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绵阳市高中 2022 级第三次诊断性考试
数学参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
BABC DACC
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．
9．ACD 10．AB 11．AB
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12．−8 13．0.42 14．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．解：（1）设数列公比为 ，
由 ， ， 成等差数列得： ，····································3分
∴ ，即： ，可得 ，····························5分
数列{a}的通项公式为： ；························································6分
n
（2）
······························································7分
······························································8分
···························································9分
············································································11分
（或 ）．··················································13分
数学参考答案及评分标准 第 1 页 共 10 页16．解：（1） ，令 ，···········································1分
∵函数 在 处取得极值．
，则 ，······································································2分
∴
，······················································3分
令 ，可得 ，或 ，·····················································4分
， ， 单调递增；
， ， 单调递减；················································5分
， ， 单调递增，············································6分
∴ 的极小值为 ；···············································7分
（2）由（1）可知 在[1，2]上单调递减，········································8分
∴ ， ，················································9分
∴ ，·······················································10分
∴ ···············································13分
∴当 ， ．············································15分
数学参考答案及评分标准 第 2 页 共 10 页17．解：（1）梯形 中DA，CB，EF不平行，延长DA，CB，EF，
1 1
记 ， ，
∵ ，·································2分
∴△MFD≌△NFC，则FM=FN，即M，N重合，···································3分
1
∴ ，所以A，B，D，C四点共面；··································4分
1 1
（2）∵平面AEFD⊥平面BEFC，面 面 ， ，
1
∴DF⊥面 ，则DF⊥面CF，······················································5分
1 1
易知FE，FC，FD 两两垂直，不妨以F为坐标原点，以FE，FC，FD 分别为x轴，
1 1
y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz．······································6分
不妨设AE=BE=a，则 ， ， ，C(0，a+1，
1
0)，D(0，0，a+1)，
1
则 ， ，·······································7分
由 可知， ，
可解 ，·····················································································8分
∴ ；·············································································9分
（3）∵平面 面 ，记面 面 ，在平面EFP内过点E
作直线m⊥l，
∴ ，·················································································10分
又∵ 面 ，∴ ，且 面 ， 面 ，
∴ 面 ，∴ ，
在等腰直角三角形△DFC中FP为中线，即点P为CD 的中点；··············11分
1 1
由第（2）问可知 ， ，C(0，3，0)，
则 ，····················································12分
不妨设平面BFP的法向量为n=(x，y，z)，取平面BEFC的法向量为m=(0，0，1)
平面BFP与平面BEFC所成角为 ，
即 ，不妨取 ， ·····················13分
则 ，·············································14分
数学参考答案及评分标准 第 3 页 共 10 页∴平面BFP与平面BEFC夹角的余弦值为 ．····································15分
18．解：（1） ，则 即a=1，····················································1分
又 ，解得 ，··································································2分
∴双曲线C的方程为 ．························································3分
2）方法一：设 ，则由 ，
（
可得： ，····················································4分
又点T在双曲线C上，则 ，
化简整理得： ，······························5分
又 ， 均在双曲线C上，则 ， ，
代入上式整理得： ……①，···········································6分
易知直线l 的斜率为0时，不符合题意，
1
设直线l 方程为 ，则 ，
1
代入①得： ……②
联立 ，得： ，····································7分
由韦达定理可得： ，·················································8分
代入②式得： ，····································9分
解得： ，即 ，此时 ，则直线l 与双曲线C右支有两个交点，
1
数学参考答案及评分标准 第 4 页 共 10 页即直线l 方程为 ；···························································10分
1
方法二：易知直线l 的斜率为0时，不符合题意，设直线l 方程为 ，
1 1
，MN的中点为P(x，y)，
0 0
联立 ，得代入①得： ，··········4分
由韦达定理可得： ，·················································5分
∴ ， ，···················6分
由 =
则
∴ ，·································································7分
代入双曲线C的方程可得： ，
∴ ，···········································································8分
∴ ，或 ，········································································9分
当 时，直线l 与双曲线的渐进性平行，不符合题意，
1
∴直线l 方程为 ；···························································10分
1
（3）设直线l 方程为 ，直线l 方程为 ，
1 2
由 ，则 ，即 ，································11分
∴ ， ，则 (当且仅当 时
取等号)
数学参考答案及评分标准 第 5 页 共 10 页， ， ， ，
设
则 ，
同理可得： ，···································12分
故 ，
同理： ，
∴ ……③······························13分
联立 得： ，
由韦达定理可得： ，同理可得： ，代入③得：
=
= ·························································14分
令 ，则 ，··················15分
令 ，则 在区间[6，10)上单调递增，
∴ ，···········································································16分
故当 ， 时， 的最小值为 ．····17分
方法二： （当且仅当 ， 时，等
号成立），··························································································16分
∴ 的最小值为 ．········································17分
数学参考答案及评分标准 第 6 页 共 10 页数学参考答案及评分标准 第 7 页 共 10 页19．解：（1）当n = 3时，巴士从(0，0)行驶到(2，1)时，共有 种行驶路线；
从(2，1)行驶到(3，3)时，共有 种行驶路线；·································2分
因此经过(2，1)的行驶路线共有 种；···········································4分
（2）（i）方法一：
除去起点A与终点B外，巴士一定会经过7个格点，若游客恰好游览了7个景点，
说明巴士一定不经过AB对角线上的格点．
∴巴士第一步必然到达(1，0)或(0，1)格点，且必然从(4，3)或(3，4)到达终点．在
这个过程中既不会穿过AB对角线，也不会到达对角线上的格点．····················5分
考虑对称性，不妨先计算从格点(1，0)到达格点(4，3)，且不经过(1，0)与(4，3)连
线上方格点的路线总数．·········································································6分
假设向右行驶记为1，向上行驶记为−1，那么每条行驶路线实际唯一对应一个含3
个1与3个−1的序列a ，a ，…，a ．行驶路线不经过(1，0)与(4，3)连线上方格点，
1 2 6
等价于对任意前k段，向右行驶的段数都不小于向上行驶的段数，即 ．
根据题意，满足条件的路线总数应为 种．·····························8分
从而从格点(0，1)到达格点(3，4)，且不经过(0，1)与(3，4)连线上方格点的路线总
数也为5种．
因此游客游览了7个景点的路线总数为10种．·······································9分
方法二：当n = 4时，巴士总共有 种行驶路线，··························5分
除去起点A与终点B外，巴士一定会经过7个格点，若游客恰好游览了7个景点，
说明巴士一定不经过AB对角线上的格点，即(1，1)，(2，2)，(3，3)，
设经过格点C(1，1)，D(2，2)，E(3，3)分别为事件C，D，
E，
C D
则经过格点C的路线总数为 种，
E
经过格点D的路线总数为 种，
经过格点E的路线总数为 种，
经过格点C与格点D的路线总数为 种，
同理 种， 种，
经过格点C，D，E的路线总数为 种，·········7分
因此经过格点C或格点D或格点E的路线总数为：
，8分
用韦恩图可如上图表示，
故游客恰好游览了7个景点的路线总数为 种；·························9分
（ii）要保证游客能够分别浏览两个景区至少1个景点，即行驶路线必须穿过对角
线AB．不妨先考虑只经过AB及其右下方格点的行驶路线，设总数为R(n)，假设向右
行驶记为1，向上行驶记为−1，那么每条行驶路线实际唯一对应一个含 n个1与n个
数学参考答案及评分标准 第 8 页 共 10 页−1的序列a，a，…，a ．行驶路线不经过AB左上方的格点，等价于对任意前k段，
1 2 2n
向右行驶的段数都不小于向上行驶的段数，即 ，······························10分
····································································11分
由题意
··················································12分
∴行驶路线不经过AB右下方格点的种数也应为 ，
∴行驶路线穿过对角线AB的种数为 ，
故 ．
只需证： ，n≥5．·······························13分
当n = 5时， ，上式显然成立．
当n≥6时，令 ，
显然， ．············································································14分
且 ，
∵ ( )，当且仅当 时取等，
不难知 ，故 ，·····················15分
所以 ，········16分
即 ，
综上所述： ．··········································17分
（注：也可以假设 ，对整理后的一元二次不等式进
数学参考答案及评分标准 第 9 页 共 10 页行验证）
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