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高2026届高二下第一次月考数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C C A B D D D B AC BC BCD
12． 【
13．2021
14．1 （同构法或者切线放缩法）
15．(1) ； (2)
16．（1） ；（2） .
17．
【详解】（1）在三棱柱 中，连接 ，由 分别为 的中点，得 且
，
而 且 ，又 为 的中点，则 且
，于是 且 ，
因此四边形 是平行四边形，则 ，而 平面 ，
平面 ，
所以 平面 .
（2）在三棱柱 中，侧棱 底面 ，且各棱长均相等，令 ，
取 中点 ，连接 ，而 为 中点，则 ，有 底面 ，
由正 ，得 ，显然直线 两两垂直，
以点 为原点，直线 分别为 轴建立空间直角坐标系，
则 ，，设平面 的法向量 ，
则 ，令 ，得 ，令直线 与平面 所成的角为 ，
于是 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值 .
18．
【详解】试题分析：（Ⅰ）直接根据题设条件列出等式，再进行化简，即可得到动点 的轨迹 的
方程；（Ⅱ）先假设存在，并设出直线 的方程，联立直线与椭圆，结合韦达定理得到 中点坐
标，进而表示出点 的坐标，再根据点 在椭圆上即可求出直线 的方程.
试题解析：（Ⅰ）设动点 ，则由题意可得
，化简整理得 的方程为 .
（Ⅱ）假设存在 满足条件，设依题意可设直线 方程为 ，
于是 ，消去 ，可得 ， 令 ， ，
于是 ， ，
所以 的中点 的坐标为 .
因为 ，
所以直线 的方程为 ，
令 ，解得 ，即 .
因为 、 关于 点对称，
所以 ， ，解得 ， ，即 .
因为点 在椭圆上，所以
解得 ，于是 ，即 ，
所以 的方程为 或 .
19．(1) (2) (3)
【详解】（1）当 时， ，定义域为 ，
此时 ，故切点为 ，
设切线斜率为 ，而 ，
故 ，
则切线方程为 ，化简得 ，
（2）若 ，
则 ，
当 时， ， ，
故 在 上单调递减，
当 时， ，与 矛盾，故排除，
当 时，当 时， ，
，故 ，与 矛盾，故排除，
当 时， ，令 ，解得 ，令 ，解得 ，故 在 上单调递减，
在 上单调递增，则 有极小值，
极小值为 ，只需要 即可，
令 ，记 ，则 ，
记 ，
则 ，
得到 在 上单调递减，而 ，
即 ，故 ， 在 上单调递减，
而 ，若 ，则 ，
得到 ，解得 ，故 的取值范围为 .
（3）令 ，得到 ，
由上问得 恒成立，故 恒成立，
得到 恒成立，两边取指数得 恒成立，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
两式相加得 ，即 成立.
