文档内容
楚雄州春季学期高二年级第一次月考卷
数学
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应
题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区
域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：人教A版必修第一册，必修第二册，选择性必修第一册，选择性必修第二
册第四章~第五章第2节.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 数列 ， ， ， ， ，…的一个通项公式是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由前5项的共同属性写出一个通项公式.
【详解】数列前5项均为分数，其分子是从1开始的正奇数，分母比对应分子多2，
则第 项的分子为 ，对应的分母为 ，
所以 .
故选：B
2. 已知复数 ，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】【分析】先根据复数的除法运算求出复数 ，再根据复数的几何意义即可得解.
【详解】 ，
所以z在复平面内对应的点为 ，位于第二象限.
故选：B.
3. 已知 ， ，且 ，则向量 的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据数量积的运算律求出 ，再根据向量夹角的计算公式即可得解.
【详解】由 ，
得 ，
所以 ，
又 ，所以向量 的夹角为 .
故选：B.
4. 已知函数 ，则 （ ）
A. 729 B. 81 C. 27 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】由内向外，先计算 ，再算 即可.
【详解】因为 ，所以 .故选：C.
5. 已知数列 的前 项和为 ，若 ，则数列 的通项公式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据 和 的关系求解即可.
【详解】由 ，
当 时， ，
当 时， ，满足上式，
所以 .
故选：B.
6. 已知函数 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据复合函数的求导法则计算可得结果.
【详解】设 ，则 ，
∴ ，即 ，
∴ .
故选：D.7. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点 为椭圆 上一点，若 ，则
（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据椭圆的定义及余弦定理可求得结果.
【详解】由椭圆方程知， ， ， ，则 ，
由椭圆的定义知， ，又 ，
所以
，
.
故选：A
8. 在数列 中， ，数列 的前 项和为 ，若 ，则数列
的前 项和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先并项求和得 ，则可得 ，再由裂项相消法求和可得答案.【详解】因为 ，
所以 ，
所以数列 的前 项和 .
故选：D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 某高校无人机兴趣小组通过数学建模的方式测得了自主研发的无人机在关闭发动机的情况下自由垂直下
降的距离 （单位：m）与时间 （单位：s）之间满足函数关系 ，则（ ）
A. 在 这段时间内的平均速度为10m/s
B. 在 这段时间内的平均速度为12 m/s
C. 在 s时的瞬时速度为18 m/s
D. 在 s时的瞬时速度为16 m/s
【答案】BC
【解析】
【分析】应用平均速度计算判断A，B，应用导函数计算瞬时速度判断C，D.
【详解】在 这段时间内的平均速度为 m/s，故A
错误，B正确；
因为 ，所以 ，即在 s时瞬时速度为18m/s，故C正确，D错误.
故选:BC.
10. 已知正数 满足 ，则（ ）
A. B.C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】举出反例即可判断A；利用基本不等式即可判断B；利用消元法结合基本不等式即可判断C；根
据基本不等式在“1”的整体代换即可判断D.
【详解】对于A，当 时， ，故A错误；
对于B，由 ，得 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以有 ，故B正确；
对于C，由 ，得 ，
又 ，则 ，
由二次函数的性质可知，当 时， 有最小值 ，故C正确；
对于D， ，
当且仅当 ，即 时等号成立，故D正确.
.
故选：BCD
11. 给出定义：若函数 在 上可导，即 存在，且导函数 在 上也可导，则称 在
上存在二阶导函数，记 ．若 在 上恒成立，则称 在 上是“下凸函
数”．下列函数中在定义域上是“下凸函数”的是（ ）
A. B.C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用导数运算法则计算导函数与二阶导函数，根据题目所给定义可确定选项.
【详解】A. 定义域为 ， ， ，故A正确.
B. 定义域为 ， ， ，故B正确.
C. 定义域为 ， ， ，故C正确.
D. 定义域为 ， ， ，
当 时， ，故D错误.
故选：ABC.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在化学实验课上，某实验小组的8名同学利用微型天平测量某胆矾化合结晶物的质量，8名同学在测量
后得到的数据（单位：克）分别为：56，64，72，76，88，67，76，80，则这组数据的第70百分位数是
__________.
【答案】76
【解析】
【分析】由百分位数的概念及运算公式求解即可.
【详解】将数据从小到大排列为 ，由于 ，所以这组数据的第70
百分位数为76.
故答案为：76.
13. 已知函数 ，则曲线 在点 处的切线方程为______________.
【答案】
【解析】【分析】直接求导代入 得 ，再求出切点和斜率即可得到切线方程.
【详解】由题： ，所以 ，
，所以 ，所以 ， ， ， ，
所以切线方程为 ，即 .
故答案为：
14. 已知函数 在区间 内恰有3个零点，则 的取值范围是
______．
【答案】
【解析】
【分析】由三角恒等变换将函数 化简，再由正弦函数的图像性质可得 ，代入计
算，即可求解.
【详解】因为
，
当 时， ，
由于函数 在区间 内恰有3个零点，
则有 ，解得 ，所以 的取值范围是 .
故答案为：
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知数列 是首项为1的等差数列，数列 是公比为3的等比数列，且 ．
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 ．
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】（1）将题干中的两个方程含有的项都用基本量来表示，根据方程组可解得公差 和首项 ，进
而得通项公式；
（2）根据分组求和的方法，结合等差数列前 项和公式，等比数列前 项和公式计算即可.
【小问1详解】
由题意，设等差数列 的公差为 ，因为 ，
所以 ，解得 ，
.
因此， ，
【小问2详解】16. 已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 的周长为 ．
（1）求角B的大小；
（2）已知 ， ，求 的面积．
【答案】（1） ；
（2）
【解析】
【分析】（1）先由正弦定理角化边，然后再用余弦定理求解；
（2）先求 ，再根据正弦定理求出 ，最后再代入面积公式即可.
【小问1详解】
由题意得 ，
由正弦定理得： ，
所以 ，
所以 ，又
所以 .
【小问2详解】易知角 为锐角，所以 ，
，
由正弦定理 ，
所以 .
17. 如图，在直三棱柱 中， 为 的中点．
（1）求证：直线 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用中位线性质以及线面平行判定定理证明可得结论；
（2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法计算可得结果.
【小问1详解】
证明：设 ，连接 ，在直三棱柱 中，四边形 是平行四边形，所以 是 的中点，
又 为 的中点，所以 .
又 平面 ， 平面 ，
所以直线 平面 .
【
小问2详解】
在直三棱柱 中， 平面 ，
又 ， 平面 ，所以 ， ，
又 ，
所以以 为原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
因为 ， ， ，所以 ，
则 ， ， ， ， ，
， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 1，得 ， ，
所以平面 的一个法向量为 ，又 ，设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，
即直线 与平面 所成角的正弦值为 .
18. 已知双曲线 ： （ ， ）的离心率是 ，焦距为6.
（1）求 的方程；
（2）若直线 ： 与 相交于 ， 两点，且 （ 为坐标原点），求 的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）依题意求出 、 ，即可求出 ，从而求出方程；
（2）设 ， ，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，再根据数量积的坐标表
示得到方程，代入 ， 求出 的值.
【小问1详解】
因为双曲线 ： （ ， ）的离心率是 ，焦距为6，
所以 ， ，其中 ，解得 ， ，
所以 .所以 的方程为 .
【小问2详解】
设 ， ，
联立方程 消去 得 ，
因为直线 ： 与 相交于 ， 两点，
所以 ，即 且 ，
由韦达定理得 ， ，
又 ， ，
所以 ，
所以 ，
将韦达定理代入上式，得 ，
即 ，解得 ，满足 且 .19. 若数列 满足 ，则称数列 具有性质 ．
（1）若数列 具有性质 ，且 ，求 的值；
（2）若 ，求证：数列 具有性质 ；
（3）设各项都为正数的数列 的前 项和为 ，且 ，数列 具有性质 ，
其中 ，若 ，求正整数 的最小值．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）9
【解析】
【分析】（1）由 ，且数列 具有性质 ，进而得出 的值；
（2）证明 为常数，即可得出结论；
（3）求出数列 的通项公式，可得出 ，再求出数列 的通项公式，利用 ，求正整数 的取值范围即可得解.
【小问1详解】
由 得，
根据题意，数列 具有性质 ，
由 ，所以 ，故 .
【小问2详解】
，故
(常数)
故数列 具有性质 .
【小问3详解】
因为 ，
所以当 时， ，
两式相减得， ，
即 ，
由数列 各项都为正数，可得 ，
即 ，
又 ，解得 ，
所以数列 是以1为首项，2为公差的等差数列，
所以 ，
所以 ，得 ，
因为数列 具有性质 ，所以 成等比数列，
故 ，
于是 ，即 ，其中
，即 ，
，由 知 ，
①若 为偶数，则 ，即 ；
②若 为奇数，则 ，即 ；
综上①②可得， 的最小值为 .
【点睛】关键点点睛：第三问中，需要由 的关系求通项公式，还需要会对 形式的数列
构造等比数列求通项公式，对能力要求比较高.
