文档内容
2024-2025 学年第一学期第二次月考
数学试卷
一、单选题
1．已知全集 ， ，则集合B可能为（ ）
A． B． C． D．
2．“ ”是“ ”成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
3．已知函数 的部分图象如下图所示，则 的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
4．已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知m，n是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若 ， ， ，则
B．若m，n异面， ， ， ， ，则
C．若 ， ， ，则
D．若 ， ， ，则
6．已知数列 满足： ， ， 则 =（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B．3 C．4 D．
7．已知函数 的部分图象如图所示，则下列选项不正确的是（ ）
A．函数 的图象关于点 中心对称
B．函数 的单调增区间为
C．函数 的图象可由 的图象向左平移 个单位长度得到
D．函数 在 上有2个零点，则实数t的取值范围为
8．如图，实心正方体 的棱长为2，其中上、下底面的中心分别为Q，R．若从该正方体
中挖去两个圆锥，且其中一个圆锥以R为顶点，以正方形 的内切圆为底面，另一个圆锥以Q为顶
点，以正方形 的内切圆为底面，则该正方体剩余部分的体积为（ ）
A． B． C． D．
9．设函数 的定义域为R， 为奇函数，
为偶函数，当 时， ，
则下列结论错误的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B． 为偶函数
C． 在 上单调递增 D．函数 有11个零点
二、填空题
⃗z
10．已知复数 ， 为z的共轭复数，则 的虚部为________．
11．已知角α的顶点在坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合．若角α的终边绕着原点按顺时针方向旋
转 后经过点 ，则 ________．
12．已知圆心在x轴上的圆C与倾斜角为 的直线相切于点 则圆C的方程为________．
13．在 中，已知 ， ， 边上的中线所在直线的方程为 ， 边上的高所
在的直线方程为 ，则 的面积为________．
14．如图，平行四边形 中， ，E 为 的中点，P 为线段 上一点，且满足
．则 ________；若 的面积为 ，则 的最小值为________．
15．设函数
（ⅰ） ________；
（ⅱ）若存在实数 ， ， ， 满足 ，且 ，
学科网（北京）股份有限公司则 的取值范围是________．
三、解答题
16 ． 在 中 ， 已 知 内 角 A ， B ， C 所 对 的 边 分 别 为 a ， b ， c ， ，
．
（1）求 ；
（2）若 ，求 的面积．
17．如图，已知在四棱锥 中， 平面 ，四边形 为直角梯形， ，
， ， ，点E是棱 上靠近P端的三等分点，点F是棱 上一点．
（1）证明： 平面 ；
（2）求点F到平面 的距离；
（3）求平面 与平面 夹角的余弦值．
18．设 是等差数列， 是各项都为正数的等比数列，且 ， ， ．
（1）求 ， 的通项公式；
（2）求数列 的前n项和 ；
（3）数列 求 的前n项和 ．
19．设 是等差数列， 是等比数列，公比大于0，已知 ， ， ，
．
学科网（北京）股份有限公司（1）求数列 ， 的通项公式；
（2）设 ， ：
（ⅰ）求
（ⅱ）求 ．
20．已知函数 ．
（1）若曲线 在点 处的切线的斜率为-3，求a的值；
（2）求 的单调区间；
（3）若 ，对任意 ， ，不等式 恒成立，求实数k的取值
范围．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 D D A D B C C D C
1．D
【分析】先明确全集，分析集合B中的元素组成，可得答案．
【 详 解 】 因 为 ， 因 为 ， 所 以
，所以 ．
又 ，所以 且 ．
故选：D
2．D
【分析】根据指数函数的单调性以及不等式的性质、充分条件、必要条件的定义即可判断．
【详解】取 ， ，则 ，但 ，故不充分，
学科网（北京）股份有限公司取 ， ，则 ，但 ，故不必要．
故选：D．
3．A
【分析】根据题意，由给定的函数的图象，结合函数的单调性与奇偶性性质，结合排除法，即可求解．
【详解】对于B中，函数 ，当 时，可得 ， ，
所以 ，不满足图象，所以B错误；
对于C中，函数 的定义域为 ，
又由 所以函数 为偶函数，此时函数的图象关于y轴对称，所
以C错误；
对于D中，函数 ，当 时，可得 ，
由反比例函数 的性质，可得函数 在 上为单调递减函数，所以D错误，
经检验，选项A中函数 满足图中的性质，所以A正确．
故选：A．
4．D
【分析】根据对数函数及指数函数的单调性得出参数范围比较即可．
【详解】因为 ， ， ，所以 ．
故选：D．
5．B
【分析】由面面平行的定义可判断A；由异面直线定义、线面平行性质和面面平行的判定可判断B；
由面面垂直的性质和线面垂直的性质可判断C；由面面垂直的性质可判断D．
【详解】对于A选项：
， ， ，则 或m与n异面，
故A错误；
学科网（北京）股份有限公司对于B选项：由 ， ，
由线面平行的性质可知，
在平面β内存在一条直线m，使 ；
同理，在平面α内存在一条直线n，使 ；
由m，n异面可知，n与m相交，m与n相交；
由面面平行的判定可知： ．故B正确；
对于C选项： ， ，
由线面垂直的性质得， ，
由 可得， 或 ．故C错误；
对于D选项： ， ， ，
若 则由面面垂直的性质可得 ；
若 时，结论 不成立．
故D错误；故选：B
【点睛】本题考查面面平行的判定与定义、线面平行的性质、面面垂直的性质和线面垂直的性质；线面关
系与面面关系的灵活运用是求解本题的关键；属于中档题．
6．C
【分析】根据 与 的关系，先得到数列 的递推关系，再根据累加法求 的值．
【详解】由 ，
所以 ，
所以 ， ，…， ，
各式相加得： ．
故选：C
7．C
【分析】利用辅助角公式及函数图象先化简计算得出函数式，结合三角函数的图象及性质逐一分析选项即
可．
学科网（北京）股份有限公司【详解】 ，
由图可知， ，可得 ，∴ ，
∴ ， ，故A正确；
，
解得 ，
所以函数 在 单调递增，故B正确；
函 数 的 图 象 向 左 平 移 个 单 位 长 度 得 ，
，故C错误；
， ，
当 时， ，此时 有两个零点，
即 ，可得 ，故D正确．
学科网（北京）股份有限公司故选：C．
8．D
【分析】计算出正方体体积、两圆锥的体积及其公共部分的体积即可得
【详解】两圆锥的体积都为 ，
则其公共部分为 ，
故该正方体剩余部分的体积为 ．
故选：D．
9．C
【分析】对于A选项：根据 为奇函数， 为偶函数，得到 的对称中心、对称轴和周
期，然后根据周期性和解析式即可判断；对于 B选项：根据 关于 对称和 的周期为8，可
得到 关于直线 对称，进而判断；对于C选项：根据解析式、对称性和周期性画出函数图象，
然后根据图象即可判断；对于D选项：将方程的解转化为函数 与 图象交点的横坐标，然
后结合图象即可判断．
【详解】因为 为奇函数，
所以 关于点 对称，即 ，
因为 为偶函数，
所以 关于直线 对称，即 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
可得到 周期为8，
对于A选项：因为 ，所以 ，
学科网（北京）股份有限公司所 以
，故选项A正确；
对于B选项：因为 关于直线 对称，周期为8．
所以 关于直线 对称，
所以 为偶函数，故B正确；
对于C选项：结合图象可得 在 上为减函数，故C选项错误；
对于D选项：画出函数 与 图象，
可知这两个图象只有11个交点，
所以函数 有11个零点，故D选项正确．
故选：C．
【点睛】方法点睛：函数零点问题的方法和思路
（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
10．
【分析】根据复数的运算以及共轭复数的定义即可求解．
【详解】由 ，
学科网（北京）股份有限公司则z的共轭复数 ，则z的虚部为 ．
故答案为：
11．
【分析】利用三角函数的定义结合正切的和角公式计算即可．
【详解】设旋转后的角为β，则 ， ，
所以 ，
故答案为：
12．
【分析】设圆心为 ，半径为 ，根据两点间距离公式，可的半径r，根据点斜式方程，可得
直线的方程，根据直线与圆相切，圆心到直线的距离d等于半径r，代入公式，化简计算，即可得答案．
【详解】设圆心为 ，半径为 ，
依题意可得 ，
直线的方程为： ，整理得 ，
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离 ，
所以 ，解得 ，
学科网（北京）股份有限公司所以圆的方程为 ．
故答案为： ．
13．
【分析】利用中点坐标公式可设C坐标，结合两直线垂直的充要条件计算可得C，再由点斜式得直线
方程，根据点到直线的距离公式及三角形面积公式计算即可．
【详解】不妨设 的中点 ，则 ，易知直线 存在斜率，
所以
而 边上的高所在的直线方程为 ，
所以有 ， ，
所以 ．
由点到直线的距离公式知A到 的距离为 ，
由两点距离公式得 ，则 的面积为 ．
故答案为：
14．
【分析】设 ， ， ，由平面向量线性运算表示 即可求出m，由
结合基本不等式可得 的最小值．
【详解】设 ， ， ，
学科网（北京）股份有限公司则
．
∴ ，故 ，
∴ ，即 ．
由 的面积为 得， ，故 ，
∴
，
当且仅当 时取等号．
∴ 的最小值为 ．
故答案为： ； ．
15．0
【分析】（ⅰ）应用分段函数解析式，将自变量代入求值；
（ⅱ）画出分段函数大致图象，数形结合判断实数 ， ， ， 的范围，结合各分段对应函数的性质
求得 ， ， ，即可求目标式的范围．
【详解】（ⅰ）由 ，则 ；
（ⅱ）由解析式可得函数大致图象如下：
学科网（北京）股份有限公司存在实数 ， ， ， 满足 ，且 ，
所以 ，而 ，有 或 （舍），又 ，
故 ， ，
．
由 ，可得 ，
所以 ．
故答案为：0，
16．（1） ；（2） ．
【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用诱导公式及同角公式计算得解．
（2）由正弦定理求出C，由和角的正弦公式求出 ，再利用三角形面积公式求解．
【详解】（1）在 中，由 及正弦定理得 ，
而 ，则 ，又 ，因此 ， ，
由 ，得 ，即 ．
又 ，且 ，所以 ．
学科网（北京）股份有限公司（2）由（1）及正弦定理 ，得 ，
又 ，
所以 的面积 ．
17．（1）证明见解析 （2） （3） ．
【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量研究线面关系即可；
（2）根据（1）的结论及点到面的距离公式计算即可；
（3）利用空间向量计算面面夹角即可．
【详解】（1）以点D为坐标原点， ， ， 分别为x，y，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ．
， ，设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，令 ，得 ， ，则 ．
又 ，可得 ，因为 平面 ，所以 平面 ．
学科网（北京）股份有限公司（2）因为 平面 ，所以点F到平面 的距离等于点A到平面 的距离．
易知 ，则点A到平面 的距离为 ．
（3）易知 ， ，设平面 的一个法向量为 ，
则 ．即 ，令 ， ， ，则 ．
设平面 与平面 的夹角为α，
则
故平面 与平面 的夹角的余弦值为 ．
18．（1） ， ；（2） ；（3） ．
【分析】（1）设公差为d，公比为 ，根据已知列出方程可求出 ， ，代入通项公式，
即可求出结果；
（2）分组求和，分别求出 和 的前n项和，加起来即可求出结果；
（3）利用错位相减求和即可．
【详解】（1）设 公差为d， 公比为 ，
因为 ，则由 可得 ，即 ，
由 可得 ，即 ，
由 得 ．
所以有 ，
整理可得 ，
解得 或 （舍去）．
学科网（北京）股份有限公司所以 ，则 ，解得 （舍去负值），所以 ．
所以有 ，
（2）由（1）知， ， ，则 ．
（3）由（1）有 ，
设 的前n项和为 ，则
，
．
两式相减得 ，
所以 ．
19．（1） ，
（2）（ⅰ） ；（ⅱ）
【分析】（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式；
（2）第一问先对数列化简，再利用累乘法求出数列的积，第二问根据关系式的特点先裂项再利用裂项相
消法求出数列的和．
【详解】（1）设数列 的首项为 ，公差为d，数列 的公比为9，
∵已知 ， ，∴ ，
∴ 或 ，
学科网（北京）股份有限公司∵ ，∴ ，∴ ．
由 ， ．
解得： ． ，
∴ ， ；
（Ⅱ）设 则：
（ⅰ）
（ⅱ）由于： ，
，
，
故 ．
【点睛】本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、以及“裂项法”求数列求和，此类题目是
数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，
易错点是在“裂项”之后求和时，容易弄错数列的项数，能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能
力等．
20．（1） （2）答案见解析 （3）
【分析】（1）根据导数的几何意义， ，即可求解；
（2）首先求函数的导数，分 和 两种情况讨论函数的单调区间；
学科网（北京）股份有限公司（3）根据（1）的结论，由函数的单调性去绝对值，并构造函数 ，利用导数，结合函数
的单调性，利用参变分离，转化为求函数的最值．
【详解】（1）∵ x，∴ ，
∵曲线 在 处的切线的斜率为-3，所以 ，
∴ ；
（2） 定义域为 ， ，
当 时， ，故 在 上单调递减；
当 时， ， ， 单调递增，
， ， 单调递减．
综上所述，当 时， 的单调递减区间为 ；
当 时， 的单调递减区间为 ，递增区间为 ．
（3）由（2）及 可得， 在 上单调递增．
不妨设 ，且 ， ，
则 可化为 ，
设 ，
则 ，所以 为 上是增函数，
学科网（北京）股份有限公司即 在 上恒成立，
等价于 在 上恒成立，
对于函数 ， ，当 时， ，
故 在 上是增函数，所以 ，
所以 ，即k的取值范围为 ．
【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是去绝对值，再构造函数．
学科网（北京）股份有限公司
