2023-2024学年重庆八中高二年级（下）期末数学试卷答案_2024-2025高三（6-6月题库）_2024年07月试卷_240707重庆市（西南大学附属中学校&重庆八中）2023—2024学年高二下学期期末考试

重庆八中 2023——2024 学年度（下）期末考试高二年级 数学试题 一、单项选择题. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C C D C B A D 1.【详解】集合 S = { x | − 4  x 1 } ， T = { x | − 1  x  3 } ，则 S T = { x | − 1  x 1 } ．故选： B ． 2.【详解】根据题意，函数 y = 3 e x + 1 ，y= 3ex，当 x = 0 时，y= 3，所以函数 y = 3 e x + 1 在点 ( 0 ,1 + 3 ) 处的切线斜率为 3  ．故选： C ． 3.【详解】由题意得 D ( X ) = 4  3 4  1 4 = 3 4 ，故 D ( 4 X + 1 ) = 1 6 D ( X ) = 1 2 ． 故选： C ． 4.【详解】任意一个圆 O 是关于圆心的中心对称图形，其“太极函数”有 无数个，故A正确；函数 f(x)=tanx， f ( x ) = x 13 是奇函数，其图象关于原 点对称，将圆的圆心放在坐标原点上，则 f ( x ) = ta n x ， f ( x ) = x 13 是该圆的 “太极函数”，故 B , C 正确；函数 y = f ( x ) 的图象是中心对称图形，则 y= f(x)是“太极函数”，但函数 y= f(x)是“太极函数”时，图象不一 定是中心对称图形，如图，故D错误．故选： D ． 5【. 详解】将圆C:x2+y2+4x−2=0化为(x+2)2+y2 =6，圆心 C ( − 2 , 0 ) ，半径r = 6， 因为 ( − 1 + 2 ) 2 + 1 2  6 ，所以点 P ( − 1 ,1 ) 在圆 C 内，记圆心 C 到直线 l 的距离为 d ，则 A B = 2 6 − d 2 ， 由图可知，当 d = C P ，即 C P ⊥ l 时， A B 取得最小值，因为 C P = ( − 1 + 2 ) 2 + 1 2 = 2 ， 所以 A B 的最小值为2 6−2 =4.故选：C． 6.【详解】根据题意，设事件A为“所报的两个社团中仅有一个是 科技类”，事件B为“所报两个社团中有一个是体育类”， 则 P ( A ) = C 14C  C 29 15 = 5 9 ， P ( A B ) = C 14C C 29 12 = 2 9 P(AB) 2 ，则P(B|A)= = ．故选：B． P(A) 5 3 7.【详解】b=log 6与 比大小， 3 2 先比较6与 3 的大小，再比较62与33的大小. 62 33,ba. 32 {#{QQABCYAEogigAJJAAAgCQQWYCAEQkBGACagOhBAMMAAAQBNABAA=}#}c = l o g 5 8 与 3 2 比大小. 3 先比较8与 的大小，再比较 52 8 2 与 5 3 的大小， 8 2  5 3 , c  a .即 c  a  b ，选 A ． 8.【详解】因为 x 1  x 2 ，所以 x 1 − x 2  0 ，则 x 2 x e 1 x 1 − − x x e1 2 x2  a 可化为 x 2 e x1 − x e1 x2  a ( x 1 − x 2 ) ， 整理得 x 2 e x1 + a x 2  x e1 x2 + a x 1 ，因为xx 0，所以 1 2 e x x1 1 + a x 1  e x x2 2 + a x 2 ，令 f ( x ) = x e x + a x ， ex(x−1)−a 则函数 f (x)在−1,0)上递减，则 f(x)= 0在−1,0)上恒成立，所以 x2 e x ( x − 1 )  a 在  − 1 , 0 ) 上恒成立，令 g ( x ) = e x ( x − 1 ) ，则 g  ( x ) = e x ( x − 1 ) + e x = x e x  0 在  − 1 , 0 ) 上恒成立，则g(x)=ex(x−1)在  − 1 , 0 ) 上递减，所以 g ( x )  g ( − 1 ) = − 2 e ，故只 2 需满足：a− .故选： e D . 二、选择题: 题号 9 10 11 答案 A B C A C D A C D 9.【详解】对于 A ，二次函数开口向上，所以 a  0 ，此时 g ( x ) = x a 在 ( 0 , +  ) 为增函 数，符合； 对于 B ，二次函数开口向下，所以 a  0 ，此时存在 g ( x ) = x a 与图中符合； 对于 C ，二次函数开口向上，所以 a  0 ，此时 g ( x ) = x a 在 ( 0 , +  ) 为增函数，符合； 对于 D ，二次函数开口向上，所以 a  0 ，此时 g ( x ) = x a 在(0,+)为增函数，不符合． 故选： A B C ． 10.【详解】：由线性回归方程yˆ =−0.4x+66中的回归系数 − 0 .4  0 ， 可知产品的销量与单价成负相关，故A正确； 由 yˆ =−0.4x+66 ， 得 ˆa = 4 0 + 6 5  0 .4 = 6 6 ， 则 销 售 额 z = x ( − 0 .4 x + 6 6 ) = − 0 .4 ( x − 8 2 .5 ) 2 + 2 7 2 2 .5 ， 为了获得最大的销售额，单价应定为82.5元，故B错误； 由 表 中 数 据 得 x = 4 0 + 5 0 + 6 0 + 6 7 0 + 8 0 + 9 0 = 6 5 ， 50+44+43+m+35+28 200+m y = = ， 6 6 200+m 200+m 可得样本点的中心的坐标为(65, )，则该回归直线过点(65, )，代入 6 6 yˆ =−0.4x+66，得m=40 {#{QQABCYAEogigAJJAAAgCQQWYCAEQkBGACagOhBAMMAAAQBNABAA=}#}故 C 正确； 将x=40，50，60，70，80，90分别代入线性回归方程 ˆy = − 0 .4 x + 6 6 ， 得到的预测值分别为50，46，42，38，34，30， 由 4 4  4 6 ， 2 8  3 0 ，故(50,44)和(90,28)在线性回归直线的左下方，满足条件的样 2 1 本点只有2个，故所求概率为P= = ，故 6 3 D 正确．故选： A C D ． 11.【详解】当 n = 1 时，由 a 1 = 1 aa +1 及S = 1 2 ，解得a =3，故 1 4 2 A 正确 因为数列  a n  的前n项和为 S n ，且 a 1 = 1 , S n = a n a n +4 1 + 1 ，即4S =a a +1，当n2时， n n n+1 可得 4 S n − 1 = a n − 1 a n + 1 ， 两式相减得 4 a n = a n ( a n + 1 − a n − 1 ) ，因为 a n  0 ，故 a n + 1 − a n − 1 = 4 ，所以 a 1 , a 3 , , a 2 n − 1 , 及 a 2 , a 4 , , a 2 n , 均为公差为4的等差数列：当 n = 1 时，由 a 1 = 1 及 S 1 = a 1 a 24 + 1 ，解 得a =3，所以 2 a 2 n − 1 = 1 + 4 ( n − 1 ) = 2 ( 2 n − 1 ) − 1 ， a 2 n = 3 + 4 ( n − 1 ) = 2 ( 2 n ) − 1 ， 所以数列  a n  的通项公式为a =2n−1.故 n B 错误 由B知 a n = 2 n − 1 ，可得 S n = ( 2 n − 1 ) ( 2 4 n + 1 ) + 1 = n 2 ，故C正确； n2 因为对于任意nN*,2nS 成立，所以 恒成立， n 2n 设 b n = n 2 2 n ，则 b n + 1 − b n = ( n 2 +n 1+ 1 ) 2 − n 2 2 n = − n 2 + 2 n 2+ n1 + 1 ， n = 1 , 2 时， b n + 1 − b n  0 , b n  b n + 1 ， n  3 , n  N * 时，b −b 0,b b n+1 n n n+1 所以 b 1  b 2  b 3  b 4  b 5  9 ，故(b ) =b = ，所以 n max 3 8 9 8   ， 即实数的取值范围为  9 8 , +   ，故选：ACD． 三、填空题： 题号 12 13 14 答案 8 1 1 4 4 ; 8 4 12. 【详解】由函数 g ( x ) = x 3 f ( x ) ，可得 g ( x ) = 3 x 2 f ( x ) + x 3 f ( x ) ， 令x=1，可得 g (1 ) = 3 f (1 ) + f (1 ) = 8 ．故答案为： 8 ． 13.【详解】因为a+b=3，所以(a+1)+b=4， 1 1 1 1 1 所以 + = ( + )[(a+1)+b] a+1 b 4 a+1 b 1 b a+1 1 b a+1 = [2+ + ] [2+2  ]=1， 4 a+1 b 4 a+1 b {#{QQABCYAEogigAJJAAAgCQQWYCAEQkBGACagOhBAMMAAAQBNABAA=}#}b a+1 当且仅当 = ，即a=1,b=2 a+1 b 所以 a 1 + 1 + 1 b 的最小值为 1 ．故答案为： 1 ． 14.【详解】根据题意，要求四个区域A,B,C,E中有且只有一组相邻区域同色， 而同色的相邻区域共有4种，不妨假设为 A , B 同色， ①若 A , B 同时染黄色，则另外两个区域共有 A 24 种染色方法，因此这种情况共有 A2 =12种染色方法； 4 ②若A,B同时染的不是黄色，则它们的染色有 4 种，另外两个区域一个必须染黄色， 所以这两个区域共有32=6，因此这种情况共有 4  6 = 2 4 种染色方法． 综上可知有且只有一组相邻区域同色的染色方法的种数为 4  (1 2 + 2 4 ) = 1 4 4 种； 根据题意，因为不用黄色，则只有四种颜色可选， 分3种情况讨论： ①、若一共使用了四种颜色，则共有A4 =24种染色方法； 4 ②、若只使用了三种颜色，则必有一种颜色使用了两次，且染在相对的区域，所以一 共有 C 34  C 13  2  A 22 = 4 8 种染色方法； ③、若只使用了两种颜色，则两种颜色都使用了两次，且各自染在一组相对区域，所 以共有 C 24  2 = 1 2 种染色方法．综上可知所有相邻区域都不同色的染色方法的种数 为84种． 故答案为： 1 4 4 ; 8 4 ． 四、解答题： 15．【详解】 （1）设等比数列 { a n } 的公比为 q ， a 1 q 2 − a 1 q − 4 = 0 ， q 2 − q − 2 = 0 ， ( q + 1 ) ( q − 2 ) = 0 ， q = 2 或 q = − 1 ， a n  0 ， q = 2 ， a n = 2 n ．--------------6分 （ 2 ） b n = 2 n + lo g 2 2 n = 2 n + n ， S n = 2 1 + 1 + 2 2 + 2 + + 2 n + n = ( 2 + 2 2 + + 2 n ) + (1 + 2 + + n ) ， 2(1−2n) n(n+1) S = + ， n 1−2 2 S n = 2 n + 1 − 2 + n ( n 2 + 1 ) ．-------------13分 16．【详解】 （1）令 F ( x ) = a f ( x ) + g ( x ) = x 2 + a x + a − 1 = ( x + 1 ) ( x + a − 1 ) = 0 ，解得x=−1或1−a， ①当 a  2 时，−11−a，不等式的解集为  x − 1  x  1 − a  ，②当 a = 2 时，−1=1−a， 不等式的解集为，③当 a  2 时，−11−a，不等式的解集为 x1−a x−1 ．综 上所述：a2时，不等式的解集为 x −1x1−a ；a=2时，不等式的解集为； a2时，不等式的解集为 x1−a x−1 -------5分 （2）由bf (x )+ f (x )=g(x )+b+8， 1 2 1 {#{QQABCYAEogigAJJAAAgCQQWYCAEQkBGACagOhBAMMAAAQBNABAA=}#}代入整理得x =x2 −bx +6，令 2 1 1 G ( x ) = x 2 − b x + 6 = ( x − b 2 ) 2 + 6 − b 4 2 ， b ①当 1，即 2 b 2 时，对任意 x 1  [1 , 2 ] ， G ( x 1 )  [ 7 − b ， 1 0 − 2 b ]  [ 4 , 5 ] ． 所以  b 7 1 0 − 2 , b − 2 b 4 , 5 , 此时不等式组无解． ②当 1  b 2 3 2 ，即 2  b 3 时，对任意 x 1  [1 , 2 ] ， G ( x 1 )  [ 6 − b 4 2 ,1 0 − 2 b ]  [ 4 , 5 ] ． 所以  2 6 1 0  − − b 2 b 42 b 3 , 4 5 , , 解得 5 2 b 2 2 ． ③当 3 2  b 2  2 ，即 3  b  4 时，对任意 x 1  [1 , 2 ] ， G ( x 1 )  [ 6 − b 4 2 , 7 − b ]  [ 4 , 5 ] ． 所以  3 6 7  − − b b 4 b  2 5 4 , 4 , , 此时不等式组无解． ④当 b 2 2 ，即 b 4 时，对任意 x 1  [1 , 2 ] ， G ( x 1 )  [1 0 − 2 b ，7−b][4,5]． 所以  b 7 1 0 − 4 , b − 2 5 b , 4 , 此时不等式组无解． 综上，实数 b 的取值范围是 [ 5 2 , 2 2 ] ．------------------15分 17．【详解】（1） f ( x ) 的定义域为 R ，f(x)=(1+x)ex，又 e x  0 ，  当 x  − 1 时， f ( x )  0 ，则 f ( x ) 单调递减；当 x  − 1 时， f ( x )  0 ，则 f ( x ) 单调递增，即 f ( x ) 的 单调减区间为 ( −  , − 1 ) ，单调增区间为 ( − 1 , +  ) ；又 f ( 0 ) = 0 ，x0时 f ( x )  0 ， 1  1 f (−1)=− ，故k−  0,+)；-----------6分 e  e （2）设g(x)= f(x)+ f(1−x)， g ( x ) = f ( x ) − f (1 − x ) = (1 + x ) e x − ( 2 − x ) e 1− x 1 ，g(x)=(2+x)ex −(x−3)e1−x x 2， 2 1 1  g(x)0，g(x)单调递增，g(x)g   =0，g(x)在x  ,2  上单调递增， 2 2  1 g(x) =g( )= e，a e，即实数a的取值范围为(−， e]．----------15分 min 2 18．【详解】（1）记事件S为恰好答对一道判断题并且配对正确两道连线题， {#{QQABCYAEogigAJJAAAgCQQWYCAEQkBGACagOhBAMMAAAQBNABAA=}#}P ( S ) = 1 2  C A 2444 = 1 8 ------4分 （2）记事件A：甲同学挑战成功，则事件A包含以下几种情况： ①事件 B= “共答对四道”，即答对余下的判断题，答错两道连线题，则 P ( B ) = 1 2  C 13A  33 1 = 1 3 2 ， ②事件 C = “共答对五道”，即答错余下的判断题，答对余下的三道连线题，则 P ( C ) = 1 2  1 A 33 = 1 1 2 ， ③事件D= “共答对六道”，即答对余下的四道问题， P ( D ) = 1 2  1 A 33 = 1 1 2 ， 5 所以P(A)=P(B)+P(C)+P(D)= ；-----------10分 12 （3）设选择方式一、二的班级团队挑战成功的概率分别为 P 1 ， P 2 ． 当选择方式一时，因为两人都回答错误的概率为 (1 − p ) 2 ，则两人中至少有一人回答 正确的概率为 1 − (1 − p ) 2 ，所以P =[1−(1− p)2]n = pn(2− p)n， 1 当选择方式二时，因为一个小组闯关成功的概率为 p n ，则一个小组闯关不成功的概 率为1− pn， 所 以 P 2 = 1 − (1 − p n ) 2 = p n ( 2 − p n ) ， 所 以 P 1 − P 2 = p n ( 2 − p ) n − p n ( 2 − p n ) = p n [ ( 2 − p ) n + p n − 2 ] ， 构造 f(n)=(2− p)n + pn −2，则 f(n+1)− f(n)=(2− p)n+1+ pn+1−(2− p)n − pn = ( 2 − p ) n (1 − p ) + p n ( p − 1 ) = (1 − p ) [ ( 2 − p ) n − p n ] ，因为 0 p1 ，则 1 − p  0 ， 2 − p  1 ，可得 ( 2 − p ) n  1 ， p n  1 ，所以 f ( n + 1 ) − f ( n )  0 ，即 f ( n + 1 )  f ( n ) ，所 以 f ( n ) 单调递增， 又因为 f (2)=(2− p)2 + p2 −2=2p2 −4p+2=2(p−1)2 0，且 n 1 0 ，所以 f ( n )  0 ， 从而P −P 0，即 1 2 P 1  P 2 ，所以为使本班挑战成功的可能性更大，应选择方式一参 赛．---------------17分 19.【详解】（1）由题意，点 H (1 , − 3 2 ) 在椭圆 x a 2 2 + y b 2 2 = 1 1 9 上得，可得 + =1 ①， a2 4b2 又由 e = 1 2 c 1 ，所以 = ②， a 2 由①②联立且c2 =a2 −b2，可得c2 =1，a2 =4， b 2 = 3 ， x2 y2 故椭圆C的标准方程为 + =1．----------4分 4 3 （2） (i) 易知 l:y=−x+7 ， MN =7 2 ，设 l:y=−x+c ，联立 l 与 C 有 7x2 −8cx+4c2 −12=0，=64c2 −28 ( 4c2 −12 ) =0，解得c= 7（舍负），l到l的 {#{QQABCYAEogigAJJAAAgCQQWYCAEQkBGACagOhBAMMAAAQBNABAA=}#}距离 h 即为三角形 R M N 在 M N 边上高的最小值， h = 7 − 2 7 ，此时三角形 R M N 面积 的最小值 S △ R M N = 7 ( 7 − 2 7 ) = 4 9 − 2 7 7 --------10分 ( ii ) 设 A P P B  = ， A ( x 1 , y 1 ) ， B ( x 2 , y 2 ) ，则 4 3 x y 11 11 x y 2 2      = = + ++ + ，即 x y 1 1 x y 2 2 4 3 4 3      + + = = + + ，又 由 2 x 14 2 x 4 2 2 2 y 13 1 2 y 3 2 2 2     + + = = ， 得 x 21 4 2 x 2 2 y 21 3 2 y 2 2 1 2    − + − = − ， 整 理 得 ( x 1 y 1 ) ( x 2 y 2 ) 1    + − + = − ，再代入得 x 1 y 1 7 ( 1 ) ( x 1 y 1 ) 1   + −  + − +  = − ，即 x 1 y 1 4 3  + = + ，所以 y 1 x y 2 2 4 4 3 3 4 3 x 1 x 1 ( 4 3 x 1 ) x 1 1        = = = + + + − − − + − = − ，同理令 CP=PD ， C ( x 3 , y 3 ) ， D ( x 4 , y 4 ) y =4+3−x 3 3  ， 则 x =4+4−x ， 则 A(x,4+3−x ) ， 4 3 1 1  y =x −1  4 3 B 1 ( 4 4 x 1 ) , 1 ( x 1 1 )     + − −   1 1  ，C(x ,4+3−x )，D (4+4−x ), (x −1)  ， 3 3  3  3  则直线AD的方程为 ( 4 3 x 1 x 3 1 ) x ( 4 4 x 3 x 1 ) y      + − − + + + − − =−x 1 x 3 +x 1 +(16+16−4x 3 +12+12−3x 3 −4x 1 −4x 1 +x 1 x 3 ) 同理直线 BC 的 方程为 (4+3−x −x +1)x+(4+4−x −x )y 3 1 1 3 =−x x +x +(16+16−4x +12+12−3x −4x −4x +x x ) 两式相减， 3 1 3 1 1 3 3 3 1 整理得x+ y−1=0，即点Q在定直线x+ y−1=0上.------------17分 {#{QQABCYAEogigAJJAAAgCQQWYCAEQkBGACagOhBAMMAAAQBNABAA=}#}