文档内容
长春外国语学校2024-2025学年第一学期高二年级期初考试
数学试卷
出题人 ：康乐 审题人：郭奇
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 4页。考试结束
A．最长的是 ，最短的是 B．最长的是 ，最短的是
后，将答题卡交回。
C．最长的是 ，最短的是 D．最长的是 ，最短的是
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信
5.在 中， ， ， 满足条件的 （ ）
息条形码粘贴区。
A．有一解 B．有两解 C．无解 D．不能确定
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，
字体工整、笔迹清楚。 6.自改革开放以来，我国综合国力显著提升，人民生活水平有了极大提高，也在不断追
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在
求美好生活．某研究所统计了自2013年至2019年来空气净化器的销量情况，绘制了如
草稿纸、试题卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 图的统计图．观察统计图，下列说法中不正确的是（ ）
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷(选择题)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1.已知复数 （ 为虚数单位），则复数 在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
A．2013年——2019年空气净化器的销售量逐年在增加
2.若平面向量 与 的夹角为60°， ，则 等于（ ）
B．2017年销售量的同比增长率最低
C．与2018年相比，2019年空气净化器的销售量几乎没有增长
A．10 B．12 C． D．
D．有连续三年的销售增长率超过
3.一组数据按从小到大的顺序排列为1，2，4，4，5，8，则该组数据的 分位数是
7.沙漏是我国古代的一种计时工具，是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的
（ ）
（如图）.在一个圆锥中装满沙子，放在上方，沙子就从顶点处漏到另一个圆锥中，假
A．4 B．5 C．6 D．6.5
定沙子漏下来的速度是恒定的（沙堆的底面是水平的）.已知一个沙漏中沙子全部从一
4.如图所示是水平放置三角形的直观图，点D是 的 边中点， ， 分别与
个圆锥漏到另一个圆锥中需用时27分钟，则经过19分钟后，沙漏上方圆锥中的沙子的
′轴、 ′轴平行，则三条线段 ， ， 中（ ）
高度与下方圆锥中的沙子的高度之比是（ ）
数学试题 第11页 （共66页） 数学试题 第12页 （共66页）
学科网（北京）股份有限公司C． D．向量 ， 的夹角为
10.下列说法正确的是（ ）
A．抛掷两枚质地均匀的骰子，至少有一枚骰子的点数是3的概率为
A．2:3 B．2:1 C．1:1 D．3:2
B．甲乙两人独立地解题，已知各人能解出的概率分别是 ， ，则题被解出的概率
8.已知正方体 ，点 ， ， 分别是线段 ， 和 上的动点，
是
观察直线 与 ， 与 给出下列结论：其中正确的
C．某小组由5名学生组成，其中3名男生，2名女生，现从中任选两名学生参加演
结论是 讲比赛，至少有一名男生与至少有一名女生是互斥事件
D．两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是
①对于任意给定的点 ，存在点 ，使得 ；
11. 的内角 的对边分别为 ，下列结论正确的是（ ）
②对于任意给定的点 ，存在点 ，使得 ；
③对于任意给定的点 ，存在点 ，使得 ；
A．若 ，则 的面积为
④对于任意给定的点 ，存在点 ，使得 ．
B．若 ，则角
C．若 ，则 为等腰或直角三角形
A．① B．②③ C．①④ D．②④
D．不存在 ，使 成立
二、多项选择题：本题共3题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
第Ⅱ卷（非选择题）
9.已知向量 ， ， 满足 ， ， ，则下列说法正确
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
的是（ ）
12.已知 ， ， ，…， 的中位数与方差分别为2，1，则 ， ， ，
A． B．
数学试题 第21页 （共66页） 数学试题 第22页 （共66页）
学科网（北京）股份有限公司…， 的中位数与方差的和为 ．
16.（本小题15分）
13.若圆台的上下底面半径分别为1，2，母线长为 ，则该圆台的体积
已知向量 ，
．
(1)若 ，求实数 的值；
14.2006年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家级非物质
文化遗产名录.“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早是外包皮革、内饰米糠的球，因
(2)若 与 的夹角是钝角，求实数 的取值范围.
而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动.如图所示，若将“鞠”的表面视为光滑
的球面，已知某“鞠”的表面上有四个点P，A，B，C，满足 ， 平面
17.（本小题15分）
ABC， ，若 的面积为2，则制作该“鞠”的外包皮革面积的最小值为
2022年2月4日，第24届冬季奥林匹克运动会开幕式在北京国家体育场（鸟巢）举行，
.
某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同
职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分 分及以上为认知程度高），
结果认知程度高的有 人，按年龄分成5组，其中第一组 ，第二组 ，第
三组 ，第四组 ，第五组 ，得到如图所示的频率分布直方图，已知
第一组有10人．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（本小题13分）
已知复数 ， ，其中a是正实数．
(1)根据频率分布直方图，估计这 人的平均年龄；
(1)若 ，求实数a的值；
现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者．
(2)若 是纯虚数，求a的值． (2)若有甲（年龄 ，乙（年龄 两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到
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学科网（北京）股份有限公司的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；
(3)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和 ，第五组宣传使者的年龄的 长春外国语学校2024-2025学年第一学期期初考试高二年级
平均数与方差分别为42和1，据此估计这 人中 岁所有人的年龄的方差．
数学试卷答案
18.（本小题17分）
1. D 2.D 3.B 4.B 5.A 6.C 7.B 8.A
的内角 的对边分别为 ，已知 ． 9.AB 10.AD 11.BCD
（1）求 ；
12.7 13. 14.
（2）若 为锐角三角形，且 ，求 面积的取值范围．
15.(1)2 (2)2
【分析】（1）根据复数的定义及复数的运算法则构建关于 的方程组，求解 的值；
19.（本小题17分）
如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，在底面ABCD中， ，
（2）根据复数的除法运算求解 ，利用复数的定义，构建关于 的方程组，求解 的
， ， ．
值；
【详解】（1）解：∵ ， ， ，
∴ ，从而 ，解得 ，
(1)求证： ；
所以实数a的值为2．
（2）依题意得： ，
(2)若平面 与平面 夹角等于 ，求异面直线 与 所成角的余弦值．
因为 是纯虚数，所以： ，解得： 或 ；
又因为a是正实数，所以a＝2．
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学科网（北京）股份有限公司16.(1) (2) 所以 ；
【详解】（1）因为 ， ，所以 ， （3）设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为 ， ，方差分别为 ， ，
因为 ，所以 ，解得 ； 则 ， ， ， ，
（2）因为 与 的夹角是钝角， ， ，所以 设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为 ，方差为 ；
则 ，
，解得 ，
又当 ，即 时， ，此时 与 的夹角为 ，故 ，
综上可得 . 因此第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10，
据此可估计这 人中年龄在 岁的所有人的年龄方差约为10
17.【答案】(1) (2) (3)10
【详解】（1）解：设这 人的平均年龄为 ，
18.(1) ;(2) .
则 （岁 ；
（2）由频率分布直方图可知各组的频率之比为 ，
【详解】(1)
第四组应抽取 人，记为 ， ， ，甲，第五组抽取
由三角形的内角和定理得 ，
人，记为 ，乙，
此时 就变为 ．
对应的样本空间为 ， ， ，甲）， ，乙）， ， ， ，
甲）， ，乙）， ， ，甲） ，乙）， ，（甲，乙），（甲， ， 由诱导公式得 ，所以 ．
（乙， ，共15个样本点．
在 中，由正弦定理知 ，
分设事件 “甲、乙两人至少一人被选上”，
则 ，甲）， ，乙）， ，甲）， ，乙）， ，甲）， ，乙），（甲，
此时就有 ，即 ，
乙），（甲， ，（乙， ，共有9个样本点，
数学试题 第51页 （共66页） 数学试题 第52页 （共66页）
学科网（北京）股份有限公司再由二倍角的正弦公式得 ，解得 ．
如图建立空间直角坐标系
(2)
设
因为 是锐角三角形，又 ，所以 ，
则 ，所以 ，
则
设平面 的法向量为 ，则
即 ，取 ，则
．
由（1）知，平面 的法向量为
因为 ，所以 ，则 ，
因为平面 与平面 的夹角为 ，
从而 ，故 面积的取值范围是 ．
所以 ，解得 ，
19.1）设 中点为E，连接 ，
易知 为正方形，且
设异面直线PB与CD所成角为 ，则 ，
所以 ，所以
因为 底面 底面 ，所以
又 面 , 面 ，
所以 平面
（2）因为 底面 ，在正方形 中 ，所以 两两互相垂直.
数学试题 第61页 （共66页） 数学试题 第62页 （共66页）
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