文档内容
成都外国语学校 2024—2025 学年度高二上期 10 月月考
数学试卷
注意事项：
1．本试卷分第I卷和第II卷两部分；
2．本堂考试120分钟，满分150分；
3．答题前，考生务必将自己的姓名、学号正确填写在答题卡上，并使用 2B铅
笔填涂；
4．考试结束后，将答题卡交回．
第I卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，
只有一项符合题目要求．
1．现须完成下列2项抽样调查：①从12瓶饮料中抽取4瓶进行食品卫生检查；②某生活
小区共有540名居民，其中年龄不超过30岁的有180人，年龄在超过30岁不超过60岁的
有270人，60岁以上的有90人，为了解居民对社区环境绿化方面的意见，拟抽取一个容量
为30的样本.较为合理的抽样方法分别为（ ）
A．①随机数法，②抽签法 B．①随机数法，②分层抽样
C．①抽签法，②分层抽样 D．①抽签法，②随机数法
2．已知向量 ， ，且 ，那么实数 等于（ ）
A．3 B．-3 C．9 D．-9
3．若 是两条不相同的直线， 是两个不同的平面，则下列命题中为真命题的是（
）
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
4．如图，空间四边形 中， ，点 为 中点，点 在侧棱
上，且 ，则 （ ）A． B．
C． D．
5．为了养成良好的运动习惯，某人记录了自己一周内每天的运动时长（单位：分钟），分
别为53，57，45，61，79，49，x，若这组数据的第80百分位数与第60百分位数的差为
3，则 （ ）
A．58或64 B．59或64 C．58 D．59
6．已知点 在 确定的平面内， 是平面 外任意一点，正数 满足
，则 的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．2
7．现有一段底面周长为 厘米和高为12厘米的圆柱形水管， 是圆柱的母线，两只蜗
牛分别在水管内壁爬行，一只从 点沿上底部圆弧顺时针方向爬行 厘米后再向下爬行3
厘米到达 点，另一只从 沿下底部圆弧逆时针方向爬行 厘米后再向上爬行3厘米爬行
到达 点，则此时线段 长（单位：厘米）为（ ）
A． B． C．6 D．12
8．如图，四边形 ，现将 沿 折起，当二面角 的大小在 时，直线 和 所成角为 ，则 的最大值为
（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0
分．
9．下列命题中，正确的是（ ）
A．两条不重合直线 的方向向量分别是 ， ，则
B．直线l的方向向量 ，平面 的法向量是 ，则
C．两个不同的平面 ， 的法向量分别是 ， ，则
D．直线l的方向向量 ，平面 的法向量 ，则直线l与平面 所成角
的大小为
10．小刘一周的总开支分布如图①所示，该周的食品开支如图②所示，则以下说法正确的
是（ ）A．娱乐开支比通信开支多5元
B．日常开支比食品中的肉类开支多100元
C．娱乐开支金额为100元
D．肉类开支占储蓄开支的
11．已知四面体 的所有棱长都为 分别是 的中点. 是该四面体内切
球球面上的两点， 是该四面体表面上的动点.则下列选项中正确的是（ ）
A. 的长为
B. 到平面 的距离为
C.当线段 最长时， 的最大值为
D.直线 与直线 所成角的余弦值为
第 II 卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．某校高一年级共有学生200人，其中1班60人，2班50人，3班50人，4班40人．该
校要了解高一学生对食堂菜品的看法，准备从高一年级学生中随机抽取40人进行访谈，若
采取按比例分配的分层抽样，则应从高一2班抽取的人数是 ．13．已知 ， ，若 三向量不能构成空间向量的一组
基底，则实数 的值为 .
14．在正方体 中，点 是 上的动点， 是平面 内的一点，且
满足 ，则平面 与平面 所成角余弦值的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算
步骤．
（满分13分）15．已知向量 ， ，
(1)求 的值；
(2)求 ；
(3)求 的最小值.
（满分15分）16．成都市政府委托市电视台进行“创建文明城市”知识问答活动，市电视
台随机对该市 岁的人群抽取了n人，绘制出如图所示的频率分布直方图，回答问题
的统计结果如表所示．组号 分组 回答正确的人数 回答正确的人数占本组的频率
第一
组 [15，25) 50 0.5
第二
[25，35) 180 a
组
第三
[35，45) 0.9
组
第四
[45，55) 90 b
组
第五
[55，65) y 0.6
组
（1）分别求出 的值；
（2）从第二、三、四、五组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取7人，则从第二、三、
四、五组每组回答正确的人中应各抽取多少人.
（满分15分）17．如图，在四棱锥 中， 是边长为2的正方形，平面
平面 ，直线 与平面 所成的角为 ， .
（1）若 ， 分别为 ， 的中点，求证：直线 平面 ；
（2）求二面角 的正弦值.
（满分17分）18．随着时代不断地进步，人们的生活条件也越来越好，越来越多的人注重自己的身材，其中体脂率是一个很重要的衡量标准.根据一般的成人体准，女性体脂率的正
常范围是 至 ，男性的正常范围是 至 .这一范围适用于大多数成年人，可以
帮助判断个体是否存在肥胖的风险.某市有关部门对全市 万名成年女性的体脂率进行一
次抽样调查统计，抽取了 名成年女性的体脂率作为样本绘制频率分布直方图,如图.
(1)求a；
(2)如果女性体脂率为 至 属“偏胖”，体脂率超过 属“过胖”，那么全市女性
“偏胖”，“过胖”各约有多少人？
(3)小王说：“我的体脂率是调查所得数据的中位数.”小张说：“我的体脂率是调查所得数
据的平均数.”那么谁的体脂率更低？（精确到小数点后2位）
（满分17分）19．如图，四面体 中， ．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)若 ，
①若直线 与平面 所成角为30°，求 的值；
②若 平面 为垂足，直线 与平面 的交点为 ．当三棱锥 体
积最大时，求 的值．高二上10月月考数学答案
一、单选题：C D C C A B A B
二、多选题：AC; BCD; BC
√3
3
三、填空题：10； 5；
四、解答题：
15: (1) (2) (3)
16:解：（1）依题和图表：由 得： ，由 得： ，
由 得： ，由 得： ，由 得： ，故
， ， ， ．
（2）由以上知：第二、三、四、五组回答正确的人数分别为：180人，270人，90人，90人用分层抽样抽
取7人，则：从第二组回答正确的人中应该抽取： 人，从第三组回答正确的人中应
该抽取： 人，从第四组回答正确的人中应该抽取： 人，从
第五组回答正确的人中应该抽取： 人，故从第二、三、四、五组每组回答正确的人
中应分别抽取：2人，3人，1人，1人．
17:【详解】（1）证明：∵平面 平面 ，平面 平面 ， ， 平面
，
∴ 平面 ，则 为直线 与平面 所成的角，为 ，∴ ，而 平面 ，
∴ 又 ， 为 的中点，∴ ， 平面 ，
则 平面 ，而 平面 ∴ ，又 ， 分别为 ， 的中点，
则 ，正方形 中， ，∴ ，又 平面 ， ，
∴直线 平面 ；
（2）解：以 为坐标原点，分别以 ， 所在直线为 ， 轴，过 作 的平行线为 轴建立如图所示空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ， ，
，
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，
取 ，得 ；设平面 的法向量为 ，则 ，即
，取 ，得 .
∴ .
∴二面角 的正弦值为 .
18:（1）由频率直方图可得， ，所以 .
（2）由频率分布直方图可得样本中女性“偏胖”的频率为 ，样本中女性“过胖”的频率为
，所以全市女性“偏胖”的人数约为 ，全市女性 “过胖”的人数约为
，
（3）调查所得数据的平均数为 ，设调查所得数
据的中位数为 ，因为 ， ，所以 ，所以
，所以 ，所以调查所得数据的中位数约为 ，所以小王的体脂
率约为 ，小张的体脂率为 ，所以小张的体脂率更低.
19:【详解】（1）取 的中点 ，连接 ，因为 ，则 ，所以 ，所以 ，所以 ，又因为 所以 ，
则 ，又因为 ，所以 ，又因为 ，
平面 ，所以 平面 ，又因为 平面 ，所以平面 平面
；
（2）①因为 两两相互垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
所以 ，设 ，因为 ，
所以由 可得： ，所以 ，
，设平面 的法向量为⃗n=(x,y,z)，则
，取 ，可得 ，所以 ，
因为直线 与平面 所成角为30°，所以
则 ，化简可得： ，解得： 或 （舍去）.
②由（1）知， 平面 ，又 平面
所以 ， 在 上，因为 ，所以 ，
，所以 ，即 ，所以 ，
所以 ，三棱锥 体积为：
，
因为 ，当 时，三棱锥 体积最大为 ，此时 分别为 ， 的中点，所以， 设 ，设
，
因为 ，所以 ，所以 ，
因为 在平面 上，所以设 ，所以
，所以
，解得： ，所以 ，所以 .
