数学答案_2024-2025高二（7-7月题库）_2025年01月试卷_0103湖北省腾云联盟2024-2025学年高二上学期12月联考_湖北省腾云联盟2024-2025学年高二上学期12月联考数学试卷（PDF版，含答案）

参考答案： 一单选题： 1 2 3 4 5 6 7 8 C B A C D D A B 二．多项选择题： 9 10 11 BCD ABD ACD 三填空题： 12.25 13. 14.-1 2 65 四解答题： 5       15.【解析】（1）记ABa,ADb,AA c， 1 因为平行六面体ABCDABCD 的各条棱长均为2， 1 1 1 1 AABAADBAD60， 1 1 r r r       所以 a  b  c 2，abacbc 22cos60 2 ，.............................................2 ...................................................................................................................4 3 1 = −5 − ..............................................................................................6 3 2 2 34 （ 2 1 ） 记=  A  B  (  − a  , 5  A  D  −  b  ) ,  A  = A  5 c  ， 1 因为平行六面体ABCDABCD 的各条棱长均为2， 1 1 1 1 AABAADBAD60， 1 1 r r r       所以 a  b  c 2，abacbc 22cos60 2 ，           因为AC  ABBCCC  ABADAA abc， 1 1 1           AB ABAA ac, BD ADABba，..................................................8 1 1 所以                      2 2 AC AB abc  ac a abacacbcc 4222240，.........11 1 1   同理AC BD0，则AC  AB,AC BD， 1 1 1 1 又ABBDB,AB,BD平面ABD，所以AC 平面ABD..........................13 1 1 1 1 1 16 （1）首先根据圆的弦长公式设圆心到直线距离为d, 可得 ,所以 ...........................................................................2 2 2 若直线 M 斜 N 率 = 不 2 存 R 在 − 时 d ， = 直 2 线方 30 程为x=d2= 此时 6 d=2不满足题意。.................................................3 {#{QQABaQQAggCIAAIAABgCEwUCCEGQkhAAASgOBAAIsAAByBFABAA=}#}所以直线斜率存在，设直线方程为y-3=k(x-2) 圆心到直线距离为 , 2−2k 所以即得直线斜率d= k 2 +1= ...6...............................................................................................6 所学直线方程为 k=−2± 3 或 .........................7 (2)设圆心到直线 yA=B( 的 − 距 2 离 + 为 3)x ， + 圆 7 心 − 到 2 直 3 线CyD= 的 (− 距 2 离 − 为 3),x+7+2 3 ................. ..1................................................. ..2.................................10 2 2 2 1 + 2 = =,8 ............................................................................12 2 2 四 边形=2ABC3D6的−面 1积为 =2 36− 2 1 2 2 2 2 又因为 S= ，=“2 =(”36成−立 当1 且)(3仅6当− 2 )=时2 ，36即−36×8+( 1 2) 2 所以 2 ；...2......................................................................................................................15 1 + 2 ≥2 1 2 1 = 2 1 2 ≤4 (没验证等号成立的条件扣1分) ≤ 64 17.(1)首先F(1,0),得c=1，设A( ),B( )..........................................................................1 当直线l过F时，直线方程 1为, 1： 2, 2 .......................................................2 3 y= 3 (x−1) 与椭圆联立方程： 得 3 y= 3 (x−1) 2 2 2 2 + =1 2 2 2 2 2 2 2 ,且 (a +3b，).x.....−...2...a...x...+....a....−....3..a....b.....=....0...........................5 2 2a 4 2 2 解1得+ 2 =a 2 +3b 2 =13 a −b =1 所以椭a圆=方2,b程=为：3 ...........................................................................6 2 2 （2）M(-2,0)设直线4l+方3程=为1 ,A( ),B( ) y+ 3=k(x+2) 1, 1 2, 2 与椭圆联立方程： 得 y+ 3=k(x+2) 2 2 4 + 3 =1 2 2 2 2 (3+4k )x +(16k −8..3...k..).x...+....1..6..k.....−....1..6.....3..k...=....0...................9 2 2 −16k +8 3k 16k −16 3k ∆>0, 1+ 2 = 3+4k 2 , 1 2 = 3+4k 2 ..................12 1 2 1 1 1+ 2+4 1+ 2 = 1+2+ 2+2 =2 − 3( 1+2+ 2+2)=2 − 3 1 2+2( 1+ 2)+4 将韦达定理代入计算，即得 −16k2+8 3k ............15 3+4k2 +4 1+ 2 =2 − 316k2−16 3k −16k2+8 3k =− 3 3+4k2 +2( 3+4k2 )+4 {#{QQABaQQAggCIAAIAABgCEwUCCEGQkhAAASgOBAAIsAAByBFABAA=}#}18（1）根据题目意思，在四棱锥 中，有 // ,因为 平面 , 平面 ， ⧸ 所以 //平面 ， − ⊂ ⊂ 又因为 平 面 且平面 平面 = ，所以 // ， 又因为 ⊂平面 , 平 面 ∩ ， ⧸ 所以 // 平 面⊂ .. .. ... .... ..⊂........... .. .. ... ...............................................................................4 (2)因 为 , ,所以 = 以E点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系 AE⊥ DE⊥ ∠ , 所以 (0,0,0), (2 ,0,0), ( , ,0), (0, 1, 3), (0, , 3)， = ( , ,0), =(3 , , 2 33)4, =(2 −,2,0)，. ...1.............................5 设 平面04 的 法 向量2 为3 5=− , , ， 3 1 1 1 则 = 1 =0 , = + =0 ⋅BC 4 1 1 1 令 1 = ⋅ 1 ， 得 2 13 = ， 5 − 3 所以x =( )为平2 面 的一个法向量，..........................................7 设平面 1,0的,2法向量为 = , , ， 则 = m =0 2 2 2 , = + =0 ⋅DC 2 3 2+2 2 令 = ⋅ ，得 2 3 2 5 2− = 3 ， 2 所以y2 =3( 2 =−)为1,平 2面 3 的一个法向量，..................................9 所以 −1, 3,3 = , |m⋅n| 65 cosθ=|m|⋅|n| 13 所以其正弦值为 ；...........................................................................................11 2 26 13 （3） 设球的半径为R，根据球的体积为 ,则 ,..............................12 2 80 2 15 S=4πR = 3 R= 3 由（2）可知，三角形BCD为等边三角形，且设其中心为G( ),..........................................13 4 3 3 ,2,0 所以设球心的坐标为O( ),设A( ) 4 3 3 ,2, 0,2 ,2 {#{QQABaQQAggCIAAIAABgCEwUCCEGQkhAAASgOBAAIsAAByBFABAA=}#}2 15 = = 即： , 3 ...........................................16 2 3 16 2 2 3 2 20 z= 3 3 +(2−2 ) +( 3 −2 ) = 3 解方程即得 ................................................................................................................17 π θ= 3 19.(1)①根据椭圆的光学性质，若经过左顶点反射，路程为 ,则 ； 1 2(a−c)=6c e= 4 若经过右顶点反射，路程为2(a+c)=6c，则 ； 1 e= 2 若经过的反射点不过左右顶点时，路程为4a=6c，则 ； 2 e= 3 所以椭圆的离心率可以为 ， ， ..................................................3 1 1 2 ②设Q(4,t)( ), 4 2 3 , t≠0 M(x1,y1),N(x2,y2) 根据题目已知条件可知椭圆方程为 .......................................................................4 2 2 4 + =1 则 , , 6 2 QA1:x= ty−2QA2:x= ty+2 分别与椭圆联立： 6 得到 ................................................................5 x= ty−2 6 2 2 1 = 2 +9 4 + =1 2 得到 ..............................................................6 x= ty+2 −2 2 2 2 = 2 +1 4 + =1 ...................................................8 1 1 2 1 2 1 2 2 ( 2 +9)( 2 +1) 1 2 2 令2 = 2 = =( − 1)( − 2)= ( +3) 2 则m= t +3>3 , 1 ( +6)( −2) 1 2 1 1 1 2 2 = =−12( ) +4 +1,(0< <3) 当且仅当 ,即m=6， 时， 取最大值 ..............................................10 1 1 1 1 4 （2）设直 线 = M 6∈ N ( 的 0, 方3) 程为 t=± 3 2 3 根据双曲线的光学性质可知x=my+的5内心为I为 与 的交点， ∆M 1 联立 1 1 消去y得到 .................................................................................11 9 − 16 =1 9(y2−y1) 2 2 x= x1y2−x2y1 9 − 16 =1 又因为 代入计算即得 ......................................................13 9 下证 x1 =m 的 y 内 1+ 心 5 在 ,x 直 2 = 线 m x y = 1 3 + 上 5 ， x= 5 ∆M 1 2 {#{QQABaQQAggCIAAIAABgCEwUCCEGQkhAAASgOBAAIsAAByBFABAA=}#}设 的内心为I，与其三边的切点分别为A,B,D， 根据∆M切 线1 长2 定理可知 首先 MA=,即MD,F1A= F1B,F2D= F2B 所以MF1−MF2 =,2又a因=为6 F1A−F2D= 6，所以 ， 所 以F1B−F2B的=6内 心 在F直1B线+F2 x=B3=上10， 同 理F1可B=知8 的 内 心 也 在 直 线 x=3 上.......∆...M... .. 1 .. .. 2 ............................................................................∆..N... .. 1 .. .. 2 ...........................15 ，所以 , 1 ∆F2 1 2 2 1 2( −3) 5−3 5 1 9 ∆I 1 2 = 2 1 2(3− ) = 3−5 =3 所以存在常数t= ，使得 ................................................................................17 5 3 ∆F2 1 2 = ∆I 1 2 {#{QQABaQQAggCIAAIAABgCEwUCCEGQkhAAASgOBAAIsAAByBFABAA=}#}