吉林省东北师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期第一次摸底考试数学试卷_2024-2025高三（6-6月题库）_2024年10月试卷

东北师大附中高三年级（数学）科试卷 2024—2025 学年上学期第一次摸底考试 出题人：高三备课组 审题人：高三备课组 考试时长：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题 5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的     A x 2x1 3 B  xN x24x0 1. 已知集合 ， ，则 AB  （ ） A. B. C 00,,21,2  D. 01,,22  . 1 sincos 2. 已知tan ，则 （ ） 2 sin3cos 2 1 1 1 A. B.  C. D.  3 7 2 2  5π 5π 3. 已知角的终边经过点sin ,cos ，则tan（ ）  6 6  3 3 A.  3 B. 3 C.  D. 3 3 3 4. 若函数 f  x alnx x既有极大值也有极小值，则实数a的取值范围为（ ） x       A 0,2 3 B. ,2 3  2 3, .     C. ,2 3 D. 2 3, 5. 已知函数 f  x  是定义在R上的奇函数，当x0时， f  x  3ex 1 ，则下列说法正确的是（ ） ex 1   A. 函数 f x 有两个零点 ex 3 B. 当x 0时， f  x  ex 1 C. f  x 0的解集是 ,ln3  D. mR，x R，使得 f  x m 0 0 第1页/共6页 学科网（北京）股份有限公司6. 定义在R上的函数 f  x  的导函数为 f x  ，若 f  1 0， f x  f  x  ，则不等式 f  x 0的解集 为（ ） A.  0, B. 1, C. 0,1 D.  0,1    1, 7. 已知3m 4，4m a4，2m b2，则下列说法正确的是（ ） A. a b B. ab C. a b D. a  b 1 8. 若关于x不等式lnax xb恒成立，则当 ae时，eb1lna的最小值为（ ） e 1 A. 1 B. e1 C.1 D. e e 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题 6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分. 9. 若ba 0，则下列不等式成立的是（ ） ab 1 1 A. a ab  b B.  2 a b log alog b ab C. 2 2 log D. 2ba  ba 2 2 2 2 π  2 10. 已知sin    ，则下列说法正确的是（ ） 3  3  π 5  π 1 A. cos    B. cos2    6 3  3 9 C. cos    5π   2 D. 若 0,π  ，cos 2 3 5  6  3 6 11. 定义在R上的偶函数 f  x  ，满足 f x=f 2x，当x1,0  时， f  x x1，则下列说法正 确的是（ ） A f  1 0 . 2027 1 B. f     2  2 C. 函数 y f  x  x1 3的所有零点之和为5 第2页/共6页 学科网（北京）股份有限公司   1  D. f e0.11  f ln   1.1 三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分. 12. 已知某扇形的圆心角为120°，弧长为2πcm，则此扇形的面积为________cm2. 13. 已知函数 f(x)   3x2 1,x0 ， f  f 3  0，则实数a的值为______. ln(x2 ax3),x0 14. 对于函数 f  x  ，若在定义域内存在实数x满足 f x f  x  ，则称函数 f  x  为“局部奇函数”.若 函数 f x 49x m7x12在定义域R上为“局部奇函数”，则实数m的取值范围为________. 四、解答题：本大题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列  a  满足：a 1，a a 2  nN* ，数列  b  为单调递增等比数列，b 2，且b ， n 1 n1 n n 2 1 b ，b 1成等差数列. 2 3 （1）求数列  a  ，  b  的通项公式； n n （2）设c a log b ，求数列  c  的前n项和T . n n 2 n n n 16. 已知函数 f xe2x ex x. （1）求曲线y  f  x  在点  0, f  0  处的切线方程； （2）当x1,0  时，求函数 f  x  的最大值与最小值. 17. 师大附中考入北大的学生李聪毕业后帮助某地打造“生态果园特色基地”，他决定为该地改良某种珍稀水 果树，增加产量，提高收入，调研过程中发现：此珍稀水果树的单株产量W（单位：千克）与投入的成本30x  34 3x2  ,0 x2,   3 （单位：元）满足如下关系：W  x  ，已知这种水果的市场售价为10元/千克，且 32x  x,2 x5.  x1   供不应求.水果树单株获得的利润为 f x （单位：元）.   （1）求 f x 的函数关系式； （2）当投入成本为多少时，该水果树单株获得的利润最大?最大利润是多少? 18. 已知函数 f  x  x  ex a  alnx，aR. （1）当a e时，求函数 f  x  的单调区间与极值； 第3页/共6页 学科网（北京）股份有限公司（2）若函数 f  x  有2个不同的零点x，x ，满足x ex 2 2xex 1，求a的取值范围. 1 2 2 1 19. 对于数列  x  ，若M 0，对任意的nN*，有 x M ，则称数列  x  是有界的.当正整数n无限 n n n 大时，若x n 无限接近于常数a，则称常数a是数列  x n  的极限，或称数列  x n  收敛于a，记为 n l  im  x n a . 单调收敛原理：“单调有界数列一定收敛”可以帮助我们解决数列的收敛性问题. （1）证明：对任意的x1，nN*， 1x n 1nx恒成立； n n1 （2）已知数列  a n  ，  b n 的通项公式为：a n     1 1 n    ，b n     1 1 n    ，nN*. （i）判断数列  a  ，  b  的单调性与有界性，并证明； n n （ii）事实上，常数e lim a n  lim b n ，以e为底的对数称为自然对数，记为lnx.证明：对任意的nN*， n n n 1 n 1  ln  n1  恒成立. k1 k k1 k1 第4页/共6页 学科网（北京）股份有限公司东北师大附中高三年级（数学）科试卷 2024—2025 学年上学期第一次摸底考试 出题人：高三备课组 审题人：高三备课组 考试时长：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题 5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】C 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题 6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分. 【9题答案】 【答案】AC 【10题答案】 【答案】BCD 【11题答案】 【答案】ABD 第5页/共6页 学科网（北京）股份有限公司三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分. 【12题答案】 【答案】3π 【13题答案】 【答案】3 【14题答案】  1  【答案】   ,   7  四、解答题：本大题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1）a 2n1，b 2n1； n n 3n2 n （2）T  n 2 【16题答案】 【答案】（1） y 2x2 3 （2）函数 f  x  的最大值为2，最小值 ln2 4 【17题答案】  340 30x2 30x ,0 x2   3 【答案】（1） f  x  320x  20x,2 x5  x1 （2）当投入成本为90元时，该水果树单株获得的利润最大，最大利润是180元 【18题答案】 【答案】（1） f  x  单调递减区间为0,1； f  x  单调递増区间为1,； f  x  有极小值0，无极大值. 2 （2）a> ln2 【19题答案】 【答案】（1）证明见解析； （2）（i）{a }是递增数列，是有界的，{b }是递减数列，也是有界的，（ii）证明见解析． n n 第6页/共6页 学科网（北京）股份有限公司