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2025-2026 学年内蒙古自治区鄂尔多斯市第一中学高二上学期 12 月月
考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若方程x2+ y2−2x−m=0表示圆，则m的范围是( )
A. (−∞,−1) B. [−1,+∞) C. (−1,+∞) D. (−∞,−1]
2.已知圆 截直线 所得线段的长度是 ，则圆 与圆
M:x2+ y2+2ax=0(a>0) x+ y=0 2√2 M
的位置关系是( )
N:(x+6) 2+(y−3) 2=9
A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 相离
3.直线l :y=x+a和l :y=x+b将单位圆C:x2+ y2=2分成长度相等的四段弧，则a2+b2=( )
1 2
A. √2 B. 2 C. 3 D. 4
4.已知椭圆 x2 的右焦点为 ，点 在 上，点 到直线 4√3的距离为√3，则
C: + y2=1(a>0) F(√3,0) P C P x=
a2 3 3
|PF|=( )
1 1 √3
A. B. C. D. 1
3 2 2
5.若圆 与圆 外切，则 ( )
C :x2+ y2=1 C :x2+ y2−6x−8 y+m=0 m=
1 2
A. 9 B. 11 C. 19 D. 21
6.已知圆 和两点 ，若圆 上存在点 ，使得
C:(x−4) 2+(y+3) 2=4 A(−a,0),B(a,0)(a>0) C P
∠APB=90°，则a的最大值为( )
A. 3 B. 5 C. 7 D. 9
7.若双曲线经过点 ，且它的两条渐近线方程是 ，则双曲线的离心率是( )
(−√3,6) y=±3x
10 √10
A. B. 10 C. D. √10
3 3
8.若{
e
⃗
,e
⃗
,e
⃗}是空间向量中的一个基底，那么对任意一个空间向量 ⃗a，存在唯一的有序实数组 (x,y,z) ，
1 2 3
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1 1使得⃗
a=xe
⃗
+ ye
⃗
+ze
⃗，我们把有序实数组(x,y,z)叫做基底{
e
⃗
,e
⃗
,e
⃗}下向量⃗a的斜坐标．设向量⃗p在
1 2 3 1 2 3
基底{⃗
a,
⃗
b,
⃗
c
}下的斜坐标为 {−1,2,3} ，则向量 ⃗p 在基底{⃗
a+
⃗
b,
⃗
a−
⃗
b,
⃗
c
}下的斜坐标为( )
1 3 1 3 1 3 1 3
A. ( ,− ,3) B. (− ,− ,3) C. (− , ,3) D. ( ,− ,−3)
2 2 2 2 2 2 2 2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知i⃗,⃗j,⃗k是空间中三个向量，则下列说法错误的是( )
A. 对于空间中的任意一个向量 ，总存在实数 ，使得⃗ ⃗ ⃗ ⃗
⃗m x,y,z
m=xi+ y j+zk
B. 若{⃗ ⃗ ⃗}是空间的一个基底，则{⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗}也是空间的一个基底
i, j,k i−3 j, j+k,k−2i
C. 若⃗ ⃗，⃗ ⃗，则⃗ ⃗
i⊥j k⊥j i//k
D. 若i⃗,⃗j,⃗k所在直线两两共面，则i⃗,⃗j,⃗k共面
10.下列说法不正确的是( )
A. 任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
B. 点(0,1)关于直线y=x的对称点为(1,1)
C. 直线x−y−3=0与两坐标轴围成的三角形的面积是2
D. 经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+ y−2=0
11.下列说法正确的是( )
A. 若abc≠0，且直线ax+by+c=0不经过第二象限，则ab>0，bc<0
B. 方程(2+λ)x+(1−2λ)y−5=0(λ∈R)表示的直线都经过点(2,1)
C. m∈R，直线m2x+ y+2=0不可能与y轴垂直
D. 直线3x+3 y−1=0的横、纵截距相等
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.抛物线 上一点 的横坐标为 ，且 ，则抛物线方程为 ．
y2=2px(p>0) M 3 |MF|=2p
13.已知直线l :x+2my−1=0与l :(3m−1)x−my−1=0平行，则实数m= ．
1 2
x2 y2
14.已知方程 + =1表示双曲线，则实数m的取值范围为 ．
m−2 2m−3
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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2 115.(本小题13分)
已知圆 是圆 内一点， 是圆 外一点．
O:x2+ y2=8,M(−1,2) O P(4,0) O
(1)AB是圆O中过点M最长的弦，CD是圆O中过点M最短的弦，求四边形ACBD的面积；
(2)过点P作直线l交圆于E、F两点，求▵OEF面积的最大值，并求此时直线l的方程．
16.(本小题15分)
已知点A(2,4)，直线l:x−2y+1=0，且点M,N均在直线l上，AM⊥l，
(1)求点M的坐标：
(2)若|MN|=√5，求直线AN的方程．
17.(本小题15分)
已知椭圆 ：x2 y2 的离心率为√5，上、下顶点分别为 ， ，右顶点为 ，且 的面
E + =1(a>b>0) A B C ▵ABC
a2 b2 3
积为6．
(1)求E的方程；
(2)若点P为E上异于顶点的一点，直线是AP与BC交于点M，直线CP交y轴于点N，试判断直线MN是
否过定点?若是，则求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
18.(本小题17分)
已知P是矩形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，设⃗PA=⃗a，⃗PB=⃗b，⃗PC=⃗c，
(1) 以{⃗ ⃗ ⃗}为空间基底表示向量⃗MN ．
a,b,c
(2)求证：MN//平面PAD．
19.(本小题17分)
如图，在正三棱柱 中， ， ， 分别为 ， ， 的中点， ， ．
A B C −ABC D E F AC CC BC A A=2√3 AB=2
1 1 1 1 1
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3 1(1)证明： 平面A B E．
1 1
(2)若B F⊥平面α，求平面α与平面A B E夹角的余弦值．
1 1 1
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4 1参考答案
1.C
2.C
3.D
4.B
5.A
6.C
7.C
8.A
9.ACD
10.BCD
11.BD
12.y2=4x
1
13.0或 ．
6
14.(3 )
,2
2
15.【详解】(1)M(−1,2)在圆x2+ y2=8内，由于圆内弦最长的即是圆的直径即AB为直径，
而CD是过M且与AB垂直的弦
此时 ，圆心 到直线 的距离 ，
AB=4√2 (0,0) CD d=√12+22=√5
从而可得，CD=2√3，
1
∴S= ×2√3×4√2=4√6；
2
1
(2)|OE|=|OF|=2√2，S = ×|OE|×|OF|×sin∠EOF，
▵OEF 2
π
当∠EOF= 时，▵OEF面积的最大值为4，
2
此时，O到直线l的距离为2，|OP|=4，
π 5π
∴直线l的倾斜角为 或 ，
6 6
√3
则直线l的斜率为± ，
3
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5 1√3
∴直线l的方程为y=± (x−4)．
3
{
m−2n+1=0
16.【详解】 设 ，由题意可得： ，解得：{m=3
(1) M(m,n) n−4 1 ,
× =−1 n=2
m−2 2
所以点M的坐标为(3,2)．
(2)设N(s,t)，由(1)知点M的坐标为(3,2)．
根据题意可得{ s−2t+1=0 ，解得{s=5或{s=1
,
√(s−3) 2+(t−2) 2=√5 t=3 t=1
所以点N的坐标为(5,3)或(1,1)，
3−4
当点N为(5,3)时，直线AN的方程为y−3= (x−5)，即x+3 y−14=0，
5−2
1−4
当点N为(1,1)时，直线AN的方程为y−1= (x−1)，即3x−y−2=0，
1−2
综上所述：直线AN的方程为3x−y−2=0或x+3 y−14=0．
c √5
{ = ,
a 3
17.【详解】 由题意知 解得 ， ， ，
(1) 1 a=3 b=2 c=√5
a⋅2b=6,
2
c2=a2−b2,
x2 y2
所以E的方程为 + =1．
9 4
(2)显然直线AP的斜率存在，设直线AP的斜率为k，则直线AP的方程为y=kx+2，
{
y=kx+2
又直线 的方程为 2 ，由 ，解得 12 ， 6k+4，
BC y= x−2 2 x=− y=−
3 y= x−2 3k−2 3k−2
3
即 ( 12 6k+4)．
M − ,−
3k−2 3k−2
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6 1{x2 y2
由 + =1,得 ，解得 或 36k ，
9 4 (4+9k2)x2+36kx=0 x=0 x=−
4+9k2
y=kx+2
当 x=− 36k 时， y=k ( − 36k ) +2= 8−18k2 ，即 P ( − 36k , 8−18k2 )，
4+9k2 4+9k2 4+9k2 4+9k2 4+9k2
8−18k2
−0
所以直线 的斜率 4+9k2 6k−4，
CP k = =
CP 36k 9k+6
− −3
4+9k2
所以直线 的方程为 6k−4 ，令 ，得 4−6k，即 ( 4−6k)．
CP y= (x−3) x=0 y= N 0,
9k+6 3k+2 3k+2
6k+4 4−6k
− −
3k−3 3k+2 4k
所以直线MN的斜率k = = ，
MN 12 3k+2
− −0
3k−3
4k 4−6k
所以直线MN的方程为y= x+ ，
3k+2 3k+2
4k
即y= (x−3)+2，所以直线MN过定点(3,2)．
3k+2
⃗ ⃗ ⃗ 1 ⃗ 1( ⃗ ⃗ ) 1⃗ 1⃗ 1⃗
18.【详解】(1)MN=PN−PM= PC− PA+PB =− a− b+ c；
2 2 2 2 2
(2)取DC中点H，连接HM，HN，
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7 1因为H是DC中点，N是PC中点，所以HN//DP，
因为HN⊄平面PAD，DP⊂平面PAD，
所以HN//平面PAD，
同理，得HM//DA，HM⊄平面PAD，DA⊂平面PAD，
所以HM//平面PAD，
又HN∩HM=H，HN⊂平面HNM，HM⊂平面HNM，
故平面HNM//平面PAD，
因为MN⊂平面HNM，
所以MN//平面PAD．
19.【详解】(1)因为D，F分别为AC，BC的中点，所以 ．
在正三棱柱ABC−A B C 中，
1 1 1
所以 ．
又DF⊄平面A B E，A B ⊂平面A B E，所以 平面A B E．
1 1 1 1 1 1 1 1
(2)取AB的中点O，连接OC.以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
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8 1则 ， ， ， (1 √3 )
A (−1,0,2√3) B (1,0,2√3) E(0,√3,√3) F , ,0
1 1 2 2
⃗ ， ⃗ ．
A E=(1,√3,−√3) A B =(2,0,0)
1 1 1
设平面A B E的法向量为⃗n=(x,y,z)，
1 1
{ ⃗ ⃗
n⋅A B =2x=0,
则 1 1
⃗ ⃗
n⋅A E=x+√3 y−√3z=0,
1
取y=1，则⃗n=(0,1,1)
易知 ⃗ ( 1 √3 )是平面 的一个法向量，
B F= − , ,−2√3 α
1 2 2
3√3
|⃗ ⃗ |
| ⟨⃗ ⃗ ⟩| n⋅B F 2 3√78
所以 cos n,B F = 1 = = ．
1 |⃗|| ⃗ | √26 52
n B F
1
3√78
故平面α与平面A B E夹角的余弦值为 ．
1 1 52
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9 1
