则本世纪内，数字和是10的所有年份的和是
．
8．（5分）在纸上画2个圆，最多可得到2个交点，画3个圆，最多可得到6个交点，那么，如果
在纸上画10个圆，最多可得到 个交点．
9．（5分）小红带了面额50元，20元，10元的人民币各5张，6张，7张，她买的230元的商品，
那么，有 种付款方式．
10．（5分）甲、乙、丙三个数的和是2017，甲比乙的2倍少3，乙比丙的3倍多20，则甲是
．
11．（5分）篮球比赛中，三分线外投中一球可得3分，三分线内投中一球可得2分，罚蓝投中
一球得1分，某球队在一次比赛中共投进32个球，得65分，已知二分球的个数比三分球
的个数的4倍多3个，则这个球队在比赛中罚篮共投中 球．
12．（5分）在如图的乘法算式中，A、B、C、D、E、F、G、H、I分别表示彼此不同的一位数，则
“FIGAA”表示的五位数是 ．
第1页（共11页）二、解答题：每小题15分，共60分。每题都要写出推算过程。
13．（15分）甲、乙两人同时从A、B两地出发，相向而行，甲每分钟走70米，乙每分钟走60米，
两人在距离中点80米的地方相遇，求A、B两地之间的距离．
14．（15分）老师给学生水果，准备了两种水果，其中橘子的个数比苹果的个数的3倍多3个，
每人分2个苹果，则余下6个苹果；每人分7个橘子，最后一人只能分得1个橘子，求学生
的人数．
15．（15分）两个相同的正方形重合在一起，将上层的正方形向右移动3厘米，再向下移动5
厘米，得到如图所示的图形，已知阴影部分的面积是57平方厘米，求正方形的边长．
16．（15分）商店推出某新款手机的分期付款活动，有两种方案供选择．
方案一：第一个月付款800元，以后每月付款200元．
方案二：前一半的时间每月付款350元，后一半的时间每月付款150元．
两种方案付款总数与时间都相同，求这款手机的价格．
第2页（共11页）2017 年第十五届小学“希望杯”全国数学邀请赛试卷
（四年级第 2 试）
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．（5分）计算：1100÷25×4÷11＝ 1 6 ．
【分析】先算1100÷11÷25，得4，再算4×4
【解答】解：1100÷25×4÷11
＝1100÷11÷25×4
＝100÷25×4
＝4×4
＝16
故答案是：16
【点评】本题考查了乘除的混合运算，本题突破点：交换乘除数的位置，即可巧算出结果
2．（5分）有15个数，他们的平均数是17，加入1个数后，平均数变为20，则加入的数是 6 5
．
【分析】首先根据题意，可得：原来15个数的和是255（15×17＝255），后来16个数的和是
320（16×20＝320）；然后用后来16个数的和减去原来15个数的和，求出加入的数是多少
即可．
【解答】解：16×20﹣15×17
＝320﹣255
＝65
答：加入的数是65．
故答案为：65．
【点评】此题主要考查了平均数问题，要熟练掌握，解答此题的关键是求出原来15个数以
及后来16个数的和各是多少．
3．（5分）若 和 是两个三位数，且a＝b+1，b＝c+2， ×3+4＝ ，则 ＝ 96 4
．
【分析】显然a比c大3，a最小是3，b最小是2，c最小是0，而 ×3+4＝ ，d最大为
第3页（共11页）9，只有当a＝3时才满足题意，故可以求出 ．
【解答】解：根据分析，a＝b+1＝c+2+1＝c+3，又a、b、c均为一位数，
故a的最小值为3，b最小是2，c最小是0，
又∵ ×3+4＝ ，
∴d最大为9，此时a＝3，b＝2，c＝0即 ＝320，
则 ＝ ×3+4＝320×3+4＝964；
故答案是：964．
【点评】本题考查了最大与最小的知识，本题突破点是：根据已知确定a，b，c的最小值以
及d的最大值，从而可以求出结果．
4．（5分）已知a+b＝100，若a除以3，余数是2，b除以7，余数是5，则a×b的值最大是 249 1
．
【分析】要求a×b最大值，则要使a、b的差尽可能小，而两者的和一定，即可缩小范围，求
出最大值．
【解答】解：根据分析，a除以3，余数是2，b除以7，余数是5，可设a＝3m+2，b＝7n+5，
又∵a+b＝100，由于和不变，差小积大，则要求a与不得差尽可能小，
得a＝53，b＝47，
a×b＝53×47＝2491，此时a×b的值最大．
故答案是：2491．
【点评】本题考查了最大与最小，本题突破点是：根据最大最小的特征，和不变，差小积大，
故而可以求得最大值．
5．（5分）如图所示，两个完全相同的等腰三角形中各有一个正方形，图乙中的正方形面积为
36平方厘米，则图甲中的正方形面积为 3 2 平方厘米．
【分析】根据正方形的对角线性质及等腰直角三角形的性质作图如下：
将乙中的等腰直角三角形平均分成了4份，则三角形的面积是36÷2×4＝72平方厘米，图
甲将三角形平均分成了9个相同的小三角形，正方形占了4个，它的面积是三角形面积的
第4页（共11页），据此可求出正方形的面积是多少，据此解答．
【解答】解：如图：
三角形的面积：
36÷2×4
＝18×4
＝72（平方厘米）
图甲中正方形的面积：
72× ＝32（平方厘米）
答：图甲中的正方形面积为32平方厘米．
故答案为：32．
【点评】本题的重点是把等腰直角三角形平均分成若干份，再根据正方形占的份数进行解
答．
6．（5分）边长为20的正方形的面积恰好等于边长为a和边长为b的两个正方形的面积的和，
若a和b都是自然数，则a+b＝ 2 8 ．
【分析】按题意，边长为20的正方形的面积恰好等于边长为a和边长为b的两个正方形的
面积的和，即可列一个关系式，a2+b2＝20，再根据a和b都是自然数确定a和b的值．
【解答】解：根据分析，可以得到：a2+b2＝20，
∵a和b都是自然数，且32+42＝52 122+162＝202，
∴a＝12，b＝16∴a+b＝28． ⇒
故答案是：28．
【点评】本题考查了完全平方数性质，本题突破点是：根据完全平方数的性质和自然数的
条件，确定a和b的值，从而再求和．
7．（5分）今年是2017年，年份的数字和是10，则本世纪内，数字和是10的所有年份的和是
18396 ．
【分析】按题意，本世纪即：2000～2100之间找出数字和为10的数，然后再加起来即可，而
这些数百位均为0，可以从十位开始算起．
【解答】解：根据分析，在2000～2100数字中，由于千位为2，百位为0，十位与个位数字之
第5页（共11页）和等于8即可，故满足条件的有：
2008，2017、2026、2035、2044、2053、2062、2071、2080；
和为：2008+2017+2026+2035+2044+2053+2062+2071+2080＝18396．
故答案是：18396．
【点评】本题考查了数字问题，突破点是：确定千位和百位上的数字，只须确定十位与个位
上的数字和即可．
8．（5分）在纸上画2个圆，最多可得到2个交点，画3个圆，最多可得到6个交点，那么，如果
在纸上画10个圆，最多可得到 9 0 个交点．
【分析】当已经有n个圆时，再画一个圆，圆与其他n个圆的交点最多的情况是：这个圆与
其他每个圆都相交于两点．
【解答】解：递推分析：
画第1个圆，交点为0个，
画第2个圆，它与第1个圆交于两点，交点有0+2＝2个，
画第3个圆，它与前两个圆分别相较于两点，交点有0+2+4＝6个，
…
画第10个圆，它与前面9个圆分别交于两点，交点个数：0+2+4+6+…+18＝90个；
故本题答案为：90．
【点评】每两个圆之间交点最多的情况是两圆相交，交点最多为2个，本题也可以用排列组
合来解答：2× ＝90个．
9．（5分）小红带了面额50元，20元，10元的人民币各5张，6张，7张，她买的230元的商品，
那么，有 1 1 种付款方式．
【分析】要用50，20，10凑成230，用枚举法列举出所有方式．
【解答】解：根据50元面额由大到小的顺序，枚举出所有可能的组合，如下表：
面额 张数
50元 4 4 3 3 3 3 2 2 2 2 1
20元 1 0 4 3 2 1 6 5 4 3 6
10元 1 3 0 2 4 6 1 3 5 7 6
共有11种组合方式．
故本题答案为：11．
【点评】枚举法列举即可，注意避免遗漏，题目较简单．
第6页（共11页）10．（5分）甲、乙、丙三个数的和是2017，甲比乙的2倍少3，乙比丙的3倍多20，则甲是
1213 ．
【分析】乙比丙的3倍多20，那么乙数可以表示为丙数×3+20，甲比乙的2倍少3，那么甲数
就是丙数的2×3倍多20×3，那么三数的和就是丙数的1+2×3+3倍多（20×3﹣3），用三数的
和减去（20×3﹣3）得到丙数的（1+2×3+3）倍，进而求出丙数，从而得到乙数和甲数．
【解答】解：丙数：（2017﹣20×3+3）÷（1+2×3+3）
＝（2017﹣57）÷10
＝1960÷10
＝196，
乙数：196×3+20＝608，
甲数：608×2﹣3＝1213，
答：甲是1213．
故答案为：1213．
【点评】解决本题关键是通过代换，得出甲数是丙数的几倍多几，进而得出三数的和是丙
数的几倍多几，从而求出丙数，进而求解．
11．（5分）篮球比赛中，三分线外投中一球可得3分，三分线内投中一球可得2分，罚蓝投中
一球得1分，某球队在一次比赛中共投进32个球，得65分，已知二分球的个数比三分球
的个数的4倍多3个，则这个球队在比赛中罚篮共投中 4 球．
【分析】设三分球有x个，则两分球有（4x+3）个，一分球有（32﹣4x﹣3﹣x）个，各种球投中
的个数乘对应分数，表示出各种球的得分，再相加就是全部的得分65分，由此列出方程求
出3分球的个数，进而求出一分钱（罚篮）的个数．
【解答】解：设三分球有x个，则二分球有（4x+3）个，一分球有（32﹣4x﹣3﹣x）个，则：
3x+（4x+3）×2+（32﹣4x﹣3﹣x）＝65
x＝5
一分球有：
32﹣4×5﹣3﹣5＝4（球）
答：这个球队在比赛中罚篮共投中 4球．
故答案为：4．
【点评】解决本题先设出三分球的个数，再根据倍数关系表示出两分球的个数，再根据投
中球的个数表示出一分球的个数，然后根据乘法的意义分别得出3类球的得分数，再相加
得到总分65分，由此等量关系列出方程求解．
第7页（共11页）12．（5分）在如图的乘法算式中，A、B、C、D、E、F、G、H、I分别表示彼此不同的一位数，则
“FIGAA”表示的五位数是 1574 4 ．
【分析】首先找到题中的特殊情况，根据第一个乘积是三位数，尾数相同可以枚举排除，再
根据A和C确定B，然后就可以求解．
【解答】解：依题意可知：
A、B、C、D、E、F、G、H、I共9个数字，题中没有数字0．
再根据 结果是三位数，那么首位字母可以是C＝2，A＝4或者C＝3，A＝9不满足
三位数的条件．所以A＝4，C＝2．
再根据进位B＝9，E＝8．
根据E+H＝A＝4那么H＝6，A加上进位等于I＝5．所以D＝3，F＝1．
即：49×32＝15744．
故答案为：15744．
【点评】本题考查凑数谜的理解和运用，突破口就是字母C和第一个乘积是三位数限制了
百位数字不能太大，问题解决．
二、解答题：每小题15分，共60分。每题都要写出推算过程。
13．（15分）甲、乙两人同时从A、B两地出发，相向而行，甲每分钟走70米，乙每分钟走60米，
两人在距离中点80米的地方相遇，求A、B两地之间的距离．
【分析】甲乙在距中点80米处相遇，也就是甲比乙多行了80×2＝160（米），两人的速度差
是70﹣60＝10（米/分），那么用路程差除以速度差，求出相遇时间，再求出速度和，用相遇
时间乘速度和即可求出求A、B两地之间的距离．
【解答】解：（80×2）÷（70﹣60）
＝160÷10
＝16（分钟）
（70+60）×16
＝130×16
＝2080（米）
答：A、B两地之间的距离是2080米．
第8页（共11页）【点评】先根据两人的路程差与速度差求出相遇时间，再根据关系式“速度和×相遇时间
＝路程”解决问题；注意两人的路程差是2个80米．
14．（15分）老师给学生水果，准备了两种水果，其中橘子的个数比苹果的个数的3倍多3个，
每人分2个苹果，则余下6个苹果；每人分7个橘子，最后一人只能分得1个橘子，求学生
的人数．
【分析】本题可采用方程的方法进行解题．表示出题中的数量关系即可列出等式．
【解答】解：依题意可知：
设学生的人数为x人．则苹果的个数为2x+6个．橘子个数为7（x﹣1）+1个．
则可得：
（2x+6）×3+3＝7（x﹣1）+1
6x+21＝7x﹣6
x＝27
答：共有27个学生．
【点评】本题考查对盈亏问题的理解和运用，关键问题是列出等量关系，问题解决．
15．（15分）两个相同的正方形重合在一起，将上层的正方形向右移动3厘米，再向下移动5
厘米，得到如图所示的图形，已知阴影部分的面积是57平方厘米，求正方形的边长．
【分析】如图把阴影部分分成两个长方形，一个长方形的长是正方形的边长，宽是3厘米，
另一个长方形的长是正方形的边长减去3厘米，宽是5厘米，根据设正方形的边长是a，根
据长方形的面积公式分别表示出两个长方形的面积，再相加就是阴影部分的面积57，由
此列出方程求出正方形的边长．
【解答】解：设正方形的边长是a厘米，则：
第9页（共11页）3a+（a﹣3）×5＝57
3a+5a﹣15＝57
8a＝72
a＝9
答：正方形的边长是9厘米．
【点评】本题也可以这样求解：
将原正方形分成4块，先看第 、第 块的面积和与第 、第 块的面积和，因为正方形
四条边长相等，其关系只与5①厘米、④3厘米的两条边长相③关．所④以设第 、第 块的面积
和是5份，则第 、第 块的面积和则是3份，且得知（ + ）+（ +① ）＝④阴影部分面
积+ ＝57+3×5③＝72平④方厘米，总共是有5+3＝8份占7①2平④方厘米③，所④以一份是72÷8＝9
平方④厘米， + ＝5×9＝45平方厘米，所以正方形边长是45÷5＝9厘米．
16．（15分）商①店④推出某新款手机的分期付款活动，有两种方案供选择．
方案一：第一个月付款800元，以后每月付款200元．
方案二：前一半的时间每月付款350元，后一半的时间每月付款150元．
两种方案付款总数与时间都相同，求这款手机的价格．
【分析】显然两个方案中手机的价格相同，可以设付款的总时间为x，分别列出关系式，解
得再求手机的价格．
【解答】解：根据分析，设时间为x个月，则方案一中手机的费用为：800+（x﹣1）×200＝
200x+600（元）；
方案二中手机的费用为：350× x+150× x＝250x（元），因两种方案中手机的价格是一样
的，故有：
200x+600＝250x，解得：x＝12，故付款总价格为：250×12＝3000元．
故答案是：3000．
【点评】本题考查了利润利息和纳税的问题，本题的突破点是：利用两个方案中的价格相
同，求出手机的价格．
第10页（共11页）声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/4/22 16:51:02；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800
第11页（共11页）
