文档内容
2023 级高二下学期 3 月阶段考
数学（人教 A 版）试题 D
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分 150 分，考试时间 120 分钟．请
在答题卡上作答．
第Ⅰ卷（选择题 共 58 分）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题满分 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中只有一
项符合题目要求．
1. （ ）
A. 14 B. 16 C. 18 D. 24
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，结合排列数和组合数的公式，准确计算，即可求解.
【详解】由排列数和组合数的公式，可得 .
故选：C.
2. 若椭圆 C： 的焦点和顶点分别是双曲线 E 的顶点和焦点，则双曲线 E 的标准方程为（
）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由椭圆的方程先求出双曲线的焦点和顶点坐标，再结合 即可求解.
【详解】由椭圆 可得 ， ， ，且焦点在 y 轴上，
可知椭圆的长轴顶点为 ，焦点为 ，
所以双曲线的焦点为 ，顶点为 ，
设双曲线方程为 ，可得 ， ，则 ，
第 1页/共 18页所以双曲线 的方程为 .
故选：A.
3. 已知随机变量 ，且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据正态分布的性质直接求解即可.
【详解】由 ，得 ，
故 ．
故选：B
4. “点 在圆 外”是“直线 与圆 相交”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】由题意可知，圆 的圆心为原点，半径为 ，
若点 在圆 外，则 ，
则圆心 到直线 的距离为 ，此时，直线 与圆 相交，
即“点 在圆 外” “直线 与圆 相交”；
若直线 与圆 相交，则 ，可得 ，
不妨取 ， ，则 ，此时，点 在圆 内，
所以，“点 在圆 外” “直线 与圆 相交”.
因此，“点 在圆 外”是“直线 与圆 相交”的充分不必要条件.
第 2页/共 18页故选：A.
5. 编号为 1，2，3，4，5，6，7 的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，若任意两盏亮灯不相邻，则不同的开
灯方案有（ ）
A. 10 种 B. 12 种 C. 15 种 D. 18 种
【答案】A
【解析】
【分析】在四盏熄灭的灯中，使用插空法即可求解；
【详解】四盏熄灭的灯产生的 5 个空中放入 3 盛亮灯，即不同的开灯方案有 （种）
故选：A
6. 已知点 的坐标为 ，动点 满足 ， 为坐标原点，则 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出 点的轨迹为以点 为圆心， 为半径的圆，从而 的最大值为 ，得到答
案.
【详解】点 的坐标为 ，动点 满足 ，
故 点的轨迹为以点 为圆心， 为半径的圆，
圆的方程为 ，
圆心 与原点 的距离为 ，
则 的最大值为 .
故选：B
7. 已知 是椭圆 上两点， 分别为 的左、右焦点，
，则 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
第 3页/共 18页【答案】D
【解析】
【分析】由已知，可得 ， 点共线，设 ，可得 ，由
的周长为 ，可得 ，在 中，利用勾股定理有 ，化简整
理，即可求出离心率.
【详解】由 可知，
，由 得， 点共线.
又 ，设 ，
连接 ，则 ，
由椭圆的定义可知 的周长为 ，
则 ，解得 ，
所以 ，再根据椭圆的定义可知， ，
则在 中， ，即 ，
解得 .
故选：D.
【点睛】关键点点睛：由 ，设 ，得到 ，由 的
周长为 ，可得 ，再在 中，利用勾股定理即可.
8. 有甲、乙两个不透明的袋子，甲袋子里有 1 个白球，乙袋子里有 5 个白球和 5 个黑球，现从乙袋子里随
机取出 个球放入甲袋子里，再从甲袋子里随机取出一个球，记取到的白球的个数为
，则当 变大时（ ）
A. 变小 B. 先变小再变大
第 4页/共 18页C. 变大 D. 先变大再变小
【答案】A
【解析】
【分析】运用超几何分布与两点分布，求解离散随机变量的期望，然后判断选项.
【详解】由题意可知，从乙盒子里随机取出 个球，其中白球的个数 服从超几何分
布，则 ．故从甲盒子里随机取一球，相当于从含有 个白球的 个球中取一球，
取到白球的个数为 ，
易知随机变量 服从两点分布，故 ，
所以 ，随着 的增加， 减小.
故选：A
二、选择题：本题共 3 个小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得 6 分，有选错的得 0 分，部分选对的得部分分．
9. 已知 的展开式中第 4 项与第 5 项的二项式系数相等，则（ ）
A. B. 所有项的系数和为 1
C. 没有常数项 D. 的系数为 14
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据二项式系数计算判断 A，赋值法判断 B，根据通项公式判断 CD.
【详解】因为第 4 项与第 5 项的二项式系数相等，所以 ，解得 ，故 A 错误;
令 ，可得展开式中所有项的系数和为 ，故 B 正确;
在 中，第 项 ，
取 ，即 ，所以不存在常数项，故 C 正确;
取 ，即 ，所以 ，所以 的系数为 14，故 D 正确.
故选：BCD
第 5页/共 18页10. 如图，某电子实验猫线路图上有 A，B 两个红绿指示灯，当遇到红灯时，实验猫停止前行，恢复绿灯后，
继续前行，A，B 两个指示灯工作相互独立，且出现红灯的概率分别为 ， ．同学甲从第一次
实验到第五次实验中，实验猫在 A 处遇到红灯的次数为 X．同一次试验中在 A，B 两处遇到红灯的次数之和
为 Y，则（ ）
A.
B. 一次实验中，A，B 两处至少遇到一次红灯的概率为
C.
D. 当 时，
【答案】BD
【解析】
【分析】根据二项分布的概率公式和方差公式计算可判断选项 A、C；利用相互独立事件的概率公式和对立
事件的概率公式可判断选项 B；应用数学期望公式可判断选项 D.
【详解】由题意可知： ，
所以 ,
，故选项 A、C 错误.
对于选项 B：因为 A，B 两个指示灯工作相互独立，
所以在一次实验中 A，B 两处都不遇到一次红灯的概率为 .
根据对立事件的概率公式可得：
一次实验中，A，B 两处至少遇到一次红灯的概率为 ，故选项 B 正确.
第 6页/共 18页对于选项 D：根据题意可知：Y 的所有可能取值有： ， ， .
当 时， ,
,
.
所以 ，故选项 D 正确.
故选：BD.
11. 已知 为坐标原点，抛物线 ： 的焦点为 ，抛物线 的准线为 ，点 在抛物线 上，直线
过点 且与 交于 ， 两点，则（ ）
A. 若点 的坐标为 ，则 的最小值为 3
B. 以线段 为直径的圆与直线 相离
C. 点 到直线 的最小距离为
D. 可能为钝角三角形
【答案】AB
【解析】
【分析】由抛物线的定义可得 A 正确；设 ，直线 的方程为 ，联立曲线
方程，然后用韦达定理求出弦长 ，再利用换元法求出中点到准线的距离可得 B 正确；由点到直线的距
离公式结合二次函数可得 C 错误；由向量垂直的坐标表示结合韦达定理可得 D 错误.
【详解】对于 A，作 于 ，由抛物线的定义可得 ，
当 三点共线时取等号，故 A 正确；
第 7页/共 18页对于 B，设 ，直线 的方程为 ，
联立 ，消去 可得 ， ，
，
设线段 的中点为 ，则 ，
，
到准线的距离为 ，
则 ，
设 ，则 ，
所以 ，所以以线段 为直径的圆与直线 相离，故 B 正确；
对于 C，设 ，由点到直线的距离公式可得 ，
当 时，距离的最小值为 ，故 C 错误；
对于 D，设 ，则 ，
由 B 可得 ，
所以 ，故 D 错误.
故选：AB
第Ⅱ卷（非选择题 共 92 分）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 已知 ，设直线 ， ，若 ，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】由两直平行得到 ，求解并验证即可；
第 8页/共 18页【详解】因为直线 ， ， ，
所以 ，即 ，
当 时，直线重合，舍去，
当 时，符合题意；
故 ；
故答案为：
13. 已知点 在抛物线 上，且到 的焦点的距离为 ，则实数
__________.
【答案】 ##
【解析】
【分析】由抛物线定义求出 ，得到抛物线方程，再将点 代入，即可求得 .
【详解】由抛物线的定义可知， ，
解得 ，所以 ，
将点 代入得， ，又 ,所以 .
故答案为： .
14. 如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着 10 排相互平行但错开的小木钉，小木钉之间留有适当
的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落过程中，假定其每次碰到小木钉后，向
左下落的概率为 ，向右下落的概率为 ，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为 0，1，2，…，
10，则小球落入_________号格子的概率最大.
第 9页/共 18页【答案】
【解析】
【分析】利用 次独立重复试验中，小球掉入 号格子的概率为 ，设小球
掉入 号格子的概率最大，则 ，再利用组合数公式，结合题目已知条
件即可求解.
【详解】小球下落需要 10 次碰撞，每次向左落下的概率为 ，向右下落的概率为 ，
小球掉入 0 号格子，需要向左 10 次，则概率为 ；
小球掉入 1 号格子，需要向左 9 次，向右 1 次，则概率为 ；
小球掉入 2 号格子，需要向左 8 次，向右 2 次，则概率为 ；
小球掉入 3 号格子，需要向左 7 次，向右 3 次，则概率为 ；
依此类推，小球掉入 号格子，需要向 左次，向右 次，概率为 ，
设小球掉入 号格子的概率最大，显然 ，
第 10页/共 18页则 ，即 ，
即
解得 ，
又 为整数，
，
则小球落入 8 号格子的概率最大.
故答案为： .
四、解答题：本大题共 5 个小题，共 77 分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步
骤．
15 一场小型晚会有 个唱歌节目和 个相声节目，要求排出一个节目单．
（1） 个相声节目要排在一起，有多少种排法？
（2） 个相声节目彼此要隔开，有多少种排法？
（3）第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有多少种排法？
（4）前 个节目中要有相声节目，有多少种排法？
（要求：每小题都要有过程，且计算结果都用数字表示）
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4） .
【解析】
【分析】（1）将 个相声节目进行捆绑，与其它 个节目形成 个元素，利用捆绑法可求得排法种数；
（2）将 个相声节目插入其它 个节目所形成的空中，利用插空法可求得排法种数；
（3）第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，则 个节目排在中间，利用分步乘法计数原理可求得排法
种数；
（4）在 个节目进行全排的排法种数中减去前 个节目中没有相声节目的排法种数，由此可求得结果.
【详解】（1）将 个相声节目进行捆绑，与其它 个节目形成 个元素，然后进行全排，
所以，排法种数为 种；
第 11页/共 18页（2）将 个相声节目插入其它 个节目所形成的 个空中，则排法种数为 种；
（3）第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，则其它 个节目排在中间，进行全排，
由分步乘法计数原理可知，排法种数为 种；
（4）在 个节目进行全排 排法种数中减去前 个节目中没有相声节目的排法种数，
可得出前 个节目中要有相声节目的排法种数为 .
【点睛】本题考查排列组合综合问题，考查捆绑法、插空法、分步乘法计数原理以及间接法的应用，考查
计算能力，属于中等题.
16. 某校体育节组织比赛，需要志愿者参加服务的项目有：60 米袋鼠跳、100 米、200 米、1500 米、3000
米、4×100 米接力．
（1）志愿者小明同学可以在 6 个项目中选择 3 个项目参加服务，求小明在选择 60 米袋鼠跳服务的条件下，
选择 3000 米服务的概率；
（2）为了调查志愿者选择服务项目 情况，从志愿者中抽取了 15 名同学，其中有 9 名首选 100 米，6 名首
选 4×100 米接力．现从这 15 名同学中再选 3 名同学做进一步调查．将其中首选 4×100 米接力的人数记作 X
，求随机变量 X 的分布列和数学期望．
【答案】（1） ；
（2）分布列见详解， .
【解析】
【分析】（1）小明选择 60 米袋鼠跳服务为事件 ，小明选择 3000 米服务为事件 ，利用组合知识和古典
概型概率公式求出 ，然后由条件概率公式可得；
（2）根据超几何分布概率公式计算可得分布列，再由期望公式可得数学期望.
【小问 1 详解】
记小明选择 60 米袋鼠跳服务为事件 ，小明选择 3000 米服务为事件 ，
则 ， ，
所以 ，
第 12页/共 18页即小明在选择 60 米袋鼠跳服务的条件下，选择 3000 米服务的概率为 .
【小问 2 详解】
由题知， 的所有可能取值为 ，
由超几何分布概率公式得：
，
.
得随机变量 X 的分布列为：
0 1 2 3
所以 .
17. 如图，在正四棱锥 中， ， 为侧棱 SD 的中点．
（1）求证： ；
（2）求点 到平面 PAC 的距离；
（3）求平面 SBC 与平面 PAC 夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
第 13页/共 18页【分析】（1）利用空间向量的坐标运算证明垂直关系；
（2）利用空间向量的坐标运算求点到直线的距离；
（3）利用空间向量的坐标运算求平面与平面夹角的余弦值.
【小问 1 详解】
连接 交 于点 ，连接 ,
因为 是正四棱锥，所以 平面 ，
且 平面 ，所以 ,
又因为 为正方形，所以 ,
所以以 方向为 轴建立如图所示空间指标坐标系，
因为 ，所以 , ,
所以 , ,
所以 ,
所以 ，
，所以 .
【小问 2 详解】
设平面 的一个法向量为 ，
,
所以 ，即 ，令 ，可得 ，
第 14页/共 18页所以点 到平面 PAC 的距离为 .
【小问 3 详解】
设平面 的一个法向量为 ，
,
所以 ，即 ，令 ，可得 ，
设平面 SBC 与平面 PAC 夹角为 ，则由图可知 为锐角，
所以 即为所求.
18. 已知过点 的双曲线 的渐近线方程为 .如图所示，过双曲线 的右焦点 作与坐
标轴都不垂直的直线 交 的右支于 两点.
（1）求双曲线 的标准方程；
（2）若双曲线 上的点 到其两条渐近线的距离分别为 ，求 的值；
（3）已知点 ，求证： .
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由渐近线方程得到 ，代入点 即可求解；
（2）由点到线的距离公式求解即可；
第 15页/共 18页（3）设直线方程 ，联立双曲线方程，结合韦达定理，由 即可求证；
【小问 1 详解】
因为双曲线 的渐近线方程为 ，
所以设双曲线方程为 ，
又双曲线过点 ，
则 ，所以双曲线 方程为 ，
即 .
【小问 2 详解】
因为 在曲线 上，
则 ，
渐近线方程： ，
所以：
【小问 3 详解】
由（1）可知 的斜率存在且不为 0，设 的方程为 ，
联立 ，消去 得 ，
设 ，由题意得 ，
则 ，
第 16页/共 18页所以
，
所以 得证.
【点睛】关键点点睛：由 ，求证 ；
19. 手工刺绣是中国非物质文化遗产之一，指以手工方式把图案设计和制作添加在编织物上的一种艺术，大
致分为三个环节，简记为工序 ，工序 ，工序 ．经过试验测得小李在这三道工序成功的概率依次为 ，
， ．现某单位推出一项手工刺绣体验活动，报名费 30 元，成功通过三道工序最终的奖励金额是 200 元，
为了更好地激发参与者的兴趣，举办方推出了一项工序补救服务，可以在活动开始前付费聘请技术员，若
某一道工序没有成功，可以由技术员完成本道工序，技术员只完成其中一道工序，且只能聘请一位技术员，
需另付聘请费用 100 元，若制作完成后没有接受技术员补救服务的退还一半的聘请费用．
（1）求小李独立成功完成三道工序的概率；
（2）若小李聘请一位技术员，且接受技术员补救服务，求他成功完成三道工序的概率；
（3）为了使小李获得收益 期望值更大，请问小李是否需要聘请一位技术员？请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）小李需要聘请一位技术员，理由见解析
【解析】
【分析】（1）利用独立事件概率乘法公式得到小李独立成功完成三道工序的概率；
第 17页/共 18页（2）分三种情况，求出相应的概率，再相加得到答案；
（3）分别求出没有聘请技术员参与比赛，和聘请技术员参与比赛，收益的期望值，比较后得到结论.
【小问 1 详解】
设事件 “小李独立成功完成三道工序”
则 ．
【小问 2 详解】
设事件 “小李聘请一位技术员，且接受技术员补救服务，成功完成三道工序”，
当技术员完成工序 时，小李成功完成三道工序的概率为： ，
当技术员完成工序 时，小李成功完成三道工序的概率为： ，
当技术员完成工序 时，小李成功完成三道工序的概率为： ，
故 ．
【小问 3 详解】
若小李没有聘请技术员参与比赛，设小李最终收益为 ，
，所以 ，
若小李聘请一位技术员参与比赛，设小李最终收益为 ，
有如下几种情况：
技术员最终未参与补救仍成功完成三道工序，此时 ，
由（1）知， ，
技术员参与补救并成功完成三道工序，此时 ，由（2）知 ，
技术员参与补救但仍未成功完成三道工序，此时 ，
，
所以 ，
因为 ，所以小李需要聘请一位技术员．
第 18页/共 18页
