文档内容
四川省大数据精准教学联盟2021级高三第一次统一监测
理科数学答案解析与评分标准
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1．【答案】A
【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查一元二次不等式解法，集合的并集运算等
基础知识；考查数学抽象、数学运算等数学核心素养。
【解析】集合A=x|-10时， - >0，若0
2 2-x+1 2 2x+1
3时，x3-3x>0，则 f(x)<0，B不符题意，故选A．
8．【答案】A
【考查意图】本小题设置数学学习情境，考查指数式与对数式的互化、指数函数与对数函数
的图象和性质等基础知识，考查化归与转化等数学思想，考查数学运算、逻辑推理等数学核心
素养。
【解析】依题意，a=log π>1；b=log 3，且0
3 4
2e 4
log 3，所以b>c，故a>b>c．
2e
9．【答案】C
【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查两角和的正弦公式，正弦型函数图象与性
质等基础知识；考查数形结合思想，应用意识；考查数学运算、逻辑推理等数学核心素养。
【解析】由 f x
π
= 3sinωx+cosωx=2sinωx+
6
π π π
，当0≤x≤1， ≤ωx+ ≤ω+ ，函
6 6 6
数 f x
3π π 5π 4π
在区间[0,1]上恰好有两个最值，由正弦函数的图象知 ≤ω+ < ，得 ≤ω<
2 6 2 3
7π
．
3
10．【答案】B
【考查意图】本小题设置数学探索创新情境，以正方体为载体，主要考查空间点、线、面位置
关系、直线与平面所成的角等基础知识；考查数形结合、化归与转化等思想方法，考查直观想
象、数学运算、逻辑推理等核心素养。
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{#{QQABbYCEggCgAAJAAQgCQwU4CkGQkBCAACoOQFAIoAAByRFABAA=}#}【解析】
易知平面α为平面AB D 或与其平行的平面，M只能为三角形或六边形．当M为三角形
1 1
3 3
时，其面积的最大值为 ×( 2)2= ；当M为六边形时，此时的情况如图所示，设KD=x，
4 2
则AK=1-x，KL= 2(1-x)，KM= 2x，依次可以表示出六边形的边长，如图所示：六边形可
6
由两个等腰梯形构成，其中LP⎳KO⎳MN，KO= 2，两个等腰梯形的高分别为 1-x
2
，
6 1
x，则S = 2x+ 2
2 四边形LKOP 2
6
⋅ 1-x
2
1
+ 21-x
2
+ 2
6 3
⋅ x= (-2x2+2x+
2 2
1
1)=- 3x-
2
2 3 3 1
+ ，当且仅当x= 时，六边形面积最大，即截面是正六边形时截面面积
4 2
3
最大，最大值为 3．
4
P
11．【答案】C
【考查意图】本小题设置数学探索创新情境，主要考查双曲线的标准方程、双曲线的简单几
何性质等基础知识；考查数形结合、化归与转化等思想方法，考查数学运算、逻辑推理及直观想
象等数学核心素养。
【解析】
y
A
F F
1 2
x
O
B
3
该双曲线的渐近线方程为 y=± x，则∠AOB=60o，若△OAB为直角三角形，则只可能
3
∠OAB=90o或者∠OBA=90o，这两种情况对称，面积相同，只研究一种情况即可．如图所示，
在Rt△OAF 中，有|AF|=b=1，|OF|=c=2，|AO|=a= 3．又∠AOB=60o，|OB|=2 3，
1 1 1
3 3
|AB|=3，所以S = ．
△OAB 2
12．【答案】A
【考查意图】本小题设置数学探索创新情境，设计函数与方程、导数综合应用问题，主要考
查利用导数研究函数性质等基础知识；考查函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化等
思想方法，考查数学抽象、逻辑推理等数学核心素养。
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{#{QQABbYCEggCgAAJAAQgCQwU4CkGQkBCAACoOQFAIoAAByRFABAA=}#}【解析】依题意，f(x)=(x+2)ex，可知x<-2时，f(x)<0，x>-2时，f(x)>0，则x=
1
-2时，f(x)取得极小值 f(-2)=- ，也即为最小值；又g(x)=lnx+a+1，0e-a-1时，g(x)>0，则x=e-a-1时，g(x)取得极小值g(e-a-1)=-e-a-1，也即为
1
g(x)最小值．由- =-e-a-1，解得a=1．因为 f(x )=g(x )=t(t>0)，所以(x +1)e x 1=x
e2 1 2 1 2
1 1+lnt 1+lnt
(lnx +1)=t(t>0)，可知 x >-1，x > ，且 x = lnx ，所以 = =
2 1 2 e 1 2 (x +1)2x2 (lnx +1)2x2
1 2 2 2
1+lnt 1+lnt -1-2lnt -1 -1
，令h(t)= (t>0)，则h(t)= ，当00，当t>e 2，h(t)
t2 t2 t3
-1 -1 e
<0，故t=e 2时，h(t)取极大值h(e 2)= ，也即为最大值．
2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
1 3
13．【答案】 - i
2 2
【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查复数的概念及除法运算等基础知识；考查
化归与转化等数学思想；考查数学运算等数学核心素养。
2 2 1 3
【解析】 = = - i．
z 1+ 3i 2 2
14．【答案】27
【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查等差数列的性质、前n项和等基础知识；
考查数学运算等数学核心素养。
【解析】a
n
9a +a
为等差数列，a +a =a +3得a +a =a +3，所以a =3，则S = 1 9
4 7 6 5 6 6 5 9
=9a
2 5
=27．
2 6
15．【答案】
3
【考查意图】本小题设置数学探索创新情境，考查空间点、线、面位置关系、直线与平面所成
的角、三棱锥的体积公式等基础知识；考查数形结合、化归与转化等思想方法，考查直观想象、
数学运算、逻辑推理等数学核心素养。
【解析】
如图，取AB的中点F，连接DF，与AE交于点H．由翻折前后的不变性可知，PH⏊AE．由
已知，四边形DEFA为正方形，则DF⏊AE，AE⏊平面PDF，所以∠PHF为平面PAE与平面
ABCE所成角的平面角；且平面ABCE⏊平面PDF，即P在平面ABCE上的射影O在直线DF
上（点O在线段DH或HF上均可）．由题意可知，在Rt△PHO中，∠PHO=60°，PH= 2，则
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{#{QQABbYCEggCgAAJAAQgCQwU4CkGQkBCAACoOQFAIoAAByRFABAA=}#}6 1 6 2 6
PO= ，又S =4，则V = × ×4= ．
2 △ABC P-ABC 3 2 3
16．【答案】y=±x+1
【考查意图】本小题设置探索创新情境，以直线与抛物线的位置关系载体，考查抛物线的定
义、标准方程和几何性质、圆的方程、直线与圆的位置关系等基础知识；考查数形结合、化归与
转化等思想方法，考查直观想象、数学运算、逻辑推理等数学核心素养。
【解析】
y
A
C
H M
B
x
O
x2
如图，设M(x , 0 )，设 AB与MC交于H． AB⏊MC，Rt△ACM中， AH
0 4
∙ MC = AC ∙
MA =2MA =2 CM2-4，而 AB =2AH ，则 AB ∙ MC =2AH ∙ MC =4 CM2-4，当
CM 最小时， AB ∙ MC 取最小值．而 CM = x -0
0
x2
2+ 0 -3
4
2 x4 x2
= 0 - 0 +9 =
16 2
1
x2-4
16 0
2+8，当且仅当x2=4时，取得最小值，此时M(±2,1)．此时，AB的直线方程为y
0
=±x+1．
亦可构造一个以M为圆心， MA 为半径的圆： x∓2 2+y-1 2=4，与圆C: x2+y-3 2
=4的方程相减，可得AB的直线方程：y=±x+1．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
17．（12分）
【考查意图】本小题设置生活实践情境，设计果苗病虫害调查相关的概率与统计问题，主
要考查离直方图识别、统计量计算和概率等基础知识；考查数据分析、数学建模及数学运算等
数学核心素养。
【解析】（1）由频率分布直方图得该苗圃受到这种病虫害的果苗的平均高度为：
h=0.02×5×22.5+0.05×5×27.5+0.06×5×32.5+0.04×5×37.5+0.02×5×42.5+0.01
×5×47.5 =33(cm)． 4分
（2）该苗圃一棵受到这种病虫害的果苗高度位于区间[30,45)的频率为：
(0.06+0.04+0.02)×5=0.6．
所以，估计该苗圃一颗受到这种病虫害的果苗高度位于区间[30,45)的概率为0.6．
8分
（3）设从苗圃中任选一棵高度位于区间[40,50)的果苗为事件A，该棵果苗受到这种病虫
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{#{QQABbYCEggCgAAJAAQgCQwU4CkGQkBCAACoOQFAIoAAByRFABAA=}#}P(AB) 3%×(0.02+0.01)×5
害为事件B，则P(B|A)= = =0.0225． 12分
P(A) 20%
18．（12分）
【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式，
角平分线定义及性质等基础知识；考查化归与转化思想，考查数学运算、逻辑推理等数学核心
素养。
【解析】
（1）解法一：
1
由 c+b=acosC及正弦定理，
2
1
可得 sinC+sinB=sinAcosC．2分
2
又sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，
1
所以 sinC+cosAsinC=0． 4分
2
1
又在△ABC中，sinC≠0，故cosA=- ，
2
2π
所以A= ． 6分
3
1
解法二：由 c+b=acosC及余弦定理，
2
1 a2+b2-c2
可得 c+b=a⋅ ．2分
2 2ab
即b2+c2-a2=-bc，4分
b2+c2-a2 1
所以cosA= =- ．
2bc 2
2π
故A= ． 6分
3
2π π
（2）由（1）知∠BAC= ，∠BAD=∠DAC= ．
3 3
又b=3，c=5，S =S +S ，9分
△ABC △ABD △ACD
1 2π 1 π 1 π
所以 bcsin = c⋅AD⋅sin + b⋅AD⋅sin ．
2 3 2 3 2 3
15
所以AD= ． 12分
8
说明：本小题可用平面几何的方法解答：过点D作AC的平行线交AB于点E，则△ADE为
x 5-x 15
等边三角形（边长为x），于是 = ，解得x= ．
3 5 8
19．（12分）
【考查意图】本小题设置数学学习、探索创新情境，以四棱锥中的线面关系为载体，主要考
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{#{QQABbYCEggCgAAJAAQgCQwU4CkGQkBCAACoOQFAIoAAByRFABAA=}#}查多面体的结构特征、平面与平面垂直的性质定理等基础知识；考查化归与转化、数形结合等
思想方法，考直观想象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养。
【解析】（1）因为平面PAD⏊平面PCD，AD⏊PD，所以，AD⏊平面PCD．
又AD⎳BC，所以，BC⏊平面PCD，BC⊂平面PBC．
所以，平面PBC⏊平面PCD．4分
（2）AD⎳BC，BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，所以AD⎳平面PBC．
又平面PAD∩平面PBC的交线=l，AD⊂平面PAD，所以l⎳AD（可知直线l与平面PAB
所成角等于直线AD与平面PAB所成角）．
π 3π
由直线l与直线AB所成的角为 ，知∠DAB= ．
4 4
可推出BC=4,AB=2 2.6分
由（1）可知，AD⏊平面PCD，即平面ABCD⏊平面PCD．
过P作直线CD的垂线，垂足为H，则PH⏊平面ABCD．
方法1：
PC=2 3，则∠CPD=∠DCP=30°，则∠PDC=120°，PD=2，PH= 3．
PA=2 2，AB=2 2，△PBC是一个直角三角形，
PB2=BC2+PC2，PB=2 7，
1
S = ×2×2 2×sin135°=2，S = 7．
△DAB 2 △PAB
设点D到平面PAB的距离为h，
1 1
由V =V ，得 ∙S ∙h= ∙S ∙PH，
D-PAB P-ABD 3 △PAB 3 △DAB
2 21
解得h= ． 10分
7
2 21
h 7 21
直线l与平面PAB所成角的正弦值为 = = ． 12分
AD 2 7
方法2：
以H为坐标原点，分别以向量DA，HD，HP的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图
空间直角坐标系．
则A(2,1,0)，B(4,3,0)，D(0,1,0)，P(0,0, 3)，
DA=(2,0,0)，AB=(2,2,0)，AP=(-2,-1, 3)，
设平面PAB的法向量为n=(x,y,z)，
n⋅AB=0，
2x+2y=0，
由 得
n⋅AP=0， -2x-y+ 3z=0．
取x= 3，得y=- 3，z=1，
则平面PAB的一个法向量为n=( 3,- 3，1)．……8分
又AD=(2,0,0)，令直线AD与平面PAB所成角为α，
AD⋅n 则sinα=
|AD|⋅|n|
2 3 21 = = ．
2 7 7
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{#{QQABbYCEggCgAAJAAQgCQwU4CkGQkBCAACoOQFAIoAAByRFABAA=}#}21
所以，直线l与平面PAB所成角的正弦值为 ． 12分
7
20．（12分）
【考查意图】本小题设置探索创新情境，以直线与椭圆的位置关系为载体，主要考查椭圆
的方程、椭圆的简单几何性质、直线与椭圆的位置关系；考查数形结合、函数与方程、化归与转
化、分类与整合等思想方法，考查数学运算、逻辑推理等数学核心素养。
3 4 3
【解析】（1）由题意，曲线C的离心率e= ，d= -x
2 3 0
．
x2 4-x2
显然， 0 +y2=1，即y2= 0 ．又因为 MF
4 0 0 4
= (x - 3)2+y2，
0 0
|MF|
所以
d
2 x - 3
= 0
2+y2
0
4 3
-x
3 0
x - 3 0
=
2
4-x2
2+ 0 4
4 3
-x
3 0
3
= ，
2 4
MF
故
3 MF
= ，即
d 2
=e．4分
d
（2）设点P，Q的坐标分别为(x ,y )，(x ,y )．
1 1 2 2
由题意，当直线PQ的斜率不为0时，设直线PQ的方程为x=ty+ 3．
x=ty+ 3，
联立方程组 x2 消去x并整理得，(t2+4)y2+2 3ty-1=0．
+y2=1，
4
此方程有两个不等实根，分别为y ，y ，且满足
1 2
2 3t 1
y +y =- ，y y =- ． 7分
1 2 t2+4 1 2 t2+4
4 3
由已知，点R的坐标为 ,y
3 1
y -y 4 3
，则直线QR的方程为y= 1 2 (x- )+y ．
4 3 3 1
-x
3 2
根据椭圆的对称性可知，如果直线QR过定点，则此定点一定在x轴上．
4 3
x y - y
4 3 2 1 3 1
令y=0，可得x- = ．9分
3 y -y
1 2
2 3t
而x =ty + 3，y +y =- ，所以
2 2 1 2 t2+4
4 3 3 t 3
x y - y ty y - y - - y
4 3 2 1 3 1 1 2 3 1 t2+4 3 1 1 3
x- = = = =- =- ．
3 y -y y -y 2 3t 2 3 6
1 2 1 2 2y +
1 t2+4
7 3
此时，x= 为定值．11分
6
7 3
当直线PQ的斜率为0时，直线QR与直线PQ重合，必然过点( ,0)．
6
7 3
综上，直线QR过定点，定点的坐标为( ,0)．12分
6
21．（12分）
【考查意图】本小题设置探索创新情境，以函数与不等式为载体，设计不等式、函数零点问
题，主要考查函数性质、导数应用等基础知识；考查化归与转化、函数与方程等数学思想，考查
第8页，共11页
{#{QQABbYCEggCgAAJAAQgCQwU4CkGQkBCAACoOQFAIoAAByRFABAA=}#}数学抽象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养。
【解析】（1）令g(x)= f(x)-1=ax2+x-lnx-a-1(x>0)，
1
则g(x)=2ax+1- ，g(1)=0． 1分
x
①当a>0时，知g(x)在(0，+∞)上单调递增．
1 2a 5
又g(1)=2a>0，g( )= +1-(4+a2)≤- -a2<0，
4+a2 4+a2 2
1
则∃x ∈( ，1)，g(x )=0．
0 4+a2 0
当x>x 时，由于g(x)单调递增，则g(x)>0，所以g(x)在(x ，+∞)上单调递增．
0 0
又g(1)=0，所以当x 0)，g(x)=1- = ．
x x
可知当01时，g(x)>0．
所以当x=1时，g(x)取得极小值，也即为最小值，该最小值为g(1)=0．
所以g(x)= f(x)-1≥0，即 f(x)≥1，不等式成立．5分
③当a<0时，可x→+∞时，g(x)→-∞，故 f(x)≥1不恒成立，不符题意．
综上所述，a的值为0．6分
（2）欲证 f(x +x )+ln(x +x )>2-a，
1 2 1 2
只需证a(x +x )2+(x +x )-ln(x +x )-a+ln(x +x )>2-a，
1 2 1 2 1 2 1 2
即证明a(x +x )2+(x +x )>2，7分
1 2 1 2
因为ax2+x -lnx -a=0，ax2+x -lnx -a=0，
1 1 1 2 2 2
两式相减，得a(x +x )(x -x )+(x -x )-(lnx -lnx )=0，
1 2 1 2 1 2 1 2
lnx -lnx
整理得a(x +x )= 1 2 -1，8分
1 2 x -x
1 2
lnx -lnx
所以，只需证明不等式( 1 2 -1)(x +x )+(x +x )>2，
x -x 1 2 1 2
1 2
x
ln 1
lnx -lnx x x
即证明 1 2(x +x )>2，即证明 2 ( 1 +1)>2，
x -x 1 2 x x
1 2 1 -1 2
x
2
x
不妨设02，即证明(t+1)lnt-2(t-1)<0(0h(1)=0，
则02-a得证． 12分
1 2 1 2
（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题
计分．
22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）
【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查直线的参数方程、圆的极坐标方程，直线
与圆的位置关系等基础知识；考查化归与转化、数形结合等思想方法；考查数学运算、推理论
证、直观想象等数学核心素养。
2
x=-2+ t，
2
【解析】（1）直线l的一个参数方程为 （t为参数）．2分
2
y=-4+ t
2
由上，直线l与x轴的交点坐标Q2，0 ． 3分
所以，圆Q的极坐标方程为ρ=4cosθ． 5分
（2）
由（1）可知，直线l的倾斜角为45°，圆Q的圆心为Q2，0 ，半径为2．
如图，易知y =- 2，y = 2， OQ
M N
=2，7分
1
所以△MON的面积S= OQ
2
y -y
M N
1
= ×2×2 2=2 2．10分
2
1
说明：本小题亦可用几何关系求出点O到直线l的距离d，用 dMN
2
求出面积；还可在直
角坐标系内用普通方程、在极坐标系内求出点M，N的坐标求解。
23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）
【考查意图】本小题设置数学课程学习情境，主要考查均值不等式、不等式证明方法等基
础知识；考查化归与转化等思想方法，考查逻辑推理、数学运算等数学核心素养。
【解析】（1）当x<-1时，f(x)=-3x+1≤5-x，解得-2≤x<-1；
当-1≤x≤1，f(x)=-x+3≤5-x，得-1≤x≤1；
3
当x>1时，f(x)=3x-1≤5-x，可得-1≤x≤ ．
2
3
综上所述，f(x)≤5-x的解集为{x|-2≤x≤ }．5分
2
（2）由（1）知，当x<-1时，f(x)=-3x+1>4；当-1≤x≤1时，f(x)=-x+3≥2；x>
1时，f(x)=3x-1>2，则 f(x)的最小值为2，即M=2．
故a+b=2，0
