文档内容
湘 豫 名 校 联 考
#$#%&#$#’学年高三一轮复习质量检测
数学参考答案
题号 ! # ( % ’ ) " * + !$ !!
答案 , - . , / / . - -, /. -/.
一!选择题"本题共*小题#每小题’分#共%$分0在每小题给出的四个选项中#只有
一项是符合题目要求的0
!!,!$试题立意%本题考查集合的运算#也涉及简单的解一元一次不等式及分式不等式等知识#考查数学运算
素养!
$解析%由题易得集合"1!#"##("#$1!#"#$&!或#%!"#所以"&$1!#"#$&!或!$##("!故选,!
#!-!$试题立意%本题考查复数的几何意义以及复数的运算等知识#考查数学运算素养!
&% &% &%$槡(32!%
$解析%由题可知%1&!2槡(3#所以 1 1 1!2槡(3!故选-!
% &!2槡(3 &%
(!.!$试题立意%本题考查三角函数的定义$诱导公式等知识#考查直观想象素养!
$解析%由角!的终边经过点&$&槡’#!%#结合角!与角"的终边关于直线’1#对称#得角"的终边必经过点
! 槡)
($!#&槡’%!所以456"1 1 !故选.0
槡!2’ )
%!,!$试题立意%本题考查函数的单调性$奇偶性以及充要条件等知识#考查逻辑推理素养!
$解析%先考查充分性#容易验证#当%#)#’时#*$#%在&&###’上单调递增(再考查必要性#若*$#%在&&###’
)
上单调递增#则*$#%在$$##’上单调递增#所以 ’##解得)’%!又由*$#%是奇函数#可知*$$%1$#所以’&
#
)’$#所以)#’!所以%#)#’!综上所述#)*$#%在&&###’上单调递增*的充要条件是)%#)#’*!故选,!
’!/!$试题立意%本题主要考查平面向量的数量积及其坐标运算#考查数学运算素养!
!! " ))( ))( !! " !
$解析%根据题意#不妨设+$$#,%#- #$ #则.-+.+1 &!#&% +$&!#,&%%1!"& &%,1!(#解
, , ,
! !
得,1 #所以"/+"1 !故选/0
# #
)!/!$试题立意%新高考要求五育并进#立德树人#本题承担五育中%德育&的任务#以我国优秀传统文化中的
%新莽嘉量&为载体#考查圆柱的体积计算以及等比数列相关知识#渗透优秀传统文化#落实立德树人根本任
务!考查数学运算$直观想象等素养!
$解析%由题易得
0
(1
!1#
(
2
(1
2
(1!$#即0 #0 #0 所成等比数列的公比为!$!所以
0
(1
!1#
(
2
(1!$$#所以
0
#
!1#
#
2
#
2
#
! # ( 0
!
!1#
!
2
!
2 !
(1!$$7 1%!故选/!
2 #’
!
"!.!$试题立意%本题考查抛物线的标准方程$抛物线的几何意义$动点的轨迹等知识#灵活地将数和形结合#
能极大地提高本题的解答速度#考查直观想象和数学运算素养!
!
$解析%由题可得#1#37 #所以31##所以4$!#$%!因为"&*4&#所以点&在以线段"4为直径的圆
#
上!由题易得该圆的圆心为线段"4的中点#所以圆心坐标为
!(
#
槡#"
#半径为
!
""4"1
! 7槡!
2#1
% # # # %
数学参考答案!第!!!!!页!共"页"
书书书(
!所以"/&"的最大值为槡
!("#
2
!槡#"#
2
(
1
(2槡!"
!故选.0
% % # % %
*!-!$试题立意%本题考查三角函数的图象与性质$利用导数研究函数的性质$特殊角三角函数值等知识点#
考查逻辑推理$数学运算$直观想象等素养!学生可以通过严谨推理论证得出答案#但需要花费一定的时间’
也可以通过灵活估算快速得出答案!本题能有效区分不同思维水平的学生!
638# ! #456#&638#2!
$解析%*$#%1456#& 2 1 #令5$#%1#456#&638#2!#显然*$#%在$!#29%上
# # #
的零点与函数5$#%的相同#又56$#%1456#ɾ#&456#1ɾ##所以5$#%在$#7!2!##7!2#!%$7+
!%上单调递增#在$#7!2#!##7!2(!%$7+!%上单调递减!又5$#7!2!%$$#5$#7!2#!%%$#5$#7!2(!%$
! !"
$$7+!%#所以5$#%在每个单调区间内都有唯一零点!另一方面#注意到5#7!2
#
1$$7+!,%!所以)
#
1
#!2 !
#
!#)
%
1%!2 !
#
!#,#)
#$#%
1#$#%!2
#
! !所以638 )
#
#2638 )
#
%2,2638 ) #
#
$#%1638 ! !2
%
!" 2
! !" ! !"
638#!2 2,2638!$!#!2 1$!故选-!
% %
二!选择题"本题共(小题#每小题)分#共!*分!在每小题给出的四个选项中#有多
项符合题目要求!全部选对的得)分#部分选对的得部分分#有选错的得$分!
+!-,!$试题立意%新高考要求五育并进#立德树人#本题承担五育中%体育&的任务#以传统体育活动踢毽子为
背景#考查学生对平均数$方差等概念的理解#考查数据分析素养!
$7(2#$7’2($7#
$解析%平均个数的最小值 1!)#无法确定具体数据#因此-一定正确#/#.不一定正确
!$
$判断/选项也可代数值#如$#$#$##$##$##$##$##$#($#($%(中位数应为数据排序后#第五个数据和第六个
数据的平均数#由题可知这两个数均在&#$#($%内#所以#$#8$($#,一定正确!故选-,0
!$!/.!$试题立意%本题以分段函数为载体#考查函数的单调性$极值最值$函数的零点等概念#对学生数学运
算$直观想象$逻辑推理素养均有一定的要求!
!
$解析%由于二次函数’1###&*#2+在&##29%上单调递增#而’1 在$&9##%上单调递增#同时’1
(&#
!
###&*#2+在#1#处的函数值与’1 在#1#处的函数值相等#所以*$#%在$&9#29%上单调递
(&#
增#-错误!由*$#%在$&9#29%上单调递增#所以*$#%没有极值#也没有最值#/正确!不妨设# !##
#
#
则由*$#%单调递增可得*$#
!
%#*$#
#
%!又#
!
1*$#
#
%##
#
1*$#
!
%#所以# ###
!
!所以只能#
!
1#
#
#.正确!
!
所以#
!
1*$#
!
%!若# !’##则#
!
1###
!
&*#
!
2+#此时#
!
1#
#
1((若# !$##则#
!
1
(&#
#此时#
!
1#
#
1
!
(&槡’
#,错误!故选/.0
#
!!!-/.!$试题立意%本题给出数列的首项及递推公式#引导学生利用递推关系研究数列的特定项#以及前
9项和#考查学生分析$解决问题的能力#以及数学运算$逻辑推理等数学学科核心素养!
$解析%设)
,
为数列中第一次取负值的项#则)
,&!
1$#否则")
,
&) ,&!"’##与题设矛盾!所以一定存在7+
!##(#,#++"#使得)
7
1$#-正确!因为)
!$$
&) ++#!#)
++
&) +*#!#,#)
#
&) !#!#所以)
!$$
&) !#++!所以
) !$$#!$$#当且仅当)
:2!
&)
:
1!#:1!###(#,#++时等号成立!所以)
!
#)
#
#,#)
!$$
成等差数列#/正确!取
)1)1,1) 1!#)1)1,1) 1$#)1)1,1) 1&!#)1)1,1) 1$#则; 1!#.正
! ’ !$! # ) !$# ( " ++ % * !$$ !$#
确!由于)
#7&!
$7+!,%一定是奇数#)
#7
一定是偶数#所以;
%72!
必为奇数#因此不存在7+!,#使得;
%72!
1
!$$#,错误!故选-/.0
数学参考答案!第!!!!#页!共"页"三!填空题"本题共(小题#每小题’分#共!’分!
!! "
!#! #! !$试题立意%本题考查利用导数研究函数的单调性$极值#也考查了对极值概念的理解!本题考查
#
数学运算素养!
! &)#2!
$解析%*6$#%1 &)1 #由题意*6$#%在$!##%内存在零点#且零点两侧附近导数异号!当)#$时#
# #
!
*6$#%%$#无极值点(当)%$时#由题可得&)2!%$且&#)2!$$#解得 $)$!!
#
#槡"
!(!: !$试题立意%本题考查直线和双曲线的位置关系#若直接将直线和双曲线方程联立#计算判别式等#
"
这样计算量相对较大#可能会花费一定的时间’若运用数形结合#发现直线不可能与双曲线相切#因此直接
令直线与双曲线的渐近线平行#这样能快速得到答案!本题能有效区分不同思维水平的学生!本题考查数学
运算$直观想象等素养!
$解析%由于直线恒过定点$&(#$%#所以直线不可能与双曲线相切!要满足有且只有一个交点#直线必须平
#槡"
行于双曲线的渐近线#故71: !
"
!
!%! !$试题立意%本题考查利用条件概率模型求解随机事件的概率#同时考查计数原理相关知识#对学生逻
#
辑素养有较高的要求!
$解析%题中问题等价于往如下表格中随机地填数字#其中每列都是!###(#%的排列#求在第一行数字之和
为!%#并且第二行数字之和为!(的条件下#第三行数字之和大于)的概率!
. - + <
甲
乙
丙
丁
第一行数字之和为!%#并且第二行数字之和为!(包含的情况数可如下计算-
如果第一行数字是(个%#!个##那么共.(7#%种不同的填法(
%
如果第一行数字是#个%##个(#那么共.#7#7#%种不同的填法0
%
所以共有$.(2#.#%7#%种不同的填法0
% %
第三行数字之和大于)包含的情况数可如下计算-
"第一行数字依次是%#%#%###则第二行只能依次为(#(#(#%#如下表!
. - + <
甲 % % % #
乙 ( ( ( %
丙
丁
如果第三行第四列是(#则前(列可以是######或####!#或##!#!(
如果第三行第四列是!#则前(列可以是######共有!2(2(2!1*种可能!
数学参考答案!第!!!!(页!共"页"所以如果第一行数字是(个%#!个##那么共.(7*种不同的填法0
%
#第一行数字依次是(#(#%#%#则第二行可能为%#%#(##或%#%###(#如下表$只列出其中一种情况%0
. - + <
甲 ( ( % %
乙 % % ( #
丙
丁
此种情况下#余下两行也有*种不同的填法#
所以如果第一行数字是#个%##个(#那么共.#7#7*种不同的填法0
%
所以第三行数字之和大于)共有$.(2#.#%7*种不同的填法0
% %
* !
所以第三行数字之和大于)的概率为 1 0
#% #
四!解答题"本题共’小题#共""分!解答应写出文字说明!证明过程或演算步骤!
!’!$试题立意%本题考查正弦定理$余弦定理等#考查数学运算素养!
$解析%$!%由正弦定理#得)#2=#&>#1槡#)=#……………………………………………………………… !分
)#2=#&>#
由余弦定理#得456-1 #………………………………………………………………………… #分
#)=
槡#
所以456-1 !……………………………………………………………………………………………… (分
#
!
因为-为三角形内角#所以-1 !………………………………………………………………………… %分
%
> =
$#%在-.-+中#由正弦定理#得 1 #……………………………………………………… ’分
638- 638..+-
槡#
(槡)7
=638- # 槡(
所以638..+-1 1 1 !
> ) #
!
因为-.-+为锐角三角形#所以..+-1 ! …………………………………………………………… "分
(
#!
所以..+<1 !…………………………………………………………………………………………… *分
(
在-.+<中#由余弦定理#得.<#1.+#2+<#&#.+7+<7456..+<#……………………………… +分
!
所以.<#1()2!$$2#7)7!$7 1!+)#……………………………………………………………… !$分
#
所以.<1!%!……………………………………………………………………………………………… !!分
.+#2.<#&+<# ()2!+)&!$$ !!
所以456.+.<1 1 1 ! …………………………………………… !(分
#7.+7.< #7)7!% !%
!)!$试题立意%本题以最常见的空间几何体三棱锥为载体#考查线面垂直的定义$判定定理$空间向量及其在立
体几何中的应用#平面和平面的夹角等知识点#考查数学运算和直观想象素养!
$解析%$!%因为-+*平面&.-#&./平面&.-#.-/平面&.-#
所以-+*&.且-+*.-!………………………………………………………………………………… #分
由-+*.-#且-+1%#.+1’#可得.-1(!……………………………………………………………… (分
由.-1(#&.1%#&-1’#可得&.*.-!………………………………………………………………… %分
数学参考答案!第!!!!%页!共"页"因为.-&-+1-#.-/平面.-+#-+/平面.-+#所以&.*平面.-+!
………………………………………………………………………………… ’分
$#%过.作.’0-+#则.&#.-#.’两两垂直#
建立如图空间直角坐标系!
则&$$#$#%%#.$$#$#$%#-$(#$#$%#+$(#%#$%! …………………………… "分
设平面-+<的法向量为!
!
1$#
!
#’! #%
!
%#
))( ))(
由题可得-+1$$#%#$%#-&1$&(#$#%%#…………………………………… *分
))(
(! ! +-+1$# (%’! 1$#
则 即
))(
! ! +-&1$# &(# ! 2%% ! 1$!
取#1%#则平面-+<的一个法向量为!1$%#$#(%!…………………………………………………… +分
! !
))( ))(
由于<在棱&+上#设&<1#&+#$###!#
))(
所以&<1#$(#%#&%%1$(##%##&%#%!
所以<$(##%##%&%#%!……………………………………………………………………………………… !$分
设平面.-<的法向量为!
#
1$#
#
#’# #%
#
%#
))( ))(
由题可得.-1$(#$#$%#.<1$(##%##%&%#%#…………………………………………………………… !!分
))(
(! # +.-1$# ((# # 1$#
则 即
! # +. ))( <1$# (## # 2%#’# 2$%&%#%% # 1$!
取’# 1#&!#则平面.-<的一个法向量为!
#
1$$##&!##%!…………………………………………… !#分
"(#" (槡’
由题意#得"456.!
!
#!
#
/"1
’7槡$#&!%#2##
1
#’
#
整理得(##2##&!1$! …………………………………………………………………………………… !(分
!
解得#1 或#1&!!
(
!
因为$###!#所以#1 !
(
(槡’
故存在点<#且当点<位于&+上靠近&的三等分点时#平面.-<与平面-+<夹角的余弦值为 !
#’
……………………………………………………………………………………………………………… !’分
!"!$试题立意%本题考查利用导数研究函数的切线$单调性$不等式等知识#考查数学运算$逻辑推理等多种素养!
$解析%$!%当#%$时#*$#%1;#$#2)%!…………………………………………………………………… !分
因为*6$#%1;#$#2)2!%#………………………………………………………………………………… #分
所以*6$!%1;$#2)%#*$!%1;$!2)%! …………………………………………………………………… %分
所以切线方程为’&;$!2)%1;$#2)%$#&!%!…………………………………………………………… ’分
’ (
又切线过点$##’%#代入切线方程可得)1 & ! ……………………………………………………… )分
#; #
$#%当#%$时#*$#%1;#$#2)%!
因为*6$#%1;#$#2)2!%#
所以若)’&!#则当#+$$#29%时#*6$#%%$#*$#%单调递增(………………………………………… *分
若)$&!#则当#+$$#&)&!%时#*6$#%$$#*$#%单调递减(…………………………………………… +分
当#+$&)&!#29%时#*6$#%%$#*$#%单调递增! …………………………………………………… !$分
当#$$时#*$#%1;#$)%!
数学参考答案!第!!!!’页!共"页"因为*6$#%1;#$)&!%!……………………………………………………………………………… !!分
所以若)’!时#则当#+$&9#$%时#*6$#%%$#*$#%单调递增(……………………………………… !#分
若)$!时#则当#+$)&!#$%时#*6$#%$$#*$#%单调递减(…………………………………………… !(分
当#+$&9#)&!%时#*6$#%%$#*$#%单调递增! ……………………………………………………… !%分
又易知)’!时#对任意# !$$## #%$#均有*$#
!
%$*$$%$*$#
#
%#
所以)’!时#单调递增区间是$&9#29%!
综上所述#)$&!时#单调递增区间是$&9#)&!%#$&)&!#29%(
&!#)$!时#单调递增区间是$&9#)&!%#$$#29%(
)’!时#单调递增区间是$&9#29%!…………………………………………………………………… !’分
!*!$试题立意%本题考查椭圆的方程及其性质$角平分线的性质$直线方程等#考查学生数学运算素养!
$解析%$!%由题可知%)1*#所以)1#!所以>#2!1%#解得>1槡(!……………………………………… !分
## ’#
所以?的标准方程是 2 1!! ………………………………………………………………………… #分
% (
又=#1)#&>#1!#…………………………………………………………………………………………… (分
= !
所以离心率@1 1 ! …………………………………………………………………………………… %分
) #
$#%由$!%可知4$!#$%#
#
当直线A的斜率存在时#可设直线A-’17$#&!%!
与椭圆方程联立得$%7#2(%##&*7##2%7#&!#1$!……………………………………………………… ’分
设.$#
!
#’! %#-$#
#
#’# %!
因为直线A过椭圆内的定点4
#
#所以7+"均能保证$%$#……………………………………………… )分
*7# %7#&!#
则#2#1 ###1 !……………………………………………………………………… "分
! # %7#2( ! # %7#2(
因为.4
!
.-与.4
!
-.的角平分线交于点&#
(槡’
所以点&到4.#4-#.-的距离均为 !……………………………………………………………… *分
! ! !)
! (槡’ (槡’
所以-.-4
!
的面积为;1
#
$".4 !"2"-4 !"2".-"%7
!)
1
%
!………………………………… !$分
! (槡’
所以
#
7"4
!
4 #"7"’! &’#"1
%
!……………………………………………………………………… !!分
(槡’
所以槡$’! 2’# %#&%’!’# 1
%
!
&)7
又’! 2’# 17$#
!
&!%27$#
#
&!%17$#
!
2#
#
&#%1
%7#2(
!…………………………………………… !#分
&+7#
’!’# 17#$# ! &!%$# # &!%1 %7#2( !……………………………………………………………………… !(分
()7# &+7# %’
所以 &%7 1 !
$%7#2(%# %7#2( !)
化简得!")7%2!()7#&%’1$!
所以$%7#&!%$%%7#2%’%1$!
!
解得71: !……………………………………………………………………………………………… !’分
#
(槡’
当直线A的斜率不存在时#"’! &’#"1(1
%
#显然不符合题意!……………………………………… !)分
数学参考答案!第!!!!)页!共"页"综上所述#直线A的方程是#&#’&!1$或#2#’&!1$!……………………………………………… !"分
!+!$试题立意%本题以集合为载体#考查学生对新定义数学概念的理解#考查学生在综合情境下分析解决问题
的能力#对学生的逻辑推理素养要求较高!
$解析%$!%%( $.%1!)#"#*#+"#%# $-%1!(#’#+#)#!$#!#"!……………………………………………… %分
$#%证明-不妨设) !$) #$,$)
!$
!
假设)
:
2) !!&:#!$$#:1!###(#%#’#
则当:1!时#) !$) #$)
!
2) #$)
!
2) ($,$)
!
2) !$#!$$#
当:1#时#) !$) #$)
!
2) #$)
!
2) ($,$)
!
2) +$)
#
2) +#!$$#
同理#当:1(#%#’时#
) !$) #$)
!
2) #$)
!
2) ($,$)
!
2) !!&:$)
#
2) !!&:$,$)
:
2) !!&:#!$$#
所以)#)#)2)#,#)2) 均为集合.中不同元素!
! # ! # : !!&:
而)#)#)2)#,#)2) 共!!个数#与.中只有!$个数矛盾!
! # ! # : !!&:
所以)
:
2) !!&:%!$$#:1!###(#%#’!
所以)
!
2)
#
2)
(
2,2) !$%!$$7’1’$$!……………………………………………………………… !$分
$(%不妨设.中元素满足) !$) #$,$)
9
!
由题可知#存在) B! 2) B# 2,2) B7 +%7 $.%#B :+!!###(#,#9"#:1!###(#,#7!
使得)1) 2) 2,2) #且) #) #,#) 均不与) 相等!
! B! B# B7 B! B# B7 !
所以)
!
1)
B!
2)
B#
2,2)
B7
’)
#
2)
(
2,2) 72!%)
!
2)
(
2,2)
72!
!
所以)
(
2,2) 72!$$!
同理存在) ,! 2) ,# 2,2) ,7 +%7 $.%#, :+!!###(#,#9"#:1!###(#,#7!
使得)1) 2) 2,2) #且) #) #,#) 均不与) 相等!
9 ,! ,# ,7 ,! ,# ,7 9
所以)
9
1)
,!
2)
,#
2,2)
,7
#)
9&!
2)
9&#
2,2) 9&7$)
9
2)
9&#
2,2)
9&7
!
所以)
9&#
2,2) 9&7%$!
所以)
9&7
2)
9&72!
2,2) 9&#%)
(
2)
%
2,2)
72!
!
若) 9&7#)
(
#则) 9&72!#)
%
#) 9&72##)
’
#,#) 9&##)
72!
!
所以)
9&7
2)
9&72!
2,2) 9&##)
(
2)
%
2,2)
72!
!
与)
9&7
2)
9&72!
2,2) 9&#%)
(
2)
%
2,2)
72!
矛盾!
所以) 9&7%)
(
#所以9&7%(!
所以9%72(#即9’72%!
又9172%时#若7为偶数#设71#=#
取.1!=2##=2!#,###!#&!#&##,#&=&!#&=&#"#显然符合题意(
若7为奇数#设71#=2!#
取.1!=2##=2!#,###!#$#&!#&##,#&=&!#&=&#"#显然符合题意!
所以9的最小值是72%!…………………………………………………………………………………… !"分
数学参考答案!第!!!!"页!共"页"2024.12 湘豫联考高三数学评分细则（补充部分）
说明：如无补充的题目按参考答案给分
第15 题：
第（2）问补充其他解法：（不同做法答案正确给满分）
第16 题：
第（2）问补充其他解法（不同建系，正确即给满分）：
第 1 页 共 4 页第18 题：
第（2）问补充其他解法一：
其他解法接下页
第 2 页 共 4 页第（2）问补充其他解法二：
注：用到光学性质（在椭圆（或双曲线）中，从焦点射出的光线经过曲线反射后，
反射光线（的反向延长线）经过另一个焦点，与反射点处切线垂直的直线为焦点
三角形顶角的角平分线），扣2分.
第 3 页 共 4 页第19 题：
第（1）问补充评分细则：
两个集合，写对一个得2分.
第（2）问（学生在解析中体现排序思维，证出如：a a 100或a a 100或
1 10 2 9
a a 100等，阅卷老师即可酌情给分）补充其他解法:
3 8
...10分
第 4 页 共 4 页
