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宜宾市四中高2021级高三一诊模拟考试
数学（理工类）
本试卷共4页，23小题，满分150分.考试用时120分钟.
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1．设全集 ，集合 ， ，则
A． B．
C． D．
2．设 ，则
A．0 B．1 C． D．3
3．几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为
A．729 B．428 C．356 D．243
4．已知 是两条直线， 是两个平面，则 的一个充分条件是
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
5．函数 的图像大致为
A． B．
1
学科网（北京）股份有限公司C． D．
6．如图，四棱柱 中， 分别是 、 的中点，下列结论中，正确的是
A． B． 平面
C． 平面 D． 平面
7．若函数 在 具有单调性，则a的取值范围是
A． B．
C． D．
8．已知函数 的部分图象如
图所示，则
A． B．
C． D．
9．已知函数 ，若 ， ， ,则a，b，c的大小关系是
A． B． C． D．
10．平面 过正方体 的顶点 ，平面 平面 ，平面 平面 ，则
直线 与直线 所成的角为
A． B． C． D．
11．已知函数 的最小正周期为 ,若 在 上单调递增,在
上单调递减,则实数 的取值范围是
2A． B． C． D．
12．若 都有 成立，则 的最大值为
A． B．1 C． D．
第II卷 非选择题（90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．若角 的顶点在坐标原点，始边为 轴的正半轴，其终边经过点 ， ．
14．若 ，则 ．
15．已知 是球O的球面上的三点， ，若三棱锥 的体积最大值
为1，则球的表面积为 .
16．设 （ 是坐标原点）的重心、内心分别是 ，且 ，若 ，则 的
最小值是 ．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考
题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：
共 60 分。
17．（12分）在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 .已知
.
（1）求 的值；
（2）若 ，求 的取值范围.
18．（12分）已知函数 （ 且 ）的两个相邻的
对称中心的距离为 ．
(1)求 在R上的单调递增区间；
(2)将 图象纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数 ，若 ，
，求 的值．
3
学科网（北京）股份有限公司19．（12分）已知函数 在 处取得极值.
(1)求 的值；
(2)求 在 上的值域.
20．（12分）如图，在三棱柱 中，棱 的中点分别为 在平面 内的
射影为D， 是边长为2的等边三角形，且 ，点F在棱 上运动（包括端点）．请
建立适当的空间直角坐标系，解答下列问题：
(1)若点 为棱 的中点，求点 到平面 的距离；
(2)求锐二面角 的余弦值的取值范围．
21．（12分）已知函数 .
（1）当 时,讨论函数 的单调性；
（2）当 时,若关于 的不等式 恒成立,求实数 的取值范围.
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第
一题计分。
22.[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）.以原点 为极点， 轴
正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
（1）求曲线 普通方程和 的直角坐标方程；
（2）已知曲线 的极坐标方程为 ，点 是曲线 与 的交点，点 是曲线
与 的交点，且 ， 均异于原点 ，且 ，求 的值.
423.[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）
已知函数 ， ．
（1）解不等式 ；
（2）若对任意的 ，都存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围．
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