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八一路校区高二数学第一次月考测试
一、单选题
1. 若函数 在 处可导，且 ，则 （ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】由导数的概念可解.
【详解】 .
故选：C
2. 甲、乙、丙、丁、戊、己六人站成一排合影留念，则甲、乙两人中间恰好有两人的站法有（ ）
A. 36种 B. 72种 C. 144种 D. 288种
【答案】C
【解析】
【分析】由排列数的计算公式，结合分步乘法计数原理代入计算，即可得到结果.
【详解】第一步从6个位置中选择2个位置，满足条件的选位可以是 ，
共有3种不同 的方法；
第二步将甲、乙排到所选择的2个位置，共有 种不同的方法；
第三步将丙、丁、戊、己排到剩余的4个位置，共有 种不同的方法；
由分步计数原理可知，共有 种．
故选：C
3. 拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数 在闭区间 上的图象
连续不间断，在开区间 内的导数为 ，那么在区间 内至少存在一点c，使得
成立，其中c叫做 在 上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数 在 上的“拉格朗日中值点”的个数为（ ）．
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】根据题中给出的“拉格朗日中值点”的定义分析求解即可．
【详解】函数 ，求导得： ，令 为 在 上的“拉格朗日中值点”，
则有 ，即 ，
整理得 ，解得 ，
所以函数 在 上的“拉格朗日中值点”的个数为2.
故选：B.
4. 函数 的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出函数的导数，利用导数判定函数的单调性即可得出选项．
【详解】解： ，定义域为 ，，
令 ，得 ，
令 ，得 ，
所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减，排除A、C，
当 时， ， ， ，所以 ，排除B，
只有D中图象符合题意；
故选：D
5. 已知偶函数 在 上的导函数为 ，且在 时满足以下条件：①导函数 的图
象如图所示；② 唯一的零点是1．则 的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】记 在 上的零点为 ，结合导函数的图象可求出 的单调区间，再根据
可求出当 时 的正负，再结合偶函数的性质可求得不等式的解集.【详解】记 在 上的零点为 ，
由 在 上的图象，知当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
因为 在 唯一的零点是1，即 ，
所以当 时， ，当 时， ．
又 为偶函数，所以当 时， ，当 时， ，
所以 的解集为 ．
故选：B．
6. 已知函数 ，则 （
）
A. 2024 B. C. 2025 D. 2026
【答案】B
【解析】
【分析】通过求导得到 的对称中心，然后利用对称性求函数值即可.
【详解】由 ，可得 ．
令 ，得 ，
又 ，所以 图象的对称中心为 ，
， ， ，．
故选：B.
7. 在 上的导函数为 ，则下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据条件构造函数 ，利用导数判断其单调性，从而得到不等关系，即可判
断.
【详解】令 ，
则 ，
， ，
在 上单调递增，
，即 ，
.
故选：A.
8. 已知 对 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A【解析】
【分析】将不等式 进行变形，构造函数 ，根据其单调性得到 ，转化为
恒成立问题，通过求函数 在 上的最大值来确定 的取值范围.
【详解】设 ，则 .
∵ 时， ， ，∴ ，故 在 上单调递增.
∵ 对 恒成立，∴当 时， ，则有 ，
当 时， 可等价变形为 .
∵ 在 上单调递增，且 ， （ ），
∴由 可得 ，即 对 恒成立.
设 ，则 .
当 时， ， ， ，故 .
∴ 在 上单调递减，
∴当 时， .
∵ 对 恒成立，
∴ ，即实数 的取值范围是 .
故选：A.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是把不等式 等价变形为 ，通过
构造函数，最终问题转化为转化为 恒成立问题.
二、多选题
9. 定义在 上的函数 的导函数 的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数 在 上单调递减 B. 函数 在 上单调递减
C. 函数 在 处取得极小值 D. 函数 在 处取得极大值
【答案】AD
【解析】
【分析】利用函数的函数的图象，可判断函数的单增区间与单减区间，进而可得极大值点，从而可得结论.
【详解】由函数 的导函数 的图象可知，
当 时， ，所以 在 上单调递增，故B错误；
当 时， ，所以 在 上单调递减，故A正确；
所以函数 在 处取得极大值， 不是极小值点，故C错误，D正确.
故选：AD.
10. 设函数 ，则（ ）
A. 函数 有两个极值点
B. 函数 有两个零点
C. 直线 是曲线 的切线D. 点 是曲线 的对称中心
【答案】ABD
【解析】
【分析】求导，确定函数单调性极值，即可判断AB，由导数的几何意义可判断C，由对称中心的概念可
判断D;
【详解】
令 解得 ，令 解得 或 ，
所以 在 单调递增， 单调递减， 单调递增，
因为 ，极大值 ，且极小值 ，
所以函数有两个极值点，有两个零点，故AB正确，
令 即 ， ，无解；
故C错误；
，
所以 ，即点 是曲线 的对称中心，正确；
故选：ABD
.
11 设函数 ，则（ ）
A. 当 时， 是 的极大值点
B. 当 时， 有三个零点
C. 存在a，使得点 为曲线 的对称中心D. 存在a，b，使得 为曲线 的对称轴
【答案】BC
【解析】
【分析】A选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；B选项，先分析出函数的极值点为 ，
根据零点存在定理和极值的符号判断出 在 上各有一个零点；C选项，若存在这
样的 ，使得 为 的对称中心，则 ，据此进行计算判断，亦可利用
拐点结论直接求解.
D选项，假设存在这样的 ，使得 为 的对称轴，则 为恒等式，据此计算
判断；
【详解】A选项， ， 时， ， 单调递减，
时 ， 单调递增，
此时 在 处取到极小值，A选项错误；
B选项， ，由于 ，
故 时 ，故 在 上单调递增，
时， ， 单调递减，
则 在 处取到极大值，在 处取到极小值，
由 ， ，则 ，
根据零点存在定理 在 上有一个零点，
又 ， ，则 ，
则 在 上各有一个零点，于是 时， 有三个零点，B选项正确；
C选项，方法一：利用对称中心的表达式化简
，若存在这样的 ，使得 为 的对称中心，
则 ，事实上，
，
于是
即 ，解得 ，即存在 使得 是 的对称中心，C选项正确.
方法二：直接利用拐点结论
任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，
， ， ，
由 ，于是该三次函数的对称中心为 ，
由题意 也是对称中心，故 ，
即存在 使得 是 的对称中心，C选项正确.
D选项，假设存在这样的 ，使得 为 的对称轴，
即存在这样的 使得 ，
即 ，
根据二项式定理，等式右边 展开式含有 的项为 ，
于是等式左右两边 的系数都不相等，原等式不可能恒成立，
于是不存在这样的 ，使得 为 的对称轴，D选项错误；
故选：BC【点睛】结论点睛：（1） 的对称轴为 ；（2） 关于 对称
；（3）任何三次函数 都有对称中心，对称中心是三
次函数的拐点，对称中心的横坐标是 的解，即 是三次函数的对称中心.
三、填空题
12. 函数 在 处有极值10，则实数 _________．
【答案】
【解析】
【分析】将函数求导，由题意得 和 ，联立求得 ，再回代检验是否符合题意即得.
【详解】由 求导得， ，
依题意， ①， ②，
联立① ，② ，解得： 或 .
当 ， 时， ，
，函数 为增函数，显然不符合题意，故舍去；
当 ， 时， ，
，当 时， ，此时 为减函数，
当 时， ，此时 为增函数，故 在 处有极小值为 ，符合题意.
故答案为： .
13. 若函数 在区间 上有单调递增区间，则实数 的取值范围是______．【答案】
【解析】
【分析】根据题意转化为 在 上有解，分离参数后求函数最值即可得解.
【详解】 ，由题意 在 上有解，
即 在 上有解，
根据对勾函数的性质可知， 在 上单调递增，所以在 时取最大值，
故 ，故实数 的取值范围是 .
故答案为：
14. 对于函数 ，若对任意的 ，存在唯一的 使得
，则实数 的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】借助导数研究单调性，并求出函数在给定区间上的值域，再结合集合包含关系，列出不等式解题
即可.
【详解】函数 ，求导 ，
令 ，求导 ，
函数 在 上单调递增，当 时， ；当 时， ，则函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 ，因此函数 在 上单调递增，
当 时， ，即 ，
函数 ，求导得 ，
当 时， ，当 时， ，
函数 在 上单调递减，此时 ，即 ；
在 上单调递增，此时 ，即 ，
由对任意的 ，存在唯一的 使得 ，
得 是 的子集，
即 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 ．
故答案为： ．
【点睛】关键点点睛：本题关键是将题目转化为值域之间的包含关系，再借助导数研究单调性，得到值域.
四、解答题
15. 4名男生和3名女生站成一排.
（1）甲不在中间也不在两端的站法有多少种？
（2）男生甲和男生乙不相邻，女生甲和女生乙相邻，排在一起的站法有多少种？（3）甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？
【答案】（1）2880
（2）960 （3）840
【解析】
【分析】（1）根据题意先排甲，然后剩余的进行全排列即可；
（2）利用捆绑法，将女生甲和女生乙捆绑在一起，与除去男生甲和男生乙的其他人进行全排列，然后男
生甲和乙插空即可；
（3）7个全排列后，除以甲、乙、丙的全排列数即可.
【小问1详解】
分两步，先排甲有 种，其余有 种，
所以根据分步乘法原理知共有 种排法.
【小问2详解】
分三步：
① 捆绑法，现将女生甲与女生乙捆绑在一起，有 （种）；
②将女生甲和女生乙看成整体，与其他人（除去男生甲和男生乙）排列，有 （种）；
③插空法，在其他人排好的基础上，将男生甲和乙插空（共有5个空位置），有 （种），
所以根据分步乘法原理可知共有 （种）.
【小问3详解】
7人共有 种排法，其中甲、乙、丙三人有 种排法，
因而在 种排法中每 种对应一种符合条件的排法，
故共有 种排法
16. 已知函数 .
（1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）证明：当 时， .【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）将 代入函数解析式，对函数求导，求 确定斜率，求 确定切点坐标，
利用点斜式即可求切线方程.
（2）根据 ，确定函数 ，令 ，利用二次求导的方法
确定 的单调性，再根据 ，确定函数 的单调区间，从而求出函数 的最小值，即
，由此结论得证.
【小问1详解】
当 时， ，则 ，
得 ，又 ，所以切点为 ，所以切线方程为 ，
即 .
【小问2详解】
因为 ，所以 ，所以 ，
令 ，所以 ，
令 ，所以 ，
因为 ， 时， ，所以 ，
所以 在 上单调递增，又 ，
所以当 时， ，当 时， ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，所以 ，所以 ，
即 .
17. 已知函数 ，其中 .
（1）若 的图象在 处的切线经过点 ，求a的值；
（2）讨论 的单调性.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）求导求出切线的斜率和切点坐标，由直线的点斜式方程求出切线方程，再代入经过点的坐
标可得答案；
（2）求导，分 、 、 、 讨论，可得答案.
【小问1详解】
，
因为 ， ，
所以 的图象在 处的切线方程为 ，
将 代入得 ，解得 ；
【小问2详解】
，当 时， ，令 ，得 ；令 ，得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
当 时， ，所以 在 上单调递增.
当 时，令 ，得 或 ；令 ，得 ，
所以 在 ， 上单调递增，在 上单调递减.
当 时，令 ，得 或 ；令 ，得 ，
所以 在 ， 上单调递增，在 上单调递减.
综上，当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减.
18. 已知函数 .
（1）求函数 的单调区间；
（2）求证：函数 的图象在x轴上方.
【答案】（1）单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】(1)求 ，根据 正负即可求y的单调区间；
(2)求 ，根据 零点的范围求出g(x)的最小值，证明其最小值大于零即可.
【小问1详解】，
令 则 .
当 时， ，∴函数在 上单调递增；
在
当 时， ，∴函数 上单调递减.
的
即 单调递增区间是 ，单调递减区间是 ；
【小问2详解】
，
，易知 单调递增，
又 ， ，
∴在 上存在一个 ，
使得： ，即： ，且 ，
当 ，有 单调递减；
当 ，有 单调递增.
∴ ，
∴ ，
∴函数 的图象在x轴上方.
【点睛】本题考查隐零点，关键是判断 单调，且 ， ，由此得出在(1，2)之间存在零点 ，据此求出g(x)的最小值，证明此最小值大于零即可.
19. 已知函数 ．
（1）求 的单调区间；
（2）若 在区间 内有最小值，求 的取值范围；
（3）若关于 的方程 有两个不同的解 ， ，求证： ．
【答案】（1）答案见解析
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求出 的导数，通过讨论 的范围，判断 的符号，得到函数 的单调区间即
可；
（2）通过讨论 的范围，判断 在区间 内单调性，从而得出 的取值范围；
（3）根据题意分析可得：若 ， 是关于 的方程 的两个不同的解，通过联立方程组消去 ，
再通过换元 ，整理得到 ，结合的 单调性分析运算得到
，从而 得证.
【小问1详解】
的定义域为 ， ，
当 时， ，所以 的单调递减区间为 ，无单调递增区间；
当 时， ， 随 的变化情况如下表所示：0
所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ．
综上，当 时， 的单调递减区间为 ，无单调递增区间；
当 时， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ．
【小问2详解】
当 时， ，所以 在区间 内单调递减，无最小值，不合题意．
当 时， ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以 在 处取得最小值．
当 时， ，所以 在区间 内单调递增，无最小值，不合题意．
综上， 的取值范围为 ．
【小问3详解】
证明：不妨设 ，由题意得 消去 得 ，
设 ，代入上式得 ，
，
下证 ，
即证 ．
设 ，则 ，
令 ，则 ，
所以 在区间 内单调递增，即 ，
所以 在区间 内单调递增，即 ，
所以 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ．
