数学答案_2024-2025高二（7-7月题库）_2024年12月试卷_1227四川省绵阳市南山中学2024-2025学年高二上学期12月月考_四川省绵阳市南山中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题PDF版含答案

绵阳南山中学 2024 年春季高 2023 级 12 月月考 数学试题参考答案 一、选择题 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 选 项 B B B A C D B D ABD BCD AB 二、填空题 12. ， 13. 14. 1 6 8 三、解0答 2 题 4 2 81 15.（1）设“甲胜且编号的和为6”为事件A． 甲编号为x，乙编号为y，x,y表示一个基本事件， 则两人摸球结果包括 ( 1,2 ),( 1,3 ),( 1,5 ),,( 2,1 ),( 2,2 ),( 5,4 ),( 5,5 ) 共25个基本事件； A包括的基本事件有1,5,2,4,3,3,4,2,5,1共5个． 花 5 1 1 ∴P(A)  ．甲胜且编号的和为6的事件发生的概和率为 ． 25 5 5 儿 （2）这种游戏不公平． 云 ： 设“甲胜”为事件B，“乙胜”为事件C号 ．甲胜即两个编号的和为偶数所包含基本事件数为以下 众 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 13个： 1,1 , 1,3 , 1,5 , 公2,2 , 2,4 , 3,1 , 3,3 , 3,5 , 4,2 , 4,4 , 5,1 , 5,3 , 5,5 ． 13 13 12 所以甲胜的概率为P(B) ， 乙胜的概率为P(C)1  ， 25 25 25 ∵P(B) P(C)，∴这种游戏规则不公平． 16.（1）圆C:x2y52 9的圆心C0,5，半径为3， 设圆C 的圆心坐标为a,b，半径为r， 1 a12   b 3 2 r2  a0   所以a2b22 r2 ，解得b0，   a2b52 r32 r2  所以圆C 的方程为x2y2 4. 1 （2）若直线l斜率不存在，此时l：x1， x1  ，解得y 3， x2 y2 4 第 1 页 共 6 页  此时弦长为 3  3 2 3 ，符合题意， 若直线l直线斜率存在，设l：y2kx1， 因为弦长为2 3，所以圆心C 0,0到直线l的距离d  r2  3 2 1， 1 k2 3 因为l:kxyk20，所以d  1，解得k  ， k21 4 3 所以直线l的方程为y2 x1，即3x4y50， 4 综上：直线l的方程为x1或3x4y50. 17.（1）由频率分布直方图可得100.0100.0152a0.0250.0051，解得a0.030. 70,80的频率为10a0.3， 80,90的频率为100.0250.25， 90,100的频率为100.0050.05，按分层抽样方法抽取12人的成绩， 花 0.05 则12人中成绩不低于90分的人数为12 和 1. 0.30.250.05 儿 （2）该校学生首轮数学竞赛成绩的平均数为云： ： 10450.010550.015650.01号5750.030850.025950.00571. 众  40,70的频率为100.01 公 00.0150.0150.4，  40,80的频率为0.4100.0300.7 ， 设中位数为x,则x 70,80， 则0.40.030x700.5，解得x73.33， 故该校学生首轮数学竞赛成绩的平均数约为71分，中位数约为73.33分. （3）设A“至少有一位同学复赛获一等奖”， 则PA1P  A  1  1 3   1 2  13 ,  5  3 15 13 故至少有一位同学复赛获一等奖的概率为 . 15 18.（1）取BD中点O，连接PO， 1 P是BM的中点，PO//MD，且PO MD， 2 在线段CD上取点F ，使DF 3FC，连接OF，QF， 第 2 页 共 6 页1 1 ，QF //AD，且QF  AD MD ， 4 2 AQ P = O/ 3 / Q Q C F,POQF ，四边形POFQ为平行四边形，PQ//OF， 又PQ平面BCD,OF 平面BCD，PQ//平面BCD. （2）BC DC  2,BD 2，则BC2  DC2  BD2，BCCD， 取BD中点O，则OBOC，又AD平面BCD,OP//AD，OP平面BCD， 以O为原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标  1 系，则O(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),D(1,0,0),A(1,0,2) ，故P0,0, ,M(1,0,1)，  2   1    3 则PM 1,0, ，AC 1,1,2，PA1,0, ，  2  2  3 3 3 3     1 3  ，所以AQ AC  , , ，故PQPAAQ  , ,0， 4 4 4 2  4 4  A 易 Q 知 = 平 3 面 QC BCD的一个法向量为m  0,0,1，设平面PQM 的一个法向量为n r x,y,z，     1 x 3 y 0 花  nPQ0   4 4 和  则   ，即 ，取y1，则x3,z6，n(3,1,6)， nPM 0 x 1 z 0 儿  2 云 ：  π 设平面PQM 与平面BCD的夹角为号0 ，  2 众  公   mn 6 3 46 则cos cos m,n      ， m n 9136 23 3 46 所以平面PQM 与平面BCD夹角的余弦值为 . 23 （3）由（2）知O为BD中点，M 为AD中点，连接OM， AB//OM ， 点G为△ABD内动点且AB//平面QGM， 又AB平面ABD，平面QGM 平面ABDGM ， AB//GM ，故点G在OM上，      1   1 3  设OG OM,(0,1)，又OM (1,0,1)，PO0,0, ，PQ , ,0，  2  4 4    则OG OM (1,0,1) (,0,) ，      1 3 1 QG POPQOG ,  , ，  4 4 2  易知平面ABD的一个法向量为r 0,1,0， 第 3 页 共 6 页 π 设QG与平面ABD所成角为0 ，则最大时，sin最大，  2   3   QGr 4 sin cos QG,r     QG r  1 2 3 2  1 2        4 4  2 3 3 4 4   , (0,1) ， 22 3  7 2   3  2  19 2 8  8 32 3 所以当 时，sin最大，此时最大，即当点G位于△ABD中位线OM 靠近O的八等分 8 点的第3个点处时，QG与平面ABD所成角最大. 19.由题意可知，“特征三角形”是等腰三角形，且腰长为a，底边长为2c， 那么相似比就是两个“特征三角形”的长半轴长之比或者是焦距之比， 从而特征三角形相似的两椭圆的离心率是相等的. 由椭圆 x2  y2 1的离心率为e 2 ， 花 2 2 和   x2 儿 2 可知过点 2, 2 ，且与椭圆  y2 1相似的椭圆方程的离心率也为e ， 云 2 2 ： x2 y2   4 2 可设所求椭圆为  1，代点 号2, 2 得：   1， a2 b2 a2 b2 众 b2 a2c2 公1 1 再由  1e2 1  ，所以a2 2b2， a2 a2 2 2 x2 y2 联立上两式解得：a2 8,b2 4，所以所求椭圆方程为：  1. 8 4 （2）①由椭圆C 与椭圆C 的相似比为 3 ，可知两椭圆的长半轴之比也为 3 ，短半轴之比 2 1 x2 y2 x2 y2 也为 3 ，再由椭圆C :  1，所以椭圆C :  1， 1 4 3 2 12 9 x2 y2 当直线m的斜率不存在时，又与椭圆C :  1相切，则切线方程为x2， 1 4 3 x2 y2     取直线x2，可得与椭圆C :  1的交点坐标为A 2, 6 ,B 2, 6 , 2 12 9 此时有 AB 2 6， 再当直线m的斜率存在时，可设直线m的方程为y kxn， 则与椭圆C : x2  y2 1联立消y得：3x24kxn2 12， 1 4 3 整理得：  34k2 x28knx4n2120， 第 4 页 共 6 页由直线m与椭圆C 相切，可得：8kn24  34k2 4n212  0，整理得n2 34k2， 1 再由直线m的方程为y kxn，与椭圆C : x2  y2 1联立消y得：3x24kxn2 36， 2 12 9 整理得  34k2 x28knx4n2360， 由8kn24  34k2 4n236  48  n2912k2 ， 再把n2 34k2代入得：48  34k2912k2 96  34k2 0， 8kn 4n236 可设交点Ax 1 ,y 1 ,Bx 2 ,y 2 ，则有 x 1 x 2  34k2 , x 1 x 2  3 4k2 ， 所以 AB  1k2 x x  1k2 x x 24x x 1 2 1 2 1 2  8kn  2 4n2 36 3n2 2736 k2  1k2   4 4 1k 2 34k2  3 4k2  34k22 912k22736k花2 18 24k 2 再把n2 34k2代入得： AB 4 1k2  34k2和2 4 1 k2  34k22 儿 云 1 34k2  1 ： 1k2 4 4 1 ， 4 6 4 6 号2 6 1 34k2 34k2 34k2 众 公 1  1  由于k2 0，所以 34k2   0, 3   ，即 AB  2 6,4 2  ， 综上可得： AB 2 6,4 2；   ②假设直线l存在； 当l的斜率不存在时，l:x1， x1 x1 x1  x1  由 解得 3，由 解得 33 ， 3x24y2 12 y 3x24y2 36 y  2  2  33  33  3  3 所以P  1,   ,S  1,   ,Q1, ,R1, ，  2   2   2  2      333   333 所以PS  0, 33 ,RS 0, ,QS 0, ，      2   2       333     7 3321 所以5PS2RS 5 0, 33 20,  0,6 333 ,7QS 0, ，      2   2  第 5 页 共 6 页   显然5PS2RS 7QS ； 当l的斜率存在时，l:ykx1k0，设Qx,y ,Rx ,y ,Px ,y ,Sx ,y ， 1 1 2 2 3 3 4 4 ykx1 联立 ，可得  34k2 x28k2x4k2120， 3x24y2 12 8k2 4k212 所以x x  , xx  ， 1 2 34k2 1 2 34k2 ykx1 联立 ，可得  34k2 x28k2x4k2360， 3x24y2 36 8k2 4k236 所以x x  , x x  ， 3 4 34k2 3 4 34k2 x x x x 4k2 所以 1 2  3 4  ，即QR,PS中点的横坐标相同， 2 2 34k2 又因为P,Q,R,S四点共线，所以QR的中点即为PS的中点，    PS  QR PS  QR 因为5PS2RS 7QS，所以5 PS 2 7 ， 花 2 2 和 所以5 PS 9QR ， 儿 云 ：  8k2  2 4k212 因为 QR  1k2  x x2 4xx号 1k2     4  1 2 众 1 2  34k2   34k2  公 144144k2 12  1k2  1k2   ，  34k22 34k2  8k2  2 4k2 36 PS  1k2 x x 24x x  1k2  4   3 4 3 4  34k2   34k2  432528k2 4  1k2 2733k2  1k2   ，  34k22 34k2 4  1k2 2733k2 12  1k2 所以 ， 5 9 34k2 34k2 3 所以 5 2733k2 27 1k2 5 911k2 9 33k2 ，解得k  ，符合条件， 4 所以存在直线l:3x4y30满足条件. 第 6 页 共 6 页