第25套：2024年2月“圆梦杯”模拟考试（四）（AB卷）(1)_2024年4月_01按日期_6号_2024届新结构高考数学合集_新高考19题（九省联考模式）数学合集140套_2024年2月“圆梦杯”模拟考试（四）

2024 年普通高等学校招生“圆梦杯”统一模拟考试（四） 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1．已知集合M {x|x2 2x≤3}，N {y| y2x}，则M N  A．(1,1) B．(0,) C．[0,3] D．(0,3] 2．在复平面内，(1i)(23i)对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知直线l:yxm(m0)与C:(x1)2  y2 2交于A，B两点，若|AB|2， 则m A．1 B． 2 C． 21 D． 31 3 4．已知命题 p:“tan2”，命题q:“cos2 ”，则命题 p是命题q的 5 A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3 5．已知alog 3，blog 5，c ，则 2 3 2 A．abc B．acb C．bca D．cba 1 6．已知函数 f(x) 的图象关于点(1, f(1))对称，则a ex a A．1 B．2 C．e D．e2 数学试题 第1 页（共4页）x2 y2 x2 y2 7．已知椭圆C :  1(ab0)与双曲线C :  1(m0)有公共焦点，记 1 a2 b2 2 m2 b2 C 与C 在x轴上方的两个交点为A，B，过C 的右焦点作x轴的垂线交C 于M ， 1 2 1 2 4 3 N 两点，若|AB| |MN|，则C 的离心率为 3 1 3 2 4 3 A． B． C． D． 7 3 5 2  y 8．已知函数 f(x)sin(x) (0,|| )，如图，A， 2 B，C 是曲线y f(x)与坐标轴的三个交点，直线BC交 B C A 曲线y f(x)于点M ，若直线AM ，BM 的斜率分别为 O x M 3 ，3，则 7  A． B． C．2 D．4 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．在某市高三年级举行的一次数学期末考试中，为了 解考生的成绩情况，随机抽取了50名考生的成绩， 作出的频率分布直方图如图．成绩排在前10%的学 生将获得“优秀学生”称号，则 A．估计该市考生的成绩低于60分的比例为16% B．估计该市考生成绩的众数为60 C．估计该市考生成绩的平均数为70.6 D．估计该市82分以上的考生将获得“优秀学生”称号 10．记函数 f (x) 的导函数为 f (x) ，已知 f (x)x2ex ，若数列{a }，{b } 满足 n n1 1 n n f (x)(x2 a xb )ex，则 n n n A．{a }为等差数列 B．{b }为等比数列 n n 50 1 48 C．  D．8b ≤2a n b 49 n n3 n 数学试题 第2 页（共4页）11．已知抛物线E:y2 x，O为坐标原点，过A(1,0)作x轴的垂线交直线ykx于点B， 点C 满足OB2BC ，过 B作 x轴的平行线交E 于点 P（P在B的右侧），若 OPC3OBA，则 A．|BC||CP| B．|BP||CP| 1 15 C．sinCOP D．△OPC的面积为 4 6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。  12．已知向量a，b的夹角为 ，若|b|2，|ab|2 7 ，则|a|三生三世． 3 13．已知三棱锥PABC 的各顶点均在半径为2的球O表面上，AOBAOC60， OBOC，则三棱锥OABC的内切球半径为三生三世；若AP2 2 ，则三棱锥 OPBC 体积的最大值为三生三世． lnx 14．已知数列{a }满足a ea n 1，函数 f(x) 的极值点为x ，若x (a 1)lna ， n n1 x1 0 0 2 4 则a a 三生三世． 1 2 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 如图，在三棱柱ABCABC 中，AA  AB ，ABBC ，四边形BCC B 是菱形． 1 1 1 1 1 1 1 1 B （1）证明：AC BC； 1 C 1 1 1 3 （2）若ABBC  BC，求二面角BAC C A 3 1 1 1 的正弦值． C B A 16．（15分） 已知数列{a }的各项均为正数，a 1，a a ≥a2 ． n 1 n2 n n1 （1）若a 3，证明：a ≥3n1； 2 n 1 1 1 （2）若a 512，证明：当a 取得最大值时，   2． 10 4 a a a 1 2 n 数学试题 第3 页（共4页）17．（15分） 已知函数 f(x)xa x (x0,a1)． （1）讨论 f(x)的单调性； （2）若 f(x)存在极值点x ，证明：x 随着a的增大而增大． 0 0 18．（17分） 某游戏设计者设计了一款游戏：玩家在一局游戏内，每点击一次屏幕可以获得一张 卡片，共有“A”和“B”两种卡片．每位玩家的初始分数为0，每获得一张“A”加1 分，每获得一张“B”减1分．已知某位玩家在一局游戏内共点击屏幕i次，设该玩家 获得“A”的次数为X ，最终分数为Y ． i i 1 （1）若玩家每次点击屏幕时，获得“A”和“B”的概率均为 ，求X 的分布列 2 3 与数学期望，并直接写出E(X )的值； i （2）若该游戏系统通过一个计数器来控制玩家获得“A”和“B”的概率．计数器 会记录玩家已经点击屏幕的次数n（初始值为0），若n为偶数，则玩家下一次点击屏 1 幕时，获得“A”和“B”的概率均为 ，若n为奇数，则玩家下一次点击屏幕时，获得 2 2 1 “A”的概率为 ，获得“B”的概率为 ．求D(Y)． 3 3 i 附：若随机变量X 和X 的取值是相互独立的，则D(X  X )D(X )D(X )． 1 2 1 2 1 2 19．（17分） y2 已知双曲线C :x2  1与曲线C :2(xm)2 (yn)2 6有4个交点A，B，C ， 1 2 2 D（按逆时针排列）． （1）当mn0时，判断四边形ABCD的形状； （2）设O为坐标原点，证明：|OA|2 |OB|2 |OC|2 |OD|2为定值； （3）求四边形ABCD面积的最大值． 附：若方程x4 ax3 bx2 cxd 0有4个实根x ，x ，x ，x ，则 1 2 3 4 x x x x a，x x x x x x x x x x x x b． 1 2 3 4 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 数学试题 第4 页（共4页）2024 年普通高等学校招生“圆梦杯”统一模拟考试（四） 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1．已知集合M {x|x2 2x≤3}，N {y| y2x}，则M N  A．(1,1) B．(0,) C．[0,3] D．(0,3] 2．在复平面内，(1i)(23i)对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知直线l:yxm(m0)与C:(x1)2  y2 2交于A，B两点，若|AB|2， 则m A．1 B． 2 C． 21 D． 31 3 4．已知命题 p:“tan2”，命题q:“cos2 ”，则命题 p是命题q的 5 A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3 5．已知alog 3，blog 5，c ，则 2 3 2 A．abc B．acb C．bca D．cba 1 6．已知函数 f(x) 的图象关于点(1, f(1))对称，则a ex a A．1 B．2 C．e D．e2 数学试题 第 1 页（共5页） 7．已知函数 f(x)sin(x) (0,|| )，如图，A， y 2 B，C 是曲线y f(x)与坐标轴的三个交点，直线BC交 B C A 曲线y f(x)于点M ，若直线AM ，BM 的斜率分别为 O x M 3 ，3，则 7  A． B． C．2 D．4 2 a8．已知三棱锥PABC 的各顶点均在半径为2的球O表面上，AOBAOC60， OBOC，若AP2 2 ，则三棱锥OPBC 体积的最大值为 2 2 2 2 2 A． B． C． D． 6 4 3 3 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9．已知正四棱锥PABCD的表面积为12，AB2，则 A．APBD B．APCP C．点C 到平面ABP的距离为 2 15 D．直线DP与平面ABP所成角的正弦值为 5 10．在某市高三年级举行的一次数学期末考试中，为了 解考生的成绩情况，随机抽取了50名考生的成绩， 作出的频率分布直方图如图．成绩排在前10%的学 生将获得“优秀学生”称号，则 A．估计该市考生的成绩低于60分的比例为16% B．估计该市考生成绩的众数为60 C．估计该市考生成绩的平均数为70.6 D．估计该市82分以上的考生将获得“优秀学生”称号 数学试题 第 2 页（共5页）11．记函数 f (x) 的导函数为 f (x) ，已知 f (x)x2ex ，若数列{a }，{b } 满足 n n1 1 n n f (x)(x2 a xb )ex，则 n n n A．{a }为等差数列 B．{b }为等比数列 n n 50 1 48 C．  D．8b ≤2a n b 49 n n3 n 12．已知抛物线E:y2 x，O为坐标原点，过A(1,0)作x轴的垂线交直线ykx于点B， 点C 满足OB2BC ，过 B作 x轴的平行线交E 于点 P（P在B的右侧），若 OPC3OBA，则 A．|BC||CP| B．|BP||CP| 1 15 C．sinCOP D．△OPC的面积为 4 6 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．在(2x2 x1)4的展开式中，x5的系数为三生三世（用数字作答）．  14．已知向量a ，b ，c 满足abc0 ，若a,b ，|b|2 ，|c|2 7 ，则 3 cosb,c三生三世． x2 y2 x2 y2 15．已知椭圆C :  1(ab0)与双曲线C :  1(m0)有公共焦点，记 1 a2 b2 2 m2 b2 C 与C 在x轴上方的两个交点为A，B，过C 的右焦点作x轴的垂线交C 于M ， 1 2 1 2 4 3 N 两点，若|AB| |MN|，则C 的离心率为三生三世． 3 1 lnx 16．设函数 f(x) 的极值点为x ，则x f(x )三生三世；数列{a }满足a ea n 1， x1 0 0 0 n n1 若x (a 1)lna ，则a a 三生三世． 0 2 4 1 2 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（10分） 记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acosC( 2bc)cosA0． （1）求A； b （2）设△ABC的面积为S，若a2 10S，求 ． c 数学试题 第 3 页（共5页）18．（12分） 如图，在三棱柱ABCABC 中，AA  AB ，ABBC ，四边形BCC B 是菱形． 1 1 1 1 1 1 1 1 B （1）证明：AC BC； 1 C 1 1 1 3 （2）若ABBC  BC，求二面角BAC C A 3 1 1 1 的正弦值． C B A 19．（12分） 已知数列{a }的各项均为正数，a 1，a a ≥a2 ． n 1 n2 n n1 （1）若a 3，证明：a ≥3n1； 2 n 1 1 1 （2）若a 512，证明：当a 取得最大值时，   2． 10 4 a a a 1 2 n 20．（12分） 已知函数 f(x)xa x (x0,a1)． （1）讨论 f(x)的单调性； （2）若 f(x)存在极值点x ，证明：x 随着a的增大而增大． 0 0 21．（12分） 某游戏设计者设计了一款游戏：玩家在一局游戏内，每点击一次屏幕可以获得一张 卡片，共有“A”和“B”两种卡片．每位玩家的初始分数为0，每获得一张“A”加1 分，每获得一张“B”减1分．已知某位玩家在一局游戏内共点击屏幕i次，设该玩家 获得“A”的次数为X ，最终分数为Y ． i i 1 （1）若玩家每次点击屏幕时，获得“A”和“B”的概率均为 ，求X 的分布列 2 3 与数学期望，并直接写出E(X )的值； i （2）若该游戏系统通过一个计数器来控制玩家获得“A”和“B”的概率．计数器 会记录玩家已经点击屏幕的次数n（初始值为0），若n为偶数，则玩家下一次点击屏 1 幕时，获得“A”和“B”的概率均为 ，若n为奇数，则玩家下一次点击屏幕时，获得 2 2 1 “A”的概率为 ，获得“B”的概率为 ．求D(Y)． 3 3 i 附：若随机变量X 和X 的取值是相互独立的，则D(X  X )D(X )D(X )． 1 2 1 2 1 2 数学试题 第 4 页（共5页）22．（12分） x2 y2 已知椭圆C :  1，直线l与C 有且只有一个公共点A(x ,y )，点P在C 上． 1 16 3 1 0 0 1 （1）当x 1时，求l的方程； 0 （2）求P到l距离的最大值（用y 表示）； 0 x2 y2 4 3 （3）设l与椭圆C :  1交于M ，N 两点，若|MP||NP| |AP|，求 2 16 4 3 △MPN面积的最大值． 数学试题 第 5 页（共5页）