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重庆八中 2023——2024 学年度（下）期末考试高二年级
数 学 试 题
命题：胡文琦 严 傲 审核：苑繁宝 打印：严 傲 校对：曹华荣
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项
中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1.已知集合
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S = { x | − 4 x 1 } ，T ={x|−1x3}，则 S T =
A. { 0 ,1 , 2 } B. { x | − 1 x 1 } C. { x | − 4 x 3 } D. { x | − 1 x 4 }
2.函数 y = 3 e x + 1 的图象在点 ( 0 ,1 + 3 ) 处的切线的倾斜角为
A.
6
B.
4
C.
3
D.
2
1
3.设随机变量X ~ B(4, )，则
4
D ( 4 X + 1 ) =
A. 3 B. 4 C. 1 2 D.13
4.如图所示，太极图是由黑白两个鱼纹组成的图形图案，充分体现了相互转化、对称
统一的形式美、和谐美.定义：能够将圆 O 的周长和面积同时等分成两部分的函数称
为圆 O 的一个“太极函数”，则下列说法错误的是
A.对于任意一个圆，其“太极函数”有无数个
B.函数 f ( x ) = ta n x 可以是某个圆的“太极函数”
C.函数 f ( x ) = x
13
可以是某个圆的“太极函数”
D.y= f(x)是“太极函数”的充要条件为“y= f(x)的图象是中心对称图形”
5.过点 P ( − 1 ,1 ) 的直线 l 与圆 C : x 2 + y 2 + 4 x − 2 = 0 交于 A , B 两点，则 A B 的最小值为
A. 2 3 B. 6 C. 4 D.2
6.已知甲同学从学校的 4 个科技类社团， 3 个艺术类社团， 2 个体育类社团中选择报
名参加，若甲报名了两个社团，则在仅有一个是科技类社团的条件下，另一个是体育
类社团的概率
A.
3
5
2
B. C.
5
3
4
1
D.
2
7.已知 a =
3
2
, 3 b = 6 , c = lo g
5
8 ，则
A. c a b B.acb C. a b c D. b c a
x ex 1 −xex 2
8.若对任意的x ，x [−1,0)，x x ， 2 1 a恒成立，则a的最小值为
1 2 1 2 x −x
1 2
1 1 2 2
A.− B.− C.− D.−
e2 e e2 e
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项
中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分.有选错的得0分.
{#{QQABCYAEogigAJJAAAgCQQWYCAEQkBGACagOhBAMMAAAQBNABAA=}#}9.函数
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f ( x ) = a x 2 + 4 x + 1 与 g ( x ) = x a 在同一直角坐标系中的图象可能为
A. B.
C. D.
10.某科技企业为了对一种新研制的专利产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的
价格进行试销，得到如下数据：
单价 x （元） 40 50 60 70 80 90
销量y（件） 50 44 43 m 35 28
由表中数据，求得线性回归方程为 ˆy = − 0 .4 x + 6 6 ，则下列说法正确的是
A.产品的销量与单价成负相关
B.为了获得最大的销售额（销售额 = 单价 销量），单价应定为 7 0 元或 8 0 元
C. m = 4 0
1
D.若在这些样本点中任取一点，则它在线性回归直线左下方的概率为
3
11.已知各项均不为 0 的数列a 的前
n
n 项和为S ，且
n
a
1
= 1 , S
n
=
a
n
a
n +4 1
+ 1
，对于任意
n * , 2 n S
n
N 成立，则下列说法正确的是
A. a
2
= 3
B.数列 a
n
的通项公式为 a
n
= 4 n − 1
C. S
n
= n 2
9
D.实数的取值范围为 ,+
8
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知 g ( x ) = x 3 f ( x ) ，f(x)，g(x)的导函数分别为 f(x)，g(x)，且 f (1 ) = f (1 ) = 2 ，
则g(1)= .
13.已知 a ， b 均为实数且 a 0 ，b0， a + b = 3 ，则
a
1
+ 1
+
1
b
的最小值为 .
14.如图，为我国数学家赵爽验证勾股定理的示意图，用五种颜色（其中一种为
黄色）对图中四个区域A,B,C,E进行染色，每个区域只能用一种染色.若必须使
用黄色，则四个区域中有且只有一组相邻区域同色的染色方法有＿＿＿种；若
不使用黄色，则四个区域中所有相邻区域都不同色的染色方法有＿＿＿种.
{#{QQABCYAEogigAJJAAAgCQQWYCAEQkBGACagOhBAMMAAAQBNABAA=}#}四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）设数列
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{ a
n
} 是各项均为正实数的等比数列，且 a
3
− a
2
= 4 ， a
1
= 2 .
（1）求数列 { a
n
} 的通项公式；
（2）令 b
n
= a
n
+ lo g
2
a
n
，求数列{b }的前n项和
n
S
n
.
16.（15分）已知函数 f ( x ) = x + 1 ， g ( x ) = x 2 − 1 .
（1）若 a R ，求不等式 a f ( x ) + g ( x ) 0 的解集；
（2）若 b R ，对 x
1
1 , 2 ， x
2
4 , 5 ，使得bf (x )+ f (x )=g(x )+b+8成立，
1 2 1
求 b 的取值范围.
17.（15分）已知函数 f ( x ) = x e x .
（1）若关于 x 的方程 f(x)=k有且只有一个实数根，求实数k的取值范围；
（2）若关于 x 的不等式 f ( x ) + f (1 − x ) a 对 x [
1
2
, 2 ] 恒成立，求实数 a 的取值范围.
{#{QQABCYAEogigAJJAAAgCQQWYCAEQkBGACagOhBAMMAAAQBNABAA=}#}18.（17分）学校举行数学知识竞赛，分为个人赛和团体赛.
个人赛规则：每位参赛选手只有一次挑战机会.电脑同时给出2道判断题A,A （判断
1 2
对错）和
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4 道连线题（由电脑随机打乱给出的四个数学定理 B
1
, B
2
, B
3
, B
4
和与其相关的
数学家 b
1
, b
2
, b
3
, b
4
，要求参赛者将它们连线配对，配对正确一对数学定理和与其相关
的数学家记为答对一道连线题），要求参赛者全都作答，若有 4 道或 4 道以上答对，则
该选手挑战成功.
团体赛规则：以班级为单位，每班参赛人数不少于20人，且参赛人数为偶数，参赛
方式有如下两种可自主选择其中之一参赛：
方式一：将班级选派的2n个人平均分成n组，每组2人，电脑随机分配给同组两个人
一道相同试题，两人同时独立答题，若这两人中至少有一人回答正确，则该小组闯关
成功.若这 n 个小组都闯关成功，则该班级挑战成功.
方式二：将班级选派的 2 n 个人平均分成 2 组，每组 n 人，电脑随机分配给同组 n 个人
一道相同试题，各人同时独立答题，若这 n 个人都回答正确，则该小组闯关成功.若这
两个小组至少有一个小组闯关成功则该班级挑战成功.
（1）在个人赛中若一名参赛选手全部随机作答，求这名选手恰好答对一道判断题并
且配对正确两道连线题的概率.
（2）甲同学参加个人赛，他能够答对判断题 A
1
并且配对正确 B
1
与 b
1
，其余题目只能
随机作答，求甲同学挑战成功的概率.
（3）在团体赛中，假设某班每位参赛同学对给出的试题回答正确的概率均为常数
p ( 0 p 1 ) ，为使本班团队挑战成功的可能性更大，应选择哪种参赛方式？说明理由.
19.（17分）已知椭圆 C :
x
a
2
2
+
y
b
2
2
= 1 ( a b 0 )
3
经过点H 1,− ，离心率
2
e =
1
2
.
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）设过点 P ( 4 , 3 ) 倾斜角为 1 3 5 的直线 l 与x轴， y 轴分别交于点 M , N ，点 R 为椭
圆 C 上任意一点，求三角形 R M N 面积的最小值.
（3）如图，过点P(4,3)作两条直线 A B , C D 分别与椭圆C相交于点A,B,C,D，设直
线AD和BC相交于点 Q .证明点 Q 在定直线上.
{#{QQABCYAEogigAJJAAAgCQQWYCAEQkBGACagOhBAMMAAAQBNABAA=}#}
