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2024-2025 学年浙江省四校高二下学期 3 月联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在平面直角坐标系xOy中，直线l：x+√3 y+1=0的倾斜角为( )
π π 2π 5π
A. B. C. D.
6 3 3 6
x2 y2
2.已知双曲线 − =1(m>0)的焦距为6，则m为( )
m 4
A. 5 B. 2√5 C. √5 D. 32
3.圆 ： 与圆 ： 的位置关系是( )
C x2+ y2=4 C (x+1) 2+(y+2) 2=9
1 2
A. 内含 B. 内切 C. 外离 D. 相交
lim f(1+Δx)−f(1)
4.如果函数 在 处的导数为 ，那么 ( )
y=f(x) x=1 1 x→0 =
2Δx
1
A. 1 B. C. 2 D. 4
2
5.将3个相同的红球和3个相同的黑球装入三个不同的袋中，每袋均装2个球，则不同的装法种数为( )
A. 6 B. 7 C. 15 D. 90
6.三个非零向量 ⃗a ， ⃗b ， ⃗c 则“ ⃗a ， ⃗b ， ⃗c 共面”是“⃗ c=λ ⃗ a+μ ⃗ b(λ,μ∈R) ”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.2025年这个寒假，国产AI助手DeepSeek在全球掀起一场科技风暴．DeepSeek在训练模型时会用到对
n
数似然函数来优化参数．假设某模型的对数似然函数为 ，其中 是模型参数， 是
L(w)=∑ln(wx +1) w x
i i
i=1
输入特征，为了最大化L(w)，我们需要求解以下哪个方程( )
n n n n
A. 1 B. 1 C. w D. w
∑ =n ∑ =0 ∑ =0 ∑ =n
wx +1 wx +1 wx +1 wx +1
i=1 i i=1 i i=1 i i=1 i
8.已知 是椭圆 x2 y2 上的动点，若动点 到定点 的距离 的最小值为 ，则
Q M: + =1(0m>1，则C是椭圆
B. 若2>m>1，则C是焦点在x轴的椭圆
C. 若m<1，则C是焦点在y轴的双曲线
√2
D. 若m=3，则C是直线x=
2
π
10.在平行六面体ABCD−A B C D 中，已知AB=AD=A A ，∠A AB=∠A AD=∠BAD= ，点
1 1 1 1 1 1 1 3
P为平面ABCD上的动点，则( )
A. 四边形B BDD 为矩形
1 1
⃗ ⃗ 1 ⃗
B. A A 在 AC 上的投影向量为 AC
1 1 3 1
√6
C. 点B到直线AC 的距离为
1 3
π
D. 若直线D P与直线AB所成的角为 ，则点P的轨迹为双曲线
1 3
11.如果一个人爬台阶的方式只有两种，在台阶底部(第0级)从下往上走，一次上一级台阶或一次上两级台
阶，设爬上n级台阶的方法数为a ，则下列结论正确的有( )
n
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2 1A. 若用7步走完了10级台阶，则不同的走法有35种．
10
B.
∑a =231
i
i=1
C. a 是偶数
2025
D.
a2+a2+…+a2 =a a −1
1 2 2024 2024 2025
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列{a }为等比数列，a ·a ·a =216，则a =________．
n 1 3 11 5
13.阳春三月，草长莺飞；丝绦拂堤，尽飘香玉．三个家庭的3位妈妈带着3名女宝和2名男宝共8人踏春．
在沿行一条小溪时，为了安全起见，他们排队前进，三位母亲互不相邻照顾孩子；3名女宝相邻且不排最
前面也不排最后面；为了防止2名男宝打闹，2人不相邻，且不排最前面也不排最后面．则不同的排法种数
共有________种(用数字作答)．
14.已知 ， ，若对任意 ，都存在 ，使得
f(x)=lnx−ax g(x)=ex−ax x ∈(0,+∞) x ∈(0,+∞)
1 2
f(x )g(x )=x x ，则实数a的取值范围为________．
1 2 1 2
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
x−1
已知函数f(x)=lnx−a⋅ 的图象在点(1,f(1))处的切线与直线y=3平行，其中a为常数．
x+1
(1)求a的值；
求不等式 的解集．
(2) f(x2−1)b>0) e= (2,√3) l y=kx+m(m>0) C
1 a2 b2 2 1 2
相切且与椭圆 交于 ， 两点．
(x−1) 2+ y2=1 C A B
1
(1)求椭圆C 的方程；
1
(2)过原点O作l 的平行线l 交椭圆于C，D两点，若|AB|=λ|CD|，求λ的最小值．
1 2
19.(本小题17分)
已知函数y=f(x)的定义域为I，设x ∈I，曲线在点(x ,f(x ))处的切线交x轴于点(x ,0)，当n≥1时，
0 0 0 1
设曲线在点(x ,f(x ))处的切线交x轴于点(x ,0)，依次类推，称得到的数列{x }为函数y=f(x)关于
n n n+1 n
x 的“N数列”，已知f(x)=2x−ln(x+1)．
0
(1)求证：f(x)的图象与x轴有两个交点；
3
(2)若g(x)=f ′(x)，{a }是函数y=g(x)关于a =− 的“N数列”，记b =log |2a +1|．
n 0 4 n 2 n
①证明：数列{b }为等比数列，并求其通项公式；
n
记 √ n−1 ， ，证明： ．
② c = (n∈N❑∗) c +c +…+c <2√n
n (n+1)log (−b ) 1 2 n
2 n
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4 11.D
2.A
3.D
4.B
5.B
6.B
7.A
8.C
9.BC
10.ABD
11.ABD
12.6
13.288
1
14.[e+ ,+∞)
e
15.解： 1 x+1−(x−1) 1 2 ， a，
(1)f′ (x)= −a = −a ∴f′ (1)=1−
x (x+1) 2 x (x+1) 2 2
x−1
∵函数f(x)=lnx−a⋅ 在点(1,f(1))处的切线与直线y=3平行，
x+1
a
∴f′ (1)=1− =0，∴a=2．
2
x−1
(2)∵函数f(x)=lnx−a⋅ 的定义域为(0,+∞)，
x+1
由{x2−1>0可得 7 ，
x∈( ,+∞)
5x−7>0 5
1 4 (x−1) 2
∵f′ (x)= − = ≥0
x (x+1) 2 x(x+1) 2
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5 1∴f(x)在(0,+∞)上单调递增，
，
∵f(x2−1)0)，
⃗ 2 ⃗ 4 m
因为G为△PCD的重心，所以PG= PE，故G(0, , )，
3 3 3
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6 1⃗ 2 m ⃗ 4 m ⃗ ⃗
则DG=(2,− , )，AG=(0, , )，PB=(2,0,−m) ，BC=(0,2,0) ，
3 3 3 3
因为A在平面PCD内的射影恰好是△PCD的重心G，所以AG⊥平面PCD，
⃗ ⃗ 8 m2
所以AG⋅DG=0− + =0，解得m=2√2，
9 9
⃗ ⃗
所以PB=(2,0,−2√2) ，BC=(0,2,0) ，
设平面PBC的法向量为⃗n=(x,y,z)，
{ ⃗ ⃗
PB⋅n=0 { 2y=0
则 ，即 ，解得y=0，令z=1，得⃗n=(√2,0,1)，
⃗ ⃗ 2x−2√2z=0
BC⋅n=0
设直线DG与平面PBC所成角为θ，
⃗ ⃗
⃗ ⃗ |n⋅DG| 2√2
则sinθ=|cos|= = ，
⃗ ⃗ 3
|n||DG|
2√2
所以直线DG与平面PBC所成角的正弦值为 ．
3
{ e= c = √3
a 2
18.解：(1)由题意得 ，
4 3
+ =1
a2 4
解得a=4，b=2，
x2 y2
故C ： + =1；
1 16 4
{
y=kx+m
(2)联立 x2 y2 ，
+ =1
16 4
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7 1化简得(1+4k2 )x2+8kmx+4(m2−4)=0，
△>0恒成立，
设A(x ,y )，B(x ,y )，
1 1 2 2
8km
{x +x =−
1 2 1+4k2 4√16k2−m2+4
则 ，得|x −x |= ，
4(m2−4) 1 2 1+4k2
x x =
1 2 1+4k2
4√16k2−m2+4
∴|AB|=√1+k2
⋅ ，
1+4k2
把l ：y=kx代入C ：
x2
+
y2
=1，得x2=
16
，
2 1 16 4 1+4k2
8
∴|CD|=√1+k2
⋅ ，
√1+4k2
又直线l ：y=kx+m(m>0)与圆C ：(x−1) 2+ y2=1相切，
1 2
|m+k| 1−m2
则
=1化简得：k=
，
√k2+1 2m
|AB| √16k2−m2+4 1√ m2
∴λ= = = 4−
|CD| 2√1+4k2 2 1+4k2
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8 11√ m2 1√ m4 1√ 1 √6
= 4− = 4− = 4− ≥
2
1+4(
1−m2
) 2
2 m4−m2+1 2
(
1
−
1
) 2+
3 3 ，
2m m2 2 4
√2 √6
当m=√2,k=− 时，λ取最小值 ．
4 3
1 2x+1
19.解：(1)由题意知， f ′(x)=2− = ，
x+1 x+1
1 1
当 x∈(−1,− ),f ′(x)<0,f(x) 单调递减；当 x∈(− ,+∞),f ′(x)>0,f(x) 单调递增，
2 2
1
所以 f(x) =f(− )=−1+ln2<0 ，
min 2
1 1 1 2
因为 f( −1)=2( −1)−ln = >0 (或者：当 x>−1,x→−1 时， f(x)→+∞ )，
e2 e2 e2 e2
f(e−1)=2(e−1)−lne=2e−3>0 (或者： f(0)=0 )，
1 1
所以 f(x) 在 (−1,− ) 和 (− ,+∞) 上各有一个零点，
2 2
即 f(x) 的图象与 x 轴有两个交点．
1 2x+1
(2)① g(x)=f′ (x)=2− = ，
x+1 x+1
1
g′ (x)=
(x+1) 2
则在 处的切线斜率为
(a ,g(a ))
n n
g′(a )=
1 ，
n (a +1) 2
n
2a +1 1
所以在 (a ,g(a )) 处的切线方程为 y− n = (x−a ) ，
n n a +1 (a +1) 2 n
n n
令
y=0
，解得
a =a −(2a +1)(a +1)=−2a2−2a −1
，
n+1 n n n n n
所以
−(2a +1)=(2a +1) 2
，所以
b =log |2a +1|=2log |2a +1|=2b
，
n+1 n n+1 2 n+1 2 n n
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9 1即 b
n+1=2,b =2log |2a +1|=2log
1
=−2
，
b 1 2 0 22
n
所以 是以首项为 ，公比为 的等比数列，所以 ．
{b } −2 2 b =−2n
n n
由 √ n−1 √1 2 2 ，
② c = < = < =2(√n−√n−1)
n n(n+1) n √n+√n √n+√n−1
则 ．
c +c +⋅⋅⋅+c <2(√1−0)+2(√2−√1)+⋅⋅⋅+2(√n−√n−1)=2√n
1 2 n
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10 1
