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⽉⾼⼆数学试题
12
⼀､多选题
1. 已知 是空间的⼀个基底，那么下列选项中可作为基底的是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知各项均为正数的等差数列 单调递增，且 ，则（ ）
A. 公差 的取值范围是 B.
C. D.
3. 下列结论错误的是（ ）
A. 若⾮零空间向量 ， ， 满⾜ ， ，则有
B. 若⾮零向量 与 平⾏，则A，B，C，D四点共线
C. 设 是空间中的⼀组基底，则 也是空间的⼀组基底
D. 若 ，则 是P，A，B，C四点共⾯的充要条件
4. 在棱⻓为2的正⽅体 中，点 在底⾯正⽅形 内及边界上运动，则（ ）
A. 存在点 ，使得 平⾯
B. 若 ，则动点 的轨迹⻓度为
C. 若 平⾯ ，则动点 的轨迹⻓度为
D. 若 平⾯ ，则三棱锥 的体积为定值
三､填空题
5. 若{a } 等差数列，a ＝8，a ＝20，则a ＝________.
n 15 60 75
6. 已知数列 满⾜ ， ，则 __________.
7. 如果向量 ， ， 共⾯，则实数m 值是__________.
第1⻚/共4⻚
学科⽹（北京）股份有限公司8. 在三棱柱 中， ，则该三棱柱的⾼
为______．
9. 若 个正数之和为 ，且依次成等差数列，则公差 的取值范围是__________.
10. 已知数列 满⾜ ，若 ， 恒成⽴，则实数 取值范围
是__________.
11. 如图，在直四棱柱 中， ， ， ， 、 分别是侧棱
、 上的动点，且平⾯ 与平⾯ 所成⻆的⼤⼩为 ，则线段 的⻓的最⼤值为
__________________
12. 将数列 和 的公共项从⼩到⼤排列得到⼀个新的数列 ，则数列 的前 项和为
_______.
13. 如图，已知 平⾯ ， ， ，则向量 在 上的投
影向量等于____.
14. 在四棱锥 中， 平⾯ ，底⾯ 为矩形， ，点 在
线段 上运动，则点 到 距离的最⼩值为______.
四､解答题
第2⻚/共4⻚
学科⽹（北京）股份有限公司15. 已知数列 的通项公式为 ，数列 的通项公式为 .
（1） 是不是数列 中的⼀项？
（2）判断数列 的单调性，并求最⼩项；
（3）若 ，求满⾜ 最⼩的 的值.
16. 已知向量 ， ，
（1）求 的值；
（2）求 ；
（3）求 的最⼩值.
17. 记 为等差数列 的前 项和，已知 ， .
（1）求 的通项公式；
（2）数列 满⾜ ， ，求数列 前21项和.
18. 如图，在四棱锥 中， ， ， ， ， 为
锐⻆，平⾯ 平⾯ .
（1）证明： 平⾯ ；
（2）若 与平⾯ 所成⻆的正弦值为 ，求⼆⾯⻆ 的余弦值.
19. 如图，在四棱锥 中，底⾯ 为平⾏四边形， ， ，
， 平⾯ ，点 在棱 上．
第3⻚/共4⻚
学科⽹（北京）股份有限公司（1）求 ；
（2）若 平⾯ ，求三棱锥 体积；
（3）若⼆⾯⻆ 的⼤⼩为 ，求 ．
第4⻚/共4⻚
学科⽹（北京）股份有限公司⽉⾼⼆数学试题
12
⼀､多选题
1. 已知 是空间的⼀个基底，那么下列选项中可作为基底的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据空间向量基底的性质，判断正确结果；
【详解】由题意得向量 不共⾯，
则向量 不共⾯，向量 不共⾯，向量 不共⾯；所以A，C，D正确；
因为 与 共⾯，所以B错误；
故选：ACD.
2. 已知各项均为正数的等差数列 单调递增，且 ，则（ ）
A. 公差 的取值范围是 B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】由 , ,且 ，可判断A，由等差数列的性质可判断BD，由作差法可判断C.
【详解】解：由题意得 , , ，
所以 ，解得 ，所以 ，故A错误；
由 ，故B正确；
由 ，故 ，C选项正确；
由等差数列性质， ，故D正确.
故选：BCD
第1⻚/共18⻚
学科⽹（北京）股份有限公司3. 下列结论错误的是（ ）
A. 若⾮零空间向量 ， ， 满⾜ ， ，则有
B. 若⾮零向量 与 平⾏，则A，B，C，D四点共线
C. 设 是空间中的⼀组基底，则 也是空间的⼀组基底
D. 若 ，则 是P，A，B，C四点共⾯的充要条件
【答案】ABD
【解析】
【分析】利⽤空间向量运算判断A；利⽤共线向量的意义判断B；利⽤空间向量基底的概念判断C；利⽤空
间共⾯向量定理判断D.
【详解】对于A，当⾮零空间向量 满⾜ ， 时，
与 不⼀定平⾏，也可能垂直，错误；
对于B，当⾮零向量 与 平⾏时，A，B，C，D四点共线或直线 与直线 平⾏，错误；
对于C，若 不能构成空间的⼀组基底，则 共⾯，
故存在 ，使得 ，
即 ，由于 ⼀组基底向量，
所以 ⽆解，故 能构成空间的⼀组基底，正确；
对于D， ，若 ，
则 ，化简得 ，
因此P，A，B，C四点共⾯，
如图， 三点共线，且 为 的中点， 不在直线 上， 在平⾯ 外，
则 ，⽽ ， 不共⾯，
故 恒不成⽴，
故 是P，A，B，C四点共⾯的充分不必要条件，
第2⻚/共18⻚
学科⽹（北京）股份有限公司故D错误.
故选：ABD.
4. 在棱⻓为2的正⽅体 中，点 在底⾯正⽅形 内及边界上运动，则（ ）
A. 存在点 ，使得 平⾯
B. 若 ，则动点 的轨迹⻓度为
C. 若 平⾯ ，则动点 的轨迹⻓度为
D. 若 平⾯ ，则三棱锥 的体积为定值
【答案】BCD
【解析】
【分析】以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建⽴空间直⻆坐标系，利
⽤空间向量法可判断AC选项；利⽤空间中两点间的距离公式可判断B选项；利⽤锥体的体积公式可判断D
选项.
【详解】以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建⽴如下图所示的空间直
⻆坐标系，
第3⻚/共18⻚
学科⽹（北京）股份有限公司则 、 、 、 ，
设点 ，其中 ， ，
设平⾯ 的法向量为 ， ， ，
则 ，取 ，则 ，
，若 平⾯ ，则 ，
则 ，解得 ， ，不合乎题意，A错；
对于B选项，若 ，可得 ，
则点 在平⾯ 内的轨迹是以点 为圆⼼，半径为 的圆的 ，
所以，动点 的轨迹⻓度为 ，B对；
对于C选项，若 平⾯ ，则 ，
则 ，
所以，点 在底⾯ 的轨迹为线段 ，故点 的轨迹⻓度为 ，C正确；
对于D选项，因为平⾯ 平⾯ ，
若 平⾯ ，则点 的轨迹为线段 ，
因为 且 ，所以，四边形 为平⾏四边形，
所以 ，因为 平⾯ ， 平⾯ ，所以 平⾯ ，
，则点 到平⾯ 的距离为定值，
⼜因为 的⾯积为定值，则 为定值，D对.
故选：BCD.
第4⻚/共18⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【点睛】关键点睛：本题的关键是建⽴合适的空间直⻆坐标系，利⽤空间向量法判断线⾯位置关系.
三､填空题
5. 若{a }是等差数列，a ＝8，a ＝20，则a ＝________.
n 15 60 75
【答案】24
【解析】
【分析】根据等差数列的通项公式求出⾸项和公差，即可求出.
【详解】设{a }的公差为d.
n
由题意知 ，解得 ，
所以 .
故答案为：24.
6. 已知数列 满⾜ ， ，则 __________.
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据数列递推公式，依次求出数列后⾯的项，判断数列周期，进⽽求出结果.
【详解】可知 ， ， ， ，
可知数列周期为 ，即 ，可得 .
故答案 ： .
第5⻚/共18⻚
学科⽹（北京）股份有限公司7. 如果向量 ， ， 共⾯，则实数m的值是__________.
【答案】1
【解析】
【分析】根据向量共⾯的性质，列出⽅程组，求出参数值即可.
【详解】设 ，即 ，
可得 ，解得 ，则 .
故答案 ：1.
8. 在三棱柱 中， ，则该三棱柱的⾼
为______．
【答案】
【解析】
【分析】利⽤向量法求点 到平⾯ 的距离，确定三棱柱的⾼.
【详解】设平⾯ 的⼀个法向量为 ，则 ，所以 ，
令 ，则 ， ，所以 是平⾯的⼀个法向量，
所以点 到平⾯ 的距离为 ，故三棱柱的⾼为 .
故答案为：
9. 若 个正数之和为 ，且依次成等差数列，则公差 的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】设 个正数组成数列 ，求出 的值，根据题意得出关于 的不等式组，即可解得
的取值范围.
第6⻚/共18⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【详解】设 个正数组成数列 ，则 ， ，
则 ，解得
故答案为： .
10. 已知数列 满⾜ ，若 ， 恒成⽴，则实数 的取值范围
是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据数列的单调性，结合分段函数的单调性可得出关于实数 的不等式组，即可解得实数 的取值
范围.
【详解】因为数列 满⾜ ，由题意可知，数列 单调递减，
所以函数 为减函数，所以 ，解得 ，
函数 为减函数，所以 ，
且有 ，即 ，即 ，解得 ，
综上所述，实数 的取值范围是 .
故答案为： .
11. 如图，在直四棱柱 中， ， ， ， 、 分别是侧棱
第7⻚/共18⻚
学科⽹（北京）股份有限公司、 上的动点，且平⾯ 与平⾯ 所成⻆的⼤⼩为 ，则线段 的⻓的最⼤值为
__________________
【答案】 ##
【解析】
【分析】以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建⽴空间直⻆坐标系，设
， 且 不同时为 ，利⽤空间向量法可得出 ，即可得出 的
最⼤值.
【详解】在⻓⽅体 中，以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、
轴建⽴如下图所示的空间直⻆坐标系，
设 ， 且 不同时为 ，
则 、 、 ，所以 ，
设平⾯ 的⼀个法向量为 ，则 ，
令 ，得 ， ，则 ，
第8⻚/共18⻚
学科⽹（北京）股份有限公司显然 为平⾯ 的⼀个法向量.
因为平⾯ 与平⾯ 所成⻆的⼤⼩为 ，
所以 ，即 ，得 ，
所以 ，所以当 时， 取得最⼤值，最⼤值为
故答案为： .
12. 将数列 和 的公共项从⼩到⼤排列得到⼀个新的数列 ，则数列 的前 项和为
_______.
【答案】
【解析】
【分析】⾸先判断出数列 与 项的特征，从⽽判断出两个数列公共项所构成新数列的⾸项以
及公差，利⽤等差数列的求和公式求得结果.
【详解】因为数列 是以3为⾸项，以2为公差的等差数列，
数列 是以2⾸项，以3为公差的等差数列，
所以这两个数列的公共项所构成的新数列 是以5为⾸项，以6为公差的等差数列，
所以 的前 项和为 .
故答案为： .
13. 如图，已知 平⾯ ， ， ，则向量 在 上的投
影向量等于____.
第9⻚/共18⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】先求出 ，再根据投影向量的公式计算即可.
详解】 平⾯ ，
则 ，
向量 在 上的投影向量为
故答案为： .
14. 在四棱锥 中， 平⾯ ，底⾯ 为矩形， ，点 在
线段 上运动，则点 到 距离的最⼩值为______.
【答案】
【解析】
【分析】在线段 上作⼀点 ，线段 上作⼀点 ，使得四边形 是矩形，由相关性质可将点
到直线 距离最⼩值转化为点 到点 距离最⼩，最后计算可得.
【详解】因为点 在线段 上运动，设 ， ，
在线段 上作⼀点 ，使得 ，
在线段 上作⼀点 ，使得 如图所示，
第10⻚/共18⻚
学科⽹（北京）股份有限公司由三⻆形性质可知，在 中， ，且 ，
因为底⾯ 是矩形，所以 ，所以 且 ，
所以四边形 是平⾏四边形，
因为 平⾯ ， 平⾯ ，
所以 ，因为 ，
因为 ， 平⾯ ，
所以 平⾯ ，
因为 平⾯ ，所以 ，
所以四边形 是矩形，
所以点 到点 的距离即为点 到线段 的距离
因为 ，所以当 为 中点时， 最⼩，
即 ，
所以点 在线段 上运动，点 到 距离最⼩为 .
故答案为： .
四､解答题
15. 已知数列 的通项公式为 ，数列 的通项公式为 .
（1） 是不是数列 中的⼀项？
（2）判断数列 的单调性，并求最⼩项；
（3）若 ，求满⾜ 最⼩的 的值.
第11⻚/共18⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【答案】（1） 是数列 中的第七项；（2）数列 是单调递增数列；最⼩项是第⼀项 ；（3）
32
【解析】
【分析】（1）假设 是数列 中的⼀项，代⼊通项公式求出正整数 即可判断.
（2）利⽤ ，判断符号即可得出单调性，从⽽利⽤单调性求出最⼩项.
（3）利⽤对数的运算性质解不等式即可求解.
【详解】解：（1）假设 是数列 中的⼀项，则有 ，
解得 ，所以
因此， ，即 是数列 中的第七项
（2）
对任意 ， ，
所以数列 是单调递增数列，
最⼩项是第⼀项，
（3）
由 得
所以 的最⼩值为 .
【点睛】本题主要考查了数列的单调性以及求数列的最⼩项，验证数列中的项，属于基础题.
16. 已知向量 ， ，
（1）求 的值；
（2）求 ；
（3）求 的最⼩值.
【答案】（1）
第12⻚/共18⻚
学科⽹（北京）股份有限公司（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据空间向量的减法运算法则和数量积运算公式直接计算；
（2）根据空间向量夹⻆公式直接计算即可；
（3）根据条件写出模的表达式，再直接求最⼩值即可.
【⼩问1详解】
因为 ， ，
所以 ，
⼜因为 ，
所以 .
【⼩问2详解】
因为 ， ，
所以 .
【⼩问3详解】
因为 ， ，
所以 ，
所以 ，
当 时， 取得最⼩值 ，则 最⼩值为 .
17. 记 为等差数列 的前 项和，已知 ， .
（1）求 的通项公式；
（2）数列 满⾜ ， ，求数列 的前21项和.
【答案】（1）
第13⻚/共18⻚
学科⽹（北京）股份有限公司（2）
【解析】
【分析】（1）利⽤等差数列通项公式、前n项和公式求基本量，即可写出通项公式；
（2）由 ，应⽤等差数列前n项和公式求和即可.
【⼩问1详解】
设公差为 ，由题设有 ，解得 ， ，
所以 .
【⼩问2详解】
由题设 ，
所以数列 的前21项和为211.
18. 如图，在四棱锥 中， ， ， ， ， 为
锐⻆，平⾯ 平⾯ .
（1）证明： 平⾯ ；
（2）若 与平⾯ 所成⻆的正弦值为 ，求⼆⾯⻆ 的余弦值.
【答案】（1）证明⻅解析；（2） .
【解析】
【分析】（1）在平⾯ 内过 作 于 ，得 平⾯ ， ，过 分别作
第14⻚/共18⻚
学科⽹（北京）股份有限公司于 ，取 中点为 ，得 ，所以 平⾯ ，得 ，再
由线⾯垂直的判定定理可得答案.
（2）⼆⾯⻆ 的平⾯⻆与⼆⾯⻆ 的平⾯⻆互补，由（1）可得 为⼆⾯⻆
的平⾯⻆，在 中， 为 与平⾯ 所成的⻆，由正弦值为 ，得
， ， 可得答案.
【详解】（1）证明：在平⾯ 内过 作 于 ，
因为平⾯ 平⾯ ，⼜平⾯ 平⾯ ，
所以 平⾯ ， 平⾯ ，所以 ，
过 分别作 于 ，
取 中点为 ，则 ，且 ，
所以四边形 是平⾏四边形， ，
所以 ，
所以 ， ，
，且 平⾯ ，所以 平⾯ ， 平⾯
所以 ，因为 ， ， 平⾯ .
（2）⼆⾯⻆ 的平⾯⻆与⼆⾯⻆ 的平⾯⻆互补，
由（1）可得 ， 平⾯ ，因为 平⾯ ，所以 ，
所以 为⼆⾯⻆ 的平⾯⻆，连接 ，
在 中， 为 与平⾯ 所成的⻆，由其正弦值为 ， ，
可得 ，因为 ，所以 ，所以 ，
所以⼆⾯⻆ 的余弦值为 .
第15⻚/共18⻚
学科⽹（北京）股份有限公司19. 如图，在四棱锥 中，底⾯ 为平⾏四边形， ， ，
， 平⾯ ，点 在棱 上．
（1）求 ；
（2）若 平⾯ ，求三棱锥 的体积；
（3）若⼆⾯⻆ 的⼤⼩为 ，求 ．
【答案】（1）证明⻅解析
（2）
（3） ．
【解析】
【分析】（1）根据 平⾯ 得平⾯ 平⾯ ，从⽽可得 平⾯ ，故 为
直⻆三⻆形，从⽽可求 ；
（2）可证 为 的中点，从⽽可利⽤等积转化求三棱锥 的体积；
（3）过点 作 的平⾏线交 于点 ，可证 为⼆⾯⻆ 的平⾯⻆，利⽤解直⻆三
⻆形可求 的值 .
【⼩问1详解】
∵ 平⾯ ， 平⾯ ，∴平⾯ 平⾯ ，
⼜∵ ， 平⾯ ，平⾯ 平⾯ ，∴ 平⾯ ，
第16⻚/共18⻚
学科⽹（北京）股份有限公司⼜∵ 平⾯ ，∴ ，∴ 为直⻆三⻆形，
∴ ，即 ．
【⼩问2详解】
连接 与 交于点 ，连接 ，
∵ 平⾯ ， 平⾯ ，平⾯ 平⾯ ，
∴ ，可知 为 的中点，⽽ 平⾯ 平⾯ ，故 ，
在 中， ， ， ，
∴ ， ， ，
∴
．
【⼩问3详解】
由题意知 平⾯ ，过点 作 的平⾏线交 于点 ，
∴ 平⾯ ，再作 （ 为垂⾜），
因为 平⾯ ，故 ，⽽ 平⾯ ，
所以 平⾯ ，⽽ 平⾯ ，故 ，
∴ 为⼆⾯⻆ 的平⾯⻆， ，
由（2）可知 ，∴ 是等腰直⻆三⻆形，
同理 也是等腰直⻆三⻆形，从⽽ ，
在 中， ， ，∴ ，
不妨设 ， ，则 且 ，
第17⻚/共18⻚
学科⽹（北京）股份有限公司∴ ，∴ ．
第18⻚/共18⻚
学科⽹（北京）股份有限公司
