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山东省潍坊第一中学2024-2025学年高二下学期第二次质量检测数学试题
一、单选题
1．某企业建立了风险分级管控和隐患排查治理的双重独立预防机制，已知两套机制失效的概率分别为
和 ，则恰有一套机制失效的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．已知随机变量 服从正态分布 ， ，则 （ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8
3．若数列 的通项公式为 ，则 （ ）
A．27 B．21 C．15 D．13
4．有10件产品，其中3件是次品，从中不放回地任取2件，若X表示取得次品的件数，则
（ ）
A． B． C． D．1
5．如图给出一个“直角三角形数阵”满足每一列的数成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，
且每一行的公比相等，则第8行第3列的数为（ ）
A． B． C． D．1
6．某次考试共有12个选择题，每个选择题的分值为5分，每个选择题四个选项且只有一个选项是正确的，
学生对12个选择题中每个题的四个选择项都没有把握，最后选择题的得分为 分， 学生对12个选择题中每个题的四个选项都能判断其中有一个选项是错误的，对其它三个选项都没有把握，选择题的得分为
分，则 的值为
A． B． C． D．
7．等比数列 的各项均为正数，且 .设 ，则数列
的前项和 （ ）
A． B． C． D．
8．甲、乙两人进行一场游戏比赛，其规则如下：每一轮两人分别投掷一枚质地均匀的骰子，比较两者的
点数大小，其中点数大的得3分，点数小的得0分，点数相同时各得1分．经过三轮比赛，在甲至少有一
轮比赛得3分的条件下，乙也至少有一轮比赛得3分的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知随机变量 ，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知 是等差数列， 是其前 项和，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则D．若 和 都为递增数列，则
11．爆竹声声辞旧岁，银花朵朵贺新春．除夕夜里小光用3D投影为家人进行虚拟现实表演，表演分为
“燃爆竹、放烟花、辞旧岁、迎新春”4个环节．小光按照以上4个环节的先后顺序进行表演，每个环节
表演一次．假设各环节是否表演成功互不影响，若每个环节表演成功的概率均为 ，则（ ）
A．事件“成功表演燃爆竹环节”与事件“成功表演辞旧岁环节”互斥
B．“放烟花”、“迎新春”环节均表演成功的概率为
C．表演成功的环节个数的期望为3
D．在表演成功的环节恰为3个的条件下“迎新春”环节表演成功的概率为
三、填空题
12．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，三角形数中蕴含一定的规律性，则第
2025个三角形数与第2024个三角形数的差为 .
13．在某市 年 月的高二质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布 .已知参加本
次考试的全市理科学生约 人.某学生在这次考试中的数学成绩是 分，那么他的数学成绩大约排在
全市第 名.
（参考数值： ， ，
）
14．已知函数 满足 ，则满足
的最大正整数 的值为 ．
四、解答题
15．已知数列 的前 项和 ，
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前多少项和最大．16．随着全球经济一体化进程的不断加快，机械零件的加工质量决定了制造工厂的生存，零件加工精度逐
渐成为供应商判断制造公司产品的标准.已知某公司生产不同规格的一种产品，根据检测精度的标准，其合
格产品的质量y（ ）与尺寸x（ ）之间近似满足关系式 （b，c为大于0的常数）.现随机从中
抽取6件合格产品，测得数据如下：
尺寸x（ 〕 38 48 58 68 78 88
质量y（ 〕 16.8 18.8 20.7 22.4 24 25.5
根据测得数据作出如下处理：令 ，得相关统计量的值如下表：
75.3 24.6 18.3 101.4
(1)根据所给统计数据，求y关于x的回归方程；
(2)若从一批该产品中抽取n件进行检测，已知检测结果的误差 满足 ，求至少需要抽取多少
件该产品，才能使误差 在（-0.1，0.1）的概率不少于0.9545？
附：①对于样本 ， i）（i=1，2，…，n），其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计公式分
别为： ， ， .② ，则
17．在数列 中， ， 是其前n项和，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和 .
18．某商场举行抽奖活动，准备了甲､乙两个箱子，甲箱内有2个黑球､4个白球，乙箱内有4个红球､6个黄球.每位顾客可参与一次抽奖，先从甲箱中摸出一个球，如果是黑球，就可以到乙箱中一次性地摸出两个
球；如果是白球，就只能到乙箱中摸出一个球.摸出一个红球可获得90元奖金，摸出两个红球可获得180
元奖金.
(1)求某顾客摸出红球的概率；
(2)设某家庭四人均参与了抽奖，他们获得的奖金总数为 元，求随机变量 的数学期望 .
19．为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方
案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙
药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只
时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药
的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白
鼠未治愈则乙药得1分，甲药得 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分
别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．
（1）求 的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分， 表示“甲药的累计得分为 时，最终认为甲药
比乙药更有效”的概率，则 ， ， ，其中 ，
， ．假设 ， ．
(i)证明： 为等比数列；
(ii)求 ，并根据 的值解释这种试验方案的合理性．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A A C C A B B ABD BC
题号 11
答案 BCD
12．2025
分析两项之差并归纳结果可以得到答案.
【详解】
设三角数从最开始的数为 第 个数为
归纳可知 ，所以 .
故答案为：2025.
13．
分析可得 ，计算得出 的概率，乘以 可得结果.
【详解】 考试的成绩 服从正态分布 ，所以， ， ，
所以， ，则 ，
数学成绩为 分的学生大约排在全市第 名.
故答案为： .
14．12
根据递推关系可得 是公比为2的等比数列，即可求解通项，进而根据等比求和将问题转化为
，根据不等式求解即可.
【详解】 ，
所以数列 是公比为2的等比数列，所以所解不等式为：
当 时，则 ，
可解得：
的最大值为12，
当 时， 符合要求，
当 时， 不符合要求，
因此 的最大值为12，
故答案为：12
15．(1) (2) 前16项的和最大
(1)利用 时, 可求得通项公式;
(2)利用二次函数的解析式配方可得答案.
【详解】解：（1）当 时， ；当 时，
；
所以： ；
（2）因为 ；
所以前16项的和最大．
16．(1)
(2)800（1）按照公式求出 与 ，写出回归方程；（2）根据正态分布及所给数据得出不等关系 ，解出
答案.
【详解】（1） ， ，所以
，即 ，整理为： ，所以y关于x的回归方程为
（2）因为 ， ，所以 ，要想使误差 在
（-0.1，0.1）的概率不少于0.9545，则满足 ，解得： ，即至少需要抽取800件该产品，才
能使误差 在（-0.1，0.1）的概率不少于0.9545.
17．(1)
(2)
（1）利用 与 的关系推理得到 ，利用等差数列定义求解即得；
（2）利用错位相减法求得数列 的前n项和 即可.
【详解】（1）由 ，可得 ①，
当 时， ，解得 ，
当 时， ②，
由①-②：即
整理得
即
又∵ ，∴
∴ ，
∴数列 是以 为首项，2为公差的等差数列，
故 .
（2）
∴
∴
∴ .
18．(1)(2)192（元）.
【详解】（1）设 “从甲箱中摸出黑球”， “从甲箱中摸出白球”， “从乙箱中摸出红球”，
“某顾客摸出红球”，则 .
因为 ，
所以 .
（2）设该家庭每个人获得的奖金为 元，则 的取值可能为 ，
则 ，
，
，
所以随机变量 的分布列为
0 90 180
（元）.
又因为 ，所以 （元）.
19．（1）见解析；（2）（i）见解析；（ii） .
【详解】（1）由题意可知 所有可能的取值为： ， ，
； ；
则 的分布列如下：（2） ，
， ，
（i）
即
整理可得：
是以 为首项， 为公比的等比数列
（ii）由（i）知：
， ，……，
作和可得：
表示最终认为甲药更有效的.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲
药更有效的概率为 ，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种实验方案合理.
