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2024 年 淄博实验中学 高二年级第二学期 第三次月考 2024.06
一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.设等比数列{a }的前n项和为Sn，若S ＝5a +6a ，则公比q为（ ）
n 3 2 1
A.1或5 B.5 C.1或-5 D.5或-1
2.已知随机变量 X~N(3， 2),且 P(2＜x＜4)＝m,P(1＜x＜5)＝n,则 P(2＜x＜5)的值为
（ ）
3.设等差数列{a }的前n项和为Sn，已知a +2a +a ＝68，则S ＝（ ）
n 2 4 10 9
A.272 B.270 C.157 D.153
1
4.（1+ ）（1-x）6展开式中 x2的系数为（ ）
x
A.-5 B.5 C.15 D.35
5.若函数 f(x)＝2ax-lnx 在[1,3]上不单调，则实数 a 的取值范围为（ ）
1 1 1 1 1 1 1 1
A.[ ， ] B.（- , ]∪[ ,+ ） C.（ ， ） D.（- ， ）∪（ ，+ ）
6 2 6 2 6 2 6 2
6.小明在某不透明的盒子中放入 4 红 4 黑八个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉
（未看被丢掉小球的颜色）.现从剩下 7 个小球中取出两个小球，结果都是红球，则丢掉的
小球也是红球的概率为（ ）
3 1 2 2
A. B. C. D.
14 3 3 7
7.曲线 y＝lnx 与曲线 y＝x2+2ax 有公切线，则实数 a 的取值范围是（ ）
1 1 1
A.（- ，− ] B.[− ，+ ） D.[ ，+ ）
2 2 2
1
8.已知 ，b＝ ，c＝ln1.1，则（ ）
9
A.c＜a＜b B.a＜b＜c C.c＜b＜a D.a＜c＜b
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9.下列说法中正确的是（ ）
A.线性回归分析中可以用决定系数 R2来刻画回归的效果，若 R2的值越大，则模型的拟合效
果越好
B.已知随机变量 X 服从二项分布 B（n，p），若 E(x)＝20，D(x)＝10，则 n＝40
C.已知 y 关于 x 的回归直线方程为 y＝0.3-0.7x，则样本点（2，-3）的残差为-1.9
3 2 2
D.已知随机事件 A，B 满足 P（B）＝ ，P（AB）＝ ，则 P（ |B）＝
5 5 310. （ ）.
A.若 f(x)在 R 上单调递增，则 a≤-1
B.若 a＝1，则过点（0，3）能作两条直线与曲线 y＝f(x)相切
C.若f(x)有两个极值点x ，x ，且x ＞x ，则a的取值范围为（-1，0）
1 2 2 1
D.若 0＜a＜2，且 f(x)＞a-1 的解集为（m，n）（n＞m），则 n-m≥2
11.已知Tn是正项数列{a }的前n项积，且a +T ＝a ,将数列{Tn}的第1项，第3项，第7项,…,第2n-1
n n n n
项抽出来，按原顺序组成一个新数列{bn},令c ＝T b 数列{c }的前n项和为Sn，且不等式Sn＞(-1)n·x
n n n, n
对Vn∈N*恒成立，则（ ）
n+1
A.数列{Tn}是等比数列 B.an＝
n
C.Sn＝n· D.实数n的取值范围是（-4，16）
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.从 5 名男生和 4 名女生中选出 4 人去参加一项创新大赛，如果 4 人中必须既有男生又有女
生，有________种选法.
13.已知数列{an}的首项a ＝1，且满足a +an＝3× ，则a ＝.
1 n+1 7
14.对任意 x∈(1，+ )，函数 f(x)＝axlna-aln(x-1)≥0（a＞1）恒成立，则 a 的取值范围
为_________.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知数列{a }是等差数列，其前n和为Sn，a ＝2，S ＝45，数列{bn}满足a b +a b +…a b
n 2 9 1 1 2 2 n n
＝(n-1)·2n+1
（1）求数列{a }，{b }的通项公式;
n n
（2）若对数列{a }，{b }，在a 与a 之间插入b 个2（k∈N*），组成一个新数列{d }，求数列{d }
n n k k+1 k n n
的前83项的和T .
8316.（15 分）为了了解高中学生课后自主学习数学时间（x 分钟/每天）和他们的数学成绩（y
分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（表一）.
编号 1 2 3 4 5
学习时间
30 40 50 60 70
x
（数 1）学求成数绩学成绩 y 与学习时间 x 的相关系数（精确到 0.001）;
65 78 85 99 108
y
（2）请用相关系数说明该组数据中 y 与 x 之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求出 y
关于 x 的回归直线方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为 100 分钟时的数学成绩
（参考
（3）基于上述调查，某校提倡学生周末在校自主学习.经过一学期的实施后，抽样调查了
220 位学生.按照是否参与周末在校自主学习以及成绩是否有进步统计，得到 2×2 列联表（表
二）.依据表中数据及小概率值 α＝0.001 的独立性检验，分析“周末在校自主学习与成绩进
步”是否有关.
没有进步 有进步 合计
参与周末在校自主学习 35 130 165
未参与周末不在校自主学习 25 30 55
合计 60 160 220
n（ad-bc）2
（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）
α 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
xa 2.706 3.841 6.635 7.879 10.82817.（15分）已知函数f(x)＝xlnx-x-a,g(x)＝x2+lnx-ax.
（1）讨论 g(x)的单调性;
（2）若 f(x)有两个零点，求实数 a 的取值范围;
（3）若 f(x)+2x≤g(x)对任意的 x≥1 恒成立，求实数 a 的取值范围.
18.（17 分）2024 年九省联考后很多省份宣布高考数学采用新的结构，多选题由 4 道减少到
3 道，分值变为一题 6 分，多选题每个小题给出的四个选项中有两项或三项是正确的，全部
选对得 6 分，有错选或全不选的得 0 分.若正确答案是“两项”的，则选对 1 个得 3 分;若正确
答案是“三项”的，则选对 1 个得 2 分，选对 2 个得 4 分.某数学兴趣小组研究答案规律发
现，多选题正确答案是两个选项的概率为 P，正确答案是三个选项的概率为 1-p（其中 0＜p
＜1）.
1
（1）在一次模拟考试中，学生甲对某个多选题完全不会，决定随机选择一个选项，若P＝
3
，求学生甲该题得 2 分的概率;
（2）针对某道多选题，学生甲完全不会，此时他有三种答题方案:
Ⅰ:随机选一个选项: Ⅱ:随机选两个选项: Ⅲ:随机选三个选项.
1
① 若p＝ ，且学生甲选择方案Ⅰ，求本题得分的数学期望;
2
② 以本题得分的数学期望为决策依据，P 的取值在什么范围内唯独选择方案Ⅰ最好？
19.（17分）如图所示数阵，第m（m≥1）行共有m+1个数，第m行的第1个数为C ，第2个数
（__1）
为Cln，第n（n≥3）个数为C（m+n-2）2-（m-2）2.规定:Cnn＝1.
（1）计算前 4 行的最后两个数，试判断每一行的最后两个数的大小关系，并证明你的结论:
（2）从第1行起，每一行最后一个数依次构成数列{an}，设数列{an}的前n项和为Sn，是否存在正
整数k，使得对任意正整数n，kSn≤4n-1恒成立？如存在，请求出 k的最大值;如不存在，请说明理
由.
2024 年 淄博实验中学 高二年级 第二学期第三次月考参考答案 2024.06.161-8: DADA CBBA 9-11:ABC AC BCD 12.120 13.127 14
7.[详解]两个函数求导分别为 y′＝1/x，y＝2x+2a;
设y＝lnx，y＝x2+2ax图象上的切点分别为（x ，lnx ），（x ，x 2+2ax ），则过这两点处的切线方程
1 1 2 2 2
x 1
分别为y＝ +lx -1，y＝（2x +2a）x-x ，则 ＝2x +2a，lnx -1＝-x 2，所以2a＝e（y^2-1）-2x ，设 f(x)
x 1 2 2 x 2 1 2 2
}
＝e（x^2-1）-2x，f′(x)＝2（xex2-1），f′（1）＝0，
令 g(x)＝f′(x)＝2（xe（x-1）-1），所以 g′(x)＝2（2x2+1）e（x-1）＞0，所以 g(x)在 R 上单调递
增，且 f′（1）＝0，则 f(x)在（-0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，所以 2a≥f
1
（1）＝-1，a≥− .故选:B.
2
1
8.[详解]令 f(x)＝ex− ，x∈（0，1），则 f(x)
1−x
1 ex−1 （ex−1）2−1
＝ex− ＝ ＝ ，令(x)＝ex（x-1）2-1，则′(x)＝ex（x-1）
（x−1）2 （x−1）2 （x−1）2−1
（x+1），
当 x∈（0，1）时，ρ′(x)＜0，所以(x)在（0，1）上单调递减，
所以 ρ(x)＜θ（0）＝0，即 f′(x)＜0，所以 f(x)在（0，1）上单调递减，所以 f（0.1）＜f
1 1
（0），即 e（0.1）− ＜0，所以 e（0^1-1）−1＜ ，即 a＜b;令 g(x)＝ex-ln（x+1）-1，x∈
1−0.1 9
1
（0，1），则 g′(x)＝ex− ，
x+1
1 1
令 ω(x)＝ex− ，则（x(x)）＝ex+ ＞0，所以(x)在（0，1）上单调递增，所以
x+1 （x+1）2
ω(x)＞ω（0）＝0，即 g′(x)＞0，所以 g(x)在（0，1）上单调递增，
所以 g（0.1）＞g（0）＝0，即 e（x+1）-ln1.1-1＞0，所以 e01-1＞ln1.1，即 a＞c.所以 c＜a＜b.
故选:A.
x
10.[详解]对于 A，对 f(x)求导得:f′(x)＝− −a，因为函数 f(x)在 R 上单调递增，所以 f′(x)
ex−1
x
＝− −a≥0 恒成立，
ex−1
x x
即-a≥ 恒成立，记g(x)＝ ，则-a≥g(x)…，
ex−1 ex−1
1−x
因为 g′(x)＝ ，当 x＜1 时，g′(x)＞0，即函数 g(x)在（-0，1）上单调递增，当 x＞1 时，
ex−1
g′(x)＜0，函数 g(x)在（1，+）上单调递减，
因此，函数 g(x)在 x＝1 处取得最大值 g（1）＝1，所以-a≥1，即 a≤-1，故选项 A 正确:对于
x2−1 x
B，a＝1 时，f(x)＝ −x−1，f′(x)＝− −1，设 f(x)图象上一点（t，f（1），则 f
ex−1 ex−1
t2−1
（t）＝ −t−1，
e2
（t2
故过点（，f（t））的切线方程为 y-（ +1）/（+2-1-1））＝（-（e（t^2-1）））（x-t），
（e（t+1
将（0，3）代入上式得 3-（ -1）＝（-（e（t+1））-1）（0-1），整理得 4（-1+1）-t2-1-1＝
e+1
0，构造函数 h（t）＝4e（^-1）-t2-t-1，则 h′（t）＝4e（1-1）-2t-1，构造函数 m（t）＝4e（^-1）-
2t-1，则 m′（t）＝4e（t-1）-2，
1 1
令 m′（t）＝4e（t-1）-2＞0 得t＞l+ln ，令 mn（t）＝4e（t-1）-2＜0 得{＜1+ln ，
2 2
1 1
所以函数 m（t）＝4e（-1）-2t-1 在（-co，1+ln ）上单调递减，在（1+ln ，+）上单调递增，
2 2
1
所以 m（1）＞m（1+ln ）＝2ln2-1＞0，所以 n′（t）＞0，所以函数 h（）（）＝4（e^2-1）-t2-
2
1-1 单调递增，又 h（-1）＝4e-2-1＜0，h（0）＝4e-1-1＞0，
即方程 4e（-1）-t2-t-1＝0 在区间（-1，0）仅有一解，从而在 R 上也仅有一解，所以过点
（0，3）只能作一条直线与曲线 y＝f(x)相切，B 选项错误;对于 C，因为函数f(x)有两个极值点
x ，x ，
1 2
x x x
所以f′(x)＝− -a有两个零点x ，x ，即方程−a＝ 有两个解为x ，x ，记 g(x)＝ ，因
ex−1 1 2 ex−1 1 2 ex−1
1−x
为 g′(x)＝ ，
exx
当 x＜1 时，g′(x)＞0，即函数 g(x)在（-，）上单调递增，当 x
＞1 时，g′(x)＜0，函数 g(x)在（1，+）上单调递减，因此，函
数 g(x)在 x＝1 处取得最大值 g（1）＝1，
x x
方程−a＝ 有两个解为x ，x 等价于y＝-a与y＝ 图像有两个不同公共点，所以 0＜-a＜1，
exx 1 2 ex−1
所以-1＜a＜0，C 选项正确:
x2+1
对于 D，由 f(x)＞a-1，得 （xx+1）），等价于（x+1）（e（x^2-a）＞0，即（x+1）（e-
（
aex）＞0，当 x＞-1 时，aex＜e，x＜1-lna，又 0＜a＜2，故 lna＜ln2≈0.69，所以-1＜x＜1-
lna，当 x＜-1 时，aex＞e，x＞1-lna 无解，
故 f(x)＞a-1 的解集为（-1，l-lna），此时 n-m＝（1-lna）-（-1）＝2-lna，
当1＜a＜2时，0＜lna＜ln2≈0.69，n-m＝2-lna＜2，从而D错误.故选:AC.
1 1
11.[详解]因为an+Tn＝anTn，所以 + ＝1，当n≥2时，由T是数列{anyn的前n项积，得an＝
n a
n n
1 π
\dfrac{x_n_1}{n_n}，即 ＝ 1，
a x
n 1
1 x−1
所以 n+ ＝1，所以Fn-T ＝1，所以数列{π 是公差为1的等差数列，故A错误;当n＝1时，
n x （n+1） 3
1
a +T ＝a T ，即2T ＝T 2，又T ＞0，所以T ＝2，所以Tn＝2+n-1＝n+1，当n≥2时，an＝\dfrac{π_n}
1 1 1 1 1 1 1 1
n+1 n+1
{n_n_1}＝ ，又a ＝T ＝2，满足上式，所以an＝ ，故B正确;
n 1 1 n
由题意知bn＝T ＝2n-1+1＝2n，所以cn＝Tnbn＝（n+1）·2n，
2
则Sn＝2×2+3×22+…+（n+1）·2n，2Sn＝2×22+3×23+…+（n+1）·2^n+1/两式相减，得-Sn＝
2×21+22+23+…+2n-（n+1）·2n+1221−2n）
＝4+ -（n+1）2n1＝-n·2（n+1），所以Sn＝n·2（n+1），故C正确;
1−2n
由Sn＝n·2（n+1），得Sn单调递增，当n为奇数时，由Sn＞（-1）n.n对Vn∈N*恒成立，得Sn＞-l 恒成
1
立，即S ＞-l ，所以x＞-4:
1 2
当n为偶数时，由Sn＞（-1）n·xn＝N*恒成立，得Sn＞l ）lnSn＞lnSn＞ln所以 l＜16，所以实数 k
（n
的取值范围是（-4，16），故 D 正确.故选:BCD.
14.[详解]由题意得 a（x-1））na≥ln（x-1），因为 x∈（1，+），所以（x-1）a（x-1）|na≥
（x-1）|n（x-1），即 a（x-1）|na（x-1）≥（x-1）|n（x-1），令 F（t）＝t|nt，t＞0，则 F（a
（x-1））≥F（x-1）恒成立，因为 F′（t）＝1+lnt，令 F′（t）＞0 得，↑＞e+，F（t）＝lnt 单
调递增，令 F′（t）＜0 得，0＜t＜e1，F（t）＝llnt 单调递减，
且当 0＜t≤1 时，F（t）≤0 恒成立，当{＞1 时，F（t）＞0 恒成立，因为 a＞1，x＞1，所以 a
（x-1）＞1 恒成立，故 F（a（x-1））＞0，
当 x-l∈（0，1）时，F（x-1）≤0，此时满足 F（a（x-1））＞F（x-1）恒成立，当 x-1＞1，即
x＞2 时，由于 F（t）＝tlnt 在 r∈（e-1，+）上单调递增，由 F（（a-1）≥F（x-1）得 a（x-1）
1n（x−1） 1nn
≥x-1＝＞lna≥ ，令 u＝x-1＞1，g（u）＝ ，
x−1 n
1−lny lnu
则 g′（v）＝ ，当 u∈（1，e）时，g′（u）＞0，g（u）＝ 单调递增，当 u∈（e，+）
n2 n
lnu
时，g′（v）＜0，g（u）＝ 单调递减，
n
lnǔ lne 1 1 e1
故 g（u）＝ 在 u＝e 处取得极大值，也是最大值，g（e）＝ ＝ ，故lna≥ ，即l ，所以，
n e e e 2 a
a的取值范围是[ee+x0）.
15.[详解]（1）设等差数列的首项为a ，公差为d，
1
a b +a b +…+anbn＝（n-1）·2n+1①
1 1 2 2
当n≥2时，a b +a b +…+an1bn1＝（n-2）·2（n-1）+1② ，
1 1 2 2
① -② 可得，bn＝2n-1（n≥2），当n＝1时，a b ＝1，b ＝1适合bn＝2n1，所以bn＝2（n-1）（n∈N*）
1 1 1
（2）因为an＝n，所以在数列{dn}中，从项a 开始到项ak为止，共有项数为k+20+21+…+2（k+2）＝k+2
1
（k+1）-1当 k＝7 时，7+26-1＝70＜83;当 k＝8 时，8+27-1＝135＞83，所以数列{dn}前83项是项
a 之后还有13项为2，
7
所求和为T ＝（1+2+…+7）+2×（20+21+…+25+13）＝180.
83
30+40+50+60+70 450 22800−550×87 1070
16.[详解]（1）x(x)＝ ＝50， ＝87，r＝ ＝ ≈0.996;
5 5 100−11500 1074
（2）由（1）知 r＝0.996 接近 1，故 y 与 x 之间具有极强的线性相关关系，可用线性回归
直线方程模型进行拟合，
（3），--25-88-7-100-35-33.5，故 y＝1.07x+33.5，当 x＝100 时，y＝140.5，
故预测每天课后自主学习数学时间达到 100 分钟时的数学成绩为 140.5 分;
（3）零假设为H :学生周末在校自主学习与成绩进步无关.
0
根据数据，计算得到:
（220×55×530−350）2 110
x2＝ ＝ ≈12.22 因为 12.22＞10.828，
165×55000 9
所以依据 α＝0.001 的独立性检验，可以认为“周末自主学习与成绩进步”有关.
17.[详解]（1）记事件 A 为“正确答案选两个选项”，事件 B 为“学生甲得 2 分”.
1 2 C 1 1
P（B）＝P（A）P（B|A）+P（A）P′（B）A＝ ×0+ × 3＝ ，即学生甲该题得2分的概率为 ，
1 3 3 C 2 2
4
示
（2）① 记 X 为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，则 X 可以取 0，2，3， P
1 c 1 c 3 1 1 C 3 1 C 1 1
（X＝0）＝ × 1+ × ＝ ，P（X＝2）＝ ×0+ × 3＝ ，P（X＝3）＝ × 2+ ×0＝ ，
2 c 2 c 8 2 2 C 8 2 C 2 4
1 1 3 4
所以 X 的分布列为
3 3 1 3
则数学期望 E(x)＝0× +2× +3× ＝ .
8 8 4 2
2
② 记 X 为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，则P（X＝0）＝p× +（1-p）
c
4
1 1+p C 3 C 1
× ＝ ，P（x＝2）＝p×0+（1-p）× 1＝ （1-p）， P（X＝3）＝p× 2+（1-p）×0＝ P
ca 4 C 4 C4 2
4
1+p 3 1 3
，所以E(x)＝0× +2× （1-p）+3× P＝ ;记 Y 为“从四个选项中随机选择两个选项的得
4 4 2 2
分”，
Cc2−1 C2 1 1 C −C′ 1
则P（（x＝0）＝p× +（1-p）× ＝ p+ ，P（x＝4）＝p×0+（1-p）× 2 ＝ （1-
c−1 C2 3 2 CC 2
1 1 1 1 1
p）， P（（x2＝6）＝p +（1-p）×0＝ P，所以 E（Y）＝0×（ P+ ）+4× （1-p））
c2 6 3 2 2
+61/6p＝2-p2 记 Z 为“从四个选项中随机选择三个选项的得分”，
CC−1 1 3 1 1
则 P（Z＝0）＝p×1+（1-p）× ＝ p+ ，P（Z＝6）＝p×0+（1-p）× ＝ （1-p），
C−1 4 4 C 4
1 3 1 3 3
所以 E（Z）＝0×（ P+ ）+6× （1-p）＝ （1-p）.2−p＜
4 4 4 2 2
3 3 1 1
要使唯独选择方案 1 最好，则{ （1-p）＜ ，解得: ＜p＜1，故 P 的取值范围为（ ，）.0＜
2 2 2 2
p＜11 2x2−+1
18.[详解]（1）g′(x)＝2x+ −a＝ ，x＞0，当 a≤0 时，g′(x)＞0，所以 g(x)在（0，+）
x x
上单调递增.当 a＞0 时，令 g′(x)＝0，则 2x2-ax+1＝0.
若△＝a2-8≤0，即 0＜a≤2√2时，g′(x)＞0 恒成立，所以 g(x)在（0，+）上单调递增.若△＝a2-
a±√4−8 a−√(a2−8
8＞0，即a＞2√2时，方程 2x2-ax+1＝0 的根为x＝ ，当 g′(x)＞0 时，0＜x＜
4 a−
a+√(a2−8
或x＞ ，
4
a−√4−8 a+√a−8 a−√4 2−8 a+√4−8
当 g′(x)＜0 时， ＜x＜ ，g(x)在 ， ）上单调递减.
4 4 4 4
a−√4−8
综上所述，当 a≤2√2时，g(x)在（0+c）上单调递增:当a＞2√2时，g(x)在（0， ）和
4
a+√(a2−8 a−√a 2−8 a+√4−8
（ +x）上单调递增，在（ ， ）上单调递减.
4 4−8 4
（2）令f(x)＝xlnx-x-a＝0,则a＝xlnx-x.令h(x)＝xlnx-x,则h′(x)＝lnx.
所以当 0＜x＜1 时，h′(x)＜0，h(x)在（0，1）上单调递减.
当 x＞1 时，h′(x)＞0，h(x)在（1，+）上单调递增.
又当 0＜x＜1 时，h(x)＝x（lnx-1）＜0，且 h（1）＝-1:当 x＞1 时，h（e）＝0，所以当 0＜
x＜e 时，h(x)先减后增，且在 x＝1 处有最小值-1，
此时直线 y＝a 与 h(x)＝xlnx-x 有两个交点，所以实数 a 的取值范围为（-1，0）.
（3）因为 g(x)-f(x)-2x≥0.即 x2-x+lnx-xlnx+a-ax≥0，即 x（x-1）-mx（x-1）≥a（x-1），
对 x∈[1，+）恒成立.当 x＝1 时，上式显然成立;当 x＞1 时，上式转化为 a≤x-lnx，
1 x−1
令(x)＝x-lnx，x∈（1+co），∴q′(x)＝1− ＝ ＞0，所以函数 q(x)在 x∈（1+00）上单
x x
调递增， ∴β(x)＞4（1）＝1，∴a≤1，
综上所述，实数 a 的取值范围为（，1）
19.[详解]（1）第1行最后两数C 0＝C ＝1，第2行的最后两数C 2＝C 3＝2，第3行的最后两数
0 1 2 3
C 2-C 2＝C 5-C s5＝5，第4行的最后两数C 6-C 6＝C _-C 2＝14
4 4 5 1 6 0 1 7
m−3
第m（m≥3）行的第m个数为C − ，第m+1个数为C 2-C ，猜测:
（m-2） m−2 （m-1） （m-1）
C m−1）） C（m−2） C m−1）
（ − ＝C -1− （ ，
m−2 m−22 （m-1） m−1
