文档内容
2024-2025 学年度第一学期期末考试
高二数学
本试卷共 4 页，19 小题，满分 150 分.考试用时 120 分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号､试室号､座位号填写在
答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.
2.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应
位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按
以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回.
一､选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.直线 的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.不存在
2.抛物线 的焦点坐标是（ ）
A. B. C. D.
3.数列 的一个通项公式为 （ ）
A. B.
C. D.
4.将一个质地均匀的正方体骰子（每个面上分别写有数字 ）先后抛掷 2 次，观察向上的点数，
学科网（北京）股份有限公司则 2 次抛掷的点数之和为 7 的概率是（ ）
A. B. C. D.
5.已知 分别为椭圆 的左，右焦点，点 在椭圆上， 为原点，若 是面积为 的
正三角形，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
6.如图所示，在四棱柱 中，若 ， ， ， 为 与 的交点.
则 （ ）
A. B.
C. D.
7.已知直线 与圆 交于 两点，且 ，则实数 =（ ）
A.4 B.3 C.2 D.1
8.已知正四面体 ，若平面 内有一动点 到平面 ､平面 ､平面 的距离依次成等
差数列，则点 的轨迹是（ ）
A.一条线段 B.一个点
C.一段圆弧 D.抛物线的一段
二､多选题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9.在平面直角坐标系 中，直线 过原点 ，且点 和点 到直线 的距离相等，则直线 的
学科网（北京）股份有限公司斜率可以是（ ）
A. B. C. D.
10.已知曲线 ，则（ ）
A.若 ，则 是椭圆，其焦点在 轴上
B.若 ，则 是圆，其半径为
C.若 ，则 是双曲线，其渐近线方程为
D.若 ，则 是两条直线
11.已知 为数列 的前 项和，且 ，则（ ）
A.存在 ，使得 B. 可能是常数列
C. 可能是递增数列 D. 可能是递减数列
三､填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12.三角形三边长为 ，则以边长为 6 的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲线的离心率为
__________.
13.过点 作圆 的切线 ，则直线 的方程为__________.（写出一条方程即可）
14.设双曲线 的左，右焦点分别为 ，过坐标原点的直线与 交于 两
点， ，则 的离心率为__________.
四､解答题：本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（13 分）
在一次猜灯谜活动中，共有 20 道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了 12 个，乙同学猜对了 8 个，假
设猜对每道灯谜都是等可能的，试求：
（1）任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率；
（2）任选一道灯谜，甲、乙至少有一人猜对的概率.
16.（15 分）
学科网（北京）股份有限公司已知椭圆的两个焦点坐标分别是 ，并且经过点 .
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线 与椭圆交于 两点， 为 中点，求直线 斜率.
17.（15 分）
已知等差数列 的首项为 ，公差为 ，前 项和为 .
（1）证明： 是等差数列；
（2）设 为数列 的前 项和，若 ，求 .
18.（17 分）
在四棱锥 中，底面 是正方形，若 .
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求二面角 的平面角的余弦值；
（3）求点 到平面 的距离.
19.（17 分）
曼哈顿距离是一个充满神秘与奥秘的距离，常用于需要按照网格布局移动的场景，例如无人驾驶出租车行驶、
物流配送等.在算法设计中，曼哈顿距离也常用于图象处理和路径规划等问题.曼哈顿距离用于标明两个点在
空间（平面）直角坐标系上的绝对轴距总和.例如在平面直角坐标系内有两个点 ，它们
之间的曼哈顿距离 .
（1）已知点 ，求 的值；
（2）已知平面直角坐标系内一定点 ，动点 满足 ，求动点 围成的图形的面积；
学科网（北京）股份有限公司（3）已知空间直角坐标系内一定点 ，动点 满足 ，若动点 围成的几何体
的体积是 ，求 的值.
2024—2025 学年度第一学期期末考试
高二数学参考答案及评分说明说明：
1.参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根
据试题主要考查的知识，点和能力对照评分标准给以相应的分数，
2.对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题
的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应
得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.
3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
4.只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.
5.参考高考评分标准，踩点给分.
一､选择题
1.C 2.D 3.C 4.C 5.B 6.C 7.D 8.A
二､多选题
9.AC 10.ACD 11.ABD
三､填空题
12.3 13. 或 （写出一条即可） 14.
四､解答题
15.解：（1）设事件 表示“任选一道灯谜，甲猜对”，事件 表示“任选一道灯谜，乙猜对”，
学科网（北京）股份有限公司由古典概型公式得
，.
所以
“恰有 1 人猜对” ，且 与 互斥，因为两名同学独立竞猜，所以事件 和 相互独立，
从而 与 与 与 相互独立，
于是
（2）事件“两人都没有猜对”表示为 ，记 “甲乙至少有一人猜对”，
所以 ，
显然事件 与事件 为对立事件，所以 ，
所以甲，乙至少有一人猜对的概率为
16.解：（1）法一：由于椭圆的焦点在 轴上，
所以设它的标准方程为 ，
由椭圆定义知 ，
，
所以 ，
所以 ，
所求椭圆标准方程为 .
（1）法二：由于椭圆的焦点在 轴上，
所以设它的标准方程为 ，
学科网（北京）股份有限公司由椭圆定义知 ，
因为椭圆经过点 ，
所以 ①，
因为 ，②
联立①②得： ，即
解得 （舍去， ）
所以 ，
所求椭圆标准方程为 .
（2）法一：设直线与椭圆的交点为 ，
联立方程 ，
得 ，
得 .
设 的中点 坐标为 ，
则 ，
所以 .
（2）法二：设直线与椭圆的交点为 ，
学科网（北京）股份有限公司联立方程 ，
得 ，
解得
所以
所以
所以 中点
所以 .
（2）法三：设直线与椭圆的交点为 的中点 坐标为 ，
则 ，
联立方程
①-②得，
所以 .
学科网（北京）股份有限公司17.解：（1）设等差数列 的公差为 ，所以 ，.
当 时，
所以 是等差数列.
（2）方法一：
由（1）的结论得 是等差数列，且
得
则 ，得
数列 是以为首项为 ，公差为 的等差数列，․
所以
方法二：
由（1）的结论得 是等差数列，且
故 这个数列的公差是 ，
则 ，得 ，
数列 是以为首项为 ，公差为 的等差数列，
所以
学科网（北京）股份有限公司方法三：
由（1）的结论得 是等差数列，且
得
数列 是以为首项为 ，公差为 的等差数列，
所以
18.题解：（1）证明：取 的中点 ，连接 ，
，
，
，
，
，
，
，
又 ，
平面 ，
平面 ，
平面 ，
平面 平面 ；
（2）由（1）知平面 平面 ，
又 平面 ，平面 平面 ，
平面 ，
学科网（北京）股份有限公司平面 ，
，
过 作 于点 ，连接 平面 ，
平面 ，
平面 ，
，则 为所求二面角的平面角，
由
，
，
所以二面角 的平面角的余弦值为
（3）（利用等积法）
设 A 到平面 的距离为
学科网（北京）股份有限公司在 中，由（2）得
设 A 到平面 的距离为
方法二（1）取 的中点为 ，连接 .
因为 ，则 ，
而 ，故 .
在正方形 中，因为 ，故 ，故 ，
因为 ，故 ，
故 为直角三角形且 ，
因为 ，
故 平面 ，
因为 平面 ，故平面 平面 .
（2）在平面 内，过 作 ，交 于 ，则 ，
结合（1）中的 平面 ，故可建如图所示的空间坐标系.
则 ，
故 .
学科网（北京）股份有限公司设平面 的法向量 ，
则 即 ，取 ，则 ，
故 .
而平面 的法向量为 ，
故 .
二面角 的平面角为锐角，故其余弦值为 .
（3）由（2）知平面 的法向量 ，
点 到平面 距离为
.
19.解：（1） ；
（2）设 ，
所以 ，
当 时， ，
当 时， ，
学科网（北京）股份有限公司当 时， ，
当 时， ，
所以动点 围成的图形是正方形，如上图，边长为 ，
面积为 8；
（3）动点 围成的几何体为八面体，每个面均为边长 的正三角形，
其体积为 ，
证明如下：不妨将 平移到 ，处，设 ，
若 ，则 ，
当 时，即 ，
设 ，
由 ，得 ，
所以 四点共面，
所以当 时， 在边长为 的等边三角形 内部（含边界）
同理可知等边三角形内部任意一点 ，均满足 .
所以满足方程 的点 ，构成的图形是边长为 的等边三角形内部（含边界）
由对称性可知， 围成的图形为八面体，每个面均为边长为 的等边三角形，
故该几何体体积 .
